三角恒等变换章末复习课含答案

题型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用给值求值的重要思想是沟通已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α－β，α＝β－(β－α)，α＝1[(α＋β)α＝2·，α＝(α＋β)22＋(α－β)]，β＝1[(α＋β)－(α－β)]等．2例1已知α、β为锐角，cosα＝4，tan(α－β)＝－1，求cosβ的值．53解43，tan3∵α是锐角，cosα＝，∴sinα＝α＝.554tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β＝13.1＋tanαtanα－β910∵β是锐角，故cosβ＝.5011跟踪训练1已知tan(α－β)＝2，tanβ＝－7，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解tanα－β＋tanβ1tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝>0.1－tanα－βtanβ3π而α∈(0，π)，故α∈(0，)．2π∵tanβ＝－1，0<β<π，∴<β<π.721∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝2>0，π∴－π<α－β<－2.2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tanα－β＝1，∴2α－β＝－3π1－tanαtanα－β4.题型二 整体换元的思想在三角恒等变换中的应用在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来 (如例2令sinx－cosx＝t)．例2求函数y＝sinx＋sin2x－cosx(x∈R)的值域．解 令sinx－cosx＝t，π则由t＝ 2sinx－4知t∈[－ 2， 2]，又sin2x＝1－(sinx－cosx)2＝1－t2.y＝(sinx－cosx)＋sin2x＝t＋1－t212 5＝－t－ ＋.15当t＝2时，ymax＝4；当t＝－2时，ymin＝－2－1.5∴函数的值域为 － 2－1， .跟踪训练2求函数f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，x∈R的最值及取到最值时x的值．解设sinx＋cosx＝t，则t＝sinx＋cosx＝2222sinx＋2cosxπ2sinx＋4，t∈[－2，2]，∴sinx·cosx＝sinx＋cosx2－1＝t2－122.f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx即g(t)＝t＋t2－112－1，t∈[－2，2]．2＝(t＋1)2当t＝－1，即sinx＋cosx＝－1时，f(x)min＝－1.此时，由 sinx＋π＝－ 2，4 2π解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－2，k∈Z.当t＝2，即sinx＋cosx＝2时，f(x)max＝2＋1.2ππ此时，由2sinx＋4＝2，sinx＋4＝1.π解得x＝2kπ＋，k∈Z.4ππ综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－2，k∈Z时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋4，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝2＋1.2题型三转化与化归的思想在三角恒等变换中的应用三角函数式的化简就是通过恒等变换化繁为简．其中切化弦、异名化同名、异角化同角等方法均为转化与化归思想的运用；三角恒等式的证明就是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简，左右归一或变更论证，也属转化与化归思想的应用．21·cn·jy·com例3求证：tan3x－tanx＝2sinx.22cosx＋cos2x3x证明3xsin2xsin2∵左边＝tanx－tan＝－223xcos2xcos23xx3sinxcos－sincosx2222＝3cos2cos2x＝sinx＝2sinx1cosx＋cos2x2cos2x＋cosx＝右边．3x2sinx∴tanx－tan＝.22cosx＋cos2x跟踪训练3已知cosπ3，17π7πsin2x＋2sin2x的值．＋x＝<x<，求1－tanx451242sin2xcosx2sin2x＋cosx解sin2x＋2sinx＝1＋tanx1－tanxsin2x1＋tanx1－tanxπ＝sin2x·tan4＋x.∵17π7π5ππ12<x<，∴3<x＋4<2π，4又∵cosππ4.＋x＝3，∴sin＋x＝－45454tan4＋x＝－3.πcosx＝cos4＋x－4ππππ＝cos＋xcos＋sin＋xsin4444＝2×3－4＝－225510.π π∴sinx＝sin 4＋x－4ππππ72＋xcos4－sin4cos＋x＝－10，＝sin447sin2x＋2sin2x28sin2x＝25.∴＝－75.1－tanx题型四构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用方程(组)思想是中学重要的思想方法之一．借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)来求解，也是三角求值中常用的方法之一．例4已知锐角三角形31ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝.55求证：tanA＝2tanB.设AB＝3，求AB边上的高．(1)证明3，sin(A－B)＝1，∵sin(A＋B)＝553，sinAcosB＋cosAsinB＝5∴1sinAcosB－cosAsinB＝5sinAcosB＝2，5tanA＝2.??tanBcosAsinB＝5tanA＝2tanB.π3(2)解∵2<A＋B<π，sin(A＋B)＝5，tan(A＋B)＝－3，即tanA＋tanB＝－3.41－tanAtanB4将tanA＝2tanB代入上式并整理得22tanB－4tanB－1＝0，解得tanB＝2±6，舍去负值，得tanB＝2＋6.22tanA＝2tanB＝2＋6.设AB边上的高为 CD，则AB＝AD＋DB＝CD＋CD＝3CD，tanA tanB 2＋ 6由AB＝3，得CD＝2＋6.∴AB边上的高等于 2＋ 6.跟踪训练 4 已知向量 m＝(cosθ，sinθ)和n＝( 2－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝852，θπ求cos ＋ 的值．2 8解m＋n＝(cosθ－sinθ＋2，cosθ＋sinθ)，|m＋n|＝cosθ－sinθ＋22＋cosθ＋sinθ2＝4＋22cosθ－sinθ＝4＋4cosθ＋π4＝21＋cosθ＋π4.82π7由已知|m＋n|＝5，得cosθ＋4＝25.π2θπ又cosθ＋4＝2cos＋－1，282θπ 16所以cos 2＋8＝25.5πθπ