三角函数恒等式变形讲义

1.两角和与差的三角函数sin(α±β)=sinαcosP±cosɑsinP；cos(α±β)=cosαcosβ干sinasinβ；tanα±tanβtan(α±β)=tanatanβ.二倍角公式_sin2α=2sin/cosα；cos2α=cos2α—sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；tan2α=2tanα1-tan2α.三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角;③三角公式的逆用等。(2)化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。(1)降幕公式, 1 1-cos2α 1+cos2αSmaCOSa=—sm2α ； sin2α= ； cos2α= 2 2 21±sin2α=(Sina±cosa)2(2)辅助角公式asinX+bcosX=a2+b2∙sin(X+φ)5其中sinφ=b a. ，cosφ=, aa2+b2 √α2+b2(3)万能公式：a、Asina+Bcosa=√A2+B2sin(α+φ)，其中tanφ=巨.A,C2tanaC 1-tan2a 2tanab、Sin2a= ；cos2a= ；tan2a= 1+tan2a 1+tan2a 1-tan2a.三角函数的求值类型有三类(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，如2a=Q+P)+Q-β),2β=Q+β)-Q-β)2a+β=2(a+β)-β,2a-β=2(a-β)+β,α=Q+β)-β,α=Q-β)+β,P=Q+β)-α,P=-Q-β)+α等。，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；(3)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。.三角等式的证明(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；(2)三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。题型1：两角和与差的三角函数例1.已知sinα+sinβ=1,cosα+cosβ=0,求cos(α+β)的值。例2.已知tanα,tanβ是方程X2-5X+6=0的两个实根根，求2sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)+cos2(。+2)的值。题型2：二倍角公式例3.化简下列各式：∣ri—1|1 1 C=( (3兀CY(1)2'2—2⅛l2+2cos2α!aelE'[(2)cos2α—sin2α2cotf-14)+αcos2

J(兀)--ɑ14J题型3：辅助角公式・兀，7兀aSin—+bCoS—8兀 、bLLt『分例5.已知正实数a,b满足 5 5=tan，求一的值。兀7.兀15aaCoS一—bsin—5 5题型4：三角函数式化简例6.求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值。例7．1-√2sin(2X-—)已知函数f(X)= —CoSX(I)求f(X)的定义域；4(II)设α的第四象限的角，且tanα=-3，求f(α)的值。课堂练习：．选择题12 3— —.已知CoSa=一,α∈(一,2—),则cos(α+一)= ( )13 2 4A.逗B.返C.理D,江13 13 26 26.若均a,β为锐角，Sina=255,sin(α+β)=3,则CoSP=()A.2√5^1^2v5C.2-√5 2"——或——5 25D.2√5

^Γ^.(CoS--Sin—)(coS—+Sin—)=(

12 12 12 12)A.—且B.—1C.1D.亘2 2 2 2.tan700+tan500-√3tan700tan500=（ ）A.V3 B.J3^3^C;3TD.2sin2a5.1+cos2acos2acos2aA.tanab.tan2aC.D.,,”、 √1-cos2Xm.l6.函数f（X）= ,则cosXA.在［0,ɪ）,（g,兀］上递增,在［兀,3^）,（?,2兀］上递减，22 2 2B.在［0,ɪ）,［兀,3^）上递增,在邑,兀］,浮,2兀］上递减22 22C.在邑,兀］,浮,2兀］上递增,在［0,ɪ）,［兀,=）上递减22 22D.在［兀,3^）,浮,2兀］上递增,在［0,：）,（2,兀］上递减2 2 22C3 θ 7已知仅$9=-一,且1800<θ<2700,则tan的值为（ ）52A.12B.-2C.±2D.士—28.若3sinX—√3cosX=2√3sin（X-φ）,φ∈（一兀.兀），则。二（ ）A.B B 5B 5B一一B.—C.——D.-——6 6 6 69.设a∈（0,兀）,sina+cosa=：则Ucos2a的值是（ ）√17A."^ΓB.-2√2 √17 √17、VT7C.——--D.C或一——3 9 9 910.在（0，内，SinX>cosX成立的X的取值范围（ ）A.11.（B,勺U（兀¥）B.（C,兀）C.（B,5兀）D.（B,兀）U浮事）

42 4 4 44 4 42B 2B 3B 4B 5B求cos—cos——cos——cos——cos——=11 11 11 11 11A.1—B.251——C.1D.024*（）112（）2兀）.函数y=cosx—situ%—COS2x+:的最大值为( )4二.填空题1 1.已知α,P为锐角，COSOi=-^,cosβ=丁,则α+B的值为√,10 √5.如果tana、tan。是方程心—3x—3=O的两根,那么叫匕&=cos(α-β)Cya Ci 4.若sin—=—,COS一=-一，则角OC的终边在 象限25 2 5 16代数式2c°sl00-sin20ocos20o三.解答题17.化简：sin(oc+β)cosoc-i[sin(2oc+β)-sinβ]3 518.AABC中，已知CoSA=―,SinB=二，求SinC的值5 1319.Ji 3兀 12 3己知—<β<oc<—,cos(ot-β)=—,sin(oc+β)=,求Sin2α20．求证：tan2X+ tan2x1 2(3+cos4x)1-cos4xx21.已知函数f(x)=2sin4X-X