铁路选线工程测量

第一部分内容：铁路线形的相关计算线路线形的平面和竖面组成及其设计要素：直线、圆曲线和缓和曲线；坡段和竖曲线线路平面和竖面的设计文件：平面计算：任一里程处线路中线设计坐标的计算(缓和曲线和圆曲线上任意点的坐标方位角怎么算？)竖面计算：任一里程处线路中线设计高程的计算(注意坡段上的点可能有平曲线，即可能有超高)根据线路测点坐标计算测点里程2.4设计线路中线上任意点平面坐标和高程计算方法线路测量，需在线路专业提供的设计线形的基础上，计算线路上一定间隔点(特征变化点)的平面坐标和高程，用于线路与线路测量的结果进行比较，以反映线路的品茶情况。高速铁路中平曲线描述线路的平断面线形，由曲线和与之相切的直线组成，曲线分缓和曲线和圆曲线，在曲线上还需设置抵制离心力影响的超高值；竖曲线描述线路的纵断面线形，线路纵断面由竖曲线和与之相切的带坡度的直线组成，竖曲线采用圆曲线[13-14]2.4.1线路任意点平面坐标计算高速铁路线路设计中，线路专业给出的线路平面设计文件主要有两类：一类是包括五大桩坐标以及圆曲线半径、缓和曲线长度与圆曲线处超高；另一类是包括交点坐标、圆曲线半径、缓和曲线长度、圆曲线处超高以及起点里程的设计文件，其中第二类设计文件更加简洁，如下表错误!文档中没有指定样式的文字。-1所示，且第二类设计文件可通过计算曲线要素换算为第一类设计文件。表错误!文档中没有指定样式的文字。-1某高速铁路平曲线部分第二类设计文件属性X(m)Y(m)曲线半径(m)前缓长(m)后缓长(m)超高(mm)起始里程(m)QD4414887.9736469387.12012823.578JD14415106.5310470472.8130300014014060JD24415240.7190471594.4980-2000220220135JD34415091.0520473528.49502500350350150JD44410683.6980478343.8110-4500600600160JD54411126.9070483927.8110-5500700700165JD64407242.0780488477.96008000570570120

由设计可知高速铁路平断面线形可分为直线段、缓和曲线段、圆曲线段等三种，平断面用图形可表示为如下图错误!文档中没有指定样式的文字。-1所示：图错误!图错误!文档中没有指定样式的文字。-1线路平面线形组成示意图上图中ZH、HY、YH、HZ点等曲线特征点的坐标、里程、及其与相邻点间方位角，可通过计算平断面线形相关要素得到，在计算线路任意点的坐标时，需知道线路平断面曲线的左右偏情况，线路偏向前进方向右侧时为右偏，偏向前进方向左侧时为左偏，线路左右偏情况如下图错误!文档中没有指定样式的文字。-2所示：图错误图错误!文档中没有指定样式的文字。-2线路左右偏情况示意图在分析平断面曲线的图形特征后，先沿线路计算曲线上所有相邻直线端点（QD、JD、ZD）间的方位角，线路前进方向为里程增加方向，如上图中a°aDUD2、aD2jd3，可通过计算大里程直线JD1-JD2的方位角减去小里程直线qD」Jdi的方位角的角度值，判断两直线范围内曲线的左右偏属性：当a -a >0。时，若a -a <180。，则线路为右偏；若180o<a「 -a' <360。，则线路为左偏；当a -a <0。时，若a -a +360。<180。，则线路为右偏;若180o<a -a +360o<360。，则线路为左偏。在判断出线路的左右偏后，即可计算线路各交点处的转向角a:当线路为右偏时，a=a -a；JD1-JD2 QD-JD1当线路为左偏时，a=a -a；QD-JD1JD1-JD2若a<0。，则a=a+360。；若a>0。，则a=a。在得到线路曲线的左右偏属性后，用px=1表示曲线要素为右偏，px=-1表示曲线要素为左偏。计算线路任意点的线路坐标时，先根据任意点i的平面里程七判断其在哪种线形下，在直线线形下可直接计算该点的线路坐标，当在圆曲线或者缓和曲线上时，需要先建立曲线独立坐标，再通过坐标平移和旋转到线路坐标系，平移参数、旋转角分别为曲线独立坐标系原点在线路坐标系下的坐标和曲线独立坐标系X轴在线路坐标系下方位角，如下图错误!文档中没有指定样式的文字。-3所示为两坐标系转换示意图，两个坐标系中都是标准的测量坐标系X（x）轴指向北，Y（y）轴垂直于X轴顺时针指向。图错误!文档中没有指定样式的文字。-3坐标系转换示意图上图中O为曲线独立坐标系的原点，任意点，为两坐标系中共同的点。则曲线独立坐标系下的坐标转换为线路坐标系下坐标的坐标转换公式为：X=X+x.cosa-y^sina| （21）Y=Y+xsina+ycosa\iOiOxi OxJ上式中：（x.,y.）——任意点i在曲线独立坐标系下的坐标；（X.,Y）——任意点i在线路坐标系下的坐标；（X。,七）——O点在线路坐标系下的坐标；°a:——曲线独立坐标系X轴在线路坐标系下的坐标方位角。当任意点°i在圆曲线HY~YH段时［15-18］如下图错误!文档中没有指定样式的文字。-4所示：图错误!文档中没有指定样式的文字。-4圆曲线独立坐标系以HY点为坐标原点，以HY点的线路切线前进方向为x轴，过HY点垂直于x轴指向顺时针方向为y轴，建立圆曲线独立坐标系。则，•点在圆曲线独立坐标系中的坐标为：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"气=Rsin（P.） 、\o"CurrentDocument":=R（1-cos（p））[ （2-2）i iP=lx180。/（Rx兀），上式中：R——圆曲线的半径；l——圆曲线任意点i到HY点的曲线长；l=L-L，L为HY点平i iiHYHY面里程；p1——曲线长〈所对应的圆心角（孤度）；y：——数值恒为正值，其实际正负情况将通过坐标转换时加入曲线的左' 右偏属性来改正得到。在得到任意点i在圆曲线独立坐标系坐标后，即可按照式（2-1）并考虑线路左右偏，将圆曲线独立坐标系坐标转换到线路坐标系下为。X=X+x.cosa-px-y.sina1 （23）Y=Y+xsina+px-y^cosaJ上式中（乂时,YQ为HY点在线路坐标系下的坐标，ahy为过HY点的线路切线前进方向的坐标方位角，考虑左右偏的原因是，根据式（（2-2）得〉恒为正，i当线路为右偏时y为正值，此时px=1，px•y>0；线路为左偏时y应为负值，i i i此时px=-1，px•yt<0，这样引入左右偏符号后，即满足坐标实际数值。当任意点i在第一缓和曲线ZH〜HY段时，如下图错误!文档中没有指定样式的文字。-5所示：图错误!文档中没有指定样式的文字。-5第一缓和曲线独立坐标系以ZH点为坐标原点，以ZH点的线路切线前进方向为x轴，过ZH点垂直于x轴指向顺时针方向为y轴，建立第一缓和曲线独立坐标系。则，•点在第一缓和曲线独立坐标系中的坐标为：_/ /5 /9（2-4）气一厂40R22+345&R414（2-4）0 0>13l7七—6rT—336R31300上式中：10——缓和曲线曲线长；[——为ZH点到第一缓和曲线任意点的曲线长;ZH点平面里程；y——数值恒为正值，其实际正负情况将通过坐标转换时加入曲线的左' 右偏属性来改正得到。同理按照式（2-1）并考虑线路左右偏，将第一缓和曲线独立坐标系坐标转换到线路坐标系下为。X.=X+x.cosa-px-ysina1 （25）Y=Y+x.sina+px-y.cosaJ上式中（乂明,丫疽为ZH点在线路坐标系下的坐标，azh为过ZH点的线路切线前进方向的坐标方位角。当任意点i在第二缓和曲线YH〜HZ段时，如下图错误!文档中没有指定样式的文字。-6所示：

图错误!文档中没有指定样式的文字。-6第二缓和曲线独立坐标系以HZ点为坐标原点，以HZ点的线路切线后退方向为x轴，过HZ点垂直于x轴指向顺时针方向为y轴，建立第二缓和曲线独立坐标系。则，•点在第二缓和曲线独立坐标系中的坐标为：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"_—/5 /9气—i—40如12+3456夫4140 0> (2-6)13 17七—6RT—336R31300上式中：1——第二缓和曲线任意点到HZ点的曲线长；1=L-L，L为HZiHZHZ点平面里程；y——数值恒为正值，其实际正负情况将通过坐标转换时加入曲线的' 左右偏属性来改正得到。同理按照式(2-1)并考虑线路左右偏，将第二缓和曲线独立坐标系坐标转换到线路坐标系下。X=X+xcosa'一(一px)-ysina']iHZiHZ iHZI (2-7)HZaHz为过HZ点的线路Y=Y+xsina'+(-px)-HZaHz为过HZ点的线路上式中(XHZ,Yhz)为HZ点在线路坐标系下的坐标，切线前进方向的坐标方位角，则ahz=ahz-180。2.4.2线路任意点高程计算线路的纵断面是由长度不同、陡缓各异的坡段组成称为变坡点，高速铁路中常用变坡点作为特征点描述纵断面，并生成相应竖曲线文件，如下表错误!文档中没有指定样式的文字。-2线路的纵断面是由长度不同、陡缓各异的坡段组成称为变坡点，高速铁路中常用变坡点作为特征点描述纵断面，并生成相应竖曲线文件，如下表错误!文档中没有指定样式的文字。-2所示[1920]表错误!文档中没有指定样式的文字。-2某高速铁路竖曲线部分设计文件—坡度变坡点标高(m)(0‘00)坡段之间坡度变化的点变坡点里程(m)坡长(m)竖曲线半径(m)BPD1：DK0+600.00034.46110240030000BPD2：DK3+000.00058.4614260030000BPD3：DK5+600.00068.861-3.5500030000BPD4：DK10+600.00051.361-3.5300030000BPD5：DK13+600.00040.8614.3260030000BPDa(H-)图错误!文档中没有指定样式的文字。-7线路竖面线形与竖曲线示意图竖曲线的曲线要素用图形表示如下图错误BPDa(H-)图错误!文档中没有指定样式的文字。-7线路竖面线形与竖曲线示意图上图中：i0、i1、i2分别表示相应线路段的坡度；R1、R2为竖曲线的半径；QD为竖曲线的起点，H0为该点高程值；BPD1、BPD2、BPD3分别表示竖曲线的变坡点，H1、H2、H3为相应点的高程值；ZY1、YZ1、ZY2、YZ2分别表示各段竖直线与竖圆曲线相切的特征点；a——竖直线QD到BPD1与竖直线BPD1到BPD2之间的转向角；S——ZY1到YZ1的曲线长；T——BPD1到YZ1的切线长；T'——BPD1到YZ1的平面里程差；y——竖曲线上点P到切线ZY1-BPD1的垂距；L——坡长。其中：T其中：T=在计算竖曲线转向角和凹凸性时有如下图错误！文档中没有指定样式的文字。-8中所示六种情况:⑷⑶⑹图错误!文档中没有指定样式的文字。-8竖曲线转折角和凹凸性示意图为了图形更直观的显示，在上图错误!文档中没有指定样式的文字。-8中的坡度值都比实际设计值大很多，，1和，2分别表示竖曲线变坡点前后段线路的坡度，a表示转向角。考虑线路坡度的正负性，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，总结图中六种情况得到以下规律：a=|i1-i2\ （2-8）即转向角等于相邻坡度相减之值取绝对值，且当.-i2>0时，竖圆曲线为上凸；当i1-i2<0时，竖圆曲线为下凹；在得到转向角后计算圆曲线曲线长和切线长得：S=Rxa…叫| （2-9）T=Rxtan（—）由式（2-9）以及直线BPD1-BPD2的坡度i1就可以计算圆弓弧形竖曲线YZ1点的高程：%=气叫+「xi1 （2-10）上式中：H、H——点YZ］、BPD1的高程。同理zY］点的高程：Hzy=HBp.-T0xi0 （2-11）上式中：气——ZY1到BPD1的平面里程差。在计算竖曲线中圆曲线上点的高程时，需加上曲线到切线上的高程改正，即P点对应的y值［21］：(2-12)(L-L)2y=~*2R"(2-12)1上式中：气——竖圆曲线的半径；L：、Lp——竖圆曲线上点TX\、P的里程。线路中线点的高程计算与平面数据计算独立，高程以给定的竖曲线要素计算，纵断面为直线的部分高程不改正，纵断面为竖圆曲线的部分按相应的竖圆曲线高程改正计算。线路竖圆曲线范围内在平面上总是直线，即竖圆曲线不应与平曲线段重叠，计算出来的纵断面高程即为中线点高程；平曲线中的缓和曲线和圆曲线存在超高值，圆曲线超高恒为设计值，缓和曲线段超高为从0线性增加到圆曲线的设计超高值，此时纵断面计算出的高程加上超高值的一半才为线路中线点高程。从图错误!文档中没有指定样式的文字。-7可知，竖曲线上任意点（RYD）的高程计算可分为三种情况：1、 RYD在BPD1到YZ1内：hRYD=H+（Lrd-LpD）-七+[T-（Lrd-LBpD）]2/2R1 （2-13）2、 线路点在YZ1到ZY2内：妇二七+0"）。1 （2-14）3、 线路点在ZY2到BPD2内：hRYD=H^+（Lrd-L^）-七+（Lryd-Lzy）2/2R2 （2-15）若RYD在坡度线范围内存在超高或则RYD的高程Hryd为：Hrd=hRYD+Ah/2 （2-16）若不存在超高，则：Hryd=hRYD。第二部分内容：轨道几何状态参数及其计算方法第三部分内容：基于斜率变化的平面线形自动分段本文基于斜率变化的轨道平面线形自动分段方法的基本思路为：首先以理论上直线段斜率差为零和两直线交点附近的实测轨道点一定是圆曲线上的测点这两条原则，初步判断出直线和圆曲线包含的部分测点；其次根据已判断出的测点属性，按2.3节提出的方法分别拟合前夹直线、后夹直线和圆曲线，并根据拟合得到的线形参数计算分段点；然后根据分段点重新判断轨道实测点所在位置的线形，并分别重新拟合直线和圆曲线，根据计算的线形参数得到新的分段点；重复上一个过程，最后直到分段点基本保持稳定，从而达到平面线形自动识别的目的。基于斜率变化的整个平面线形自动分段的过程如下图2-6所示。开始图2-6基于斜率变化的平面线形自动分段方法过程图

基于斜率变化的平面线形自动分段方法具体计算步骤为：（1） 以一定的弦长由轨道实测点坐标反算各弦所在直线的斜率。设定一个阈值a（直线段斜率变化的限差，视测量误差大小的不同而不同，可结合斜率变化图确定），比较相邻弦的斜率差和阈值a的大小，按照理论上直线段斜率变化为零的原则，大致确定两条夹直线段所包含的测点。（2） 由步骤（1）粗略分段得到的两条直线段包含的测点，按照2.3.1节数学模型进行线形拟合，可得到拟合后的前、后夹直线的斜率匕、k2和截距b.气。按下式（2-18）计算两直线的交点坐标（xD,yD）和转角a，计算公式如下:2b-bTOC\o"1-5"\h\zx=— 1JDk—k\o"CurrentDocument"2 1(2-18)y=xxk+b(2-18)a=arctan(k—ka=arctan(—2 11+kk12（3）计算距离交点最近的M（如M=100）个轨道实测点，作为圆曲线上的测点，利用2.3.2节的数学模型拟合得到圆曲线圆心O的坐标（％y0）和半径R，并根据式（2-19）计算出圆曲线内移量p，进而可由式（2-20）计算缓和曲线长度l[23]。0（2-19）xxk+b—yrx：k2+1（2-19）式（2-19）中：k、b一前或后夹直线的斜率、截距。10=\^4Rp （2-20）（4）计算直线和缓和曲线的分段点坐标。如下图2-7所示，由下式（2-21）计算直缓点（ZH）的坐标（x,y），同理可以计算出缓直点（HZ）的坐标（x,y）。zhzh hzhzx=x+Txcos（a ）］y=y+Txsin（a ）J式（2-21）中：aDzH-JD到ZH点的坐标方位角，可以根据斜率进行推算；T—切线长，计算公式如下式（2-22）［23］：aT=(R+p)tg—+m(2-22)2(2-22)13m=-o——0——240R2'■ : aJD图2-7平面曲线计算示意图（5） 计算缓和曲线与圆曲线的分段点坐标。结合图2-6由下式（2-23）计算缓圆点（HY）的坐标（x^,与/），同理可以计算出圆缓点（YH）的坐标。x=x+Rxcos（a）］y=y+Rxsin（a）J式（2-21）中：（x,y）一圆心坐标；a°—圆心O到HY点的坐标方位角，可以根据圆心O到JD的O-HY方位角、转角a及缓和曲线切线角P°推算。（6） 根据（4）和（5）中得到新的分段点坐标，分别确定各个测点在平面线形中的属性，然后分别重新拟合前、后夹直线和圆曲线（此时参与拟合的测点数量与初次拟合的测点数量不同），再根据重新拟合的参数第二次计算分段点坐标。（7） 判断第二次计算的分段点坐标与初次计算的分段点坐标的差值，若大于设定的阈值b（前后两次分段点坐标差值的限差，如0.1m），则重复（4）〜（6）步；若小于设定的阈值b，说明分段点（ZH、HY、YH、HZ）趋于稳定，则得到最后结果。第四部分：基于几何距离最短的正交最小二乘线形拟合方法曲线拟合所采用的主要方法有拉格朗日插值法、样条函数拟合法和最小二乘法等［18］。拉格朗日插值法在有些情况下会出现龙格现象（拟合曲线会在两端发生较大幅度的无规律变化，出现较大的拟合误差）；样条曲线的拟合精度受采样点间距影响较大;最小二乘法能够消除其局部波动，适合用于拟合无序的离散点，可以体现出给定的数据点的变化趋势。所以目前一般以最小二乘法进行线形的拟合。最小二乘拟合是一种基于数学理论的优化方法，它是通过最小化误差的平方和最小以寻找数据的最佳函数匹配，利用最小二乘原理可以简便地求出特定模型的未知参数，并使得误差的平方和最小［19］。但是传统的最小二乘曲线拟合方法只考虑因变量（Y坐标）的误差，自变量（X坐标）则被认为是准确值，并没有考虑自变量、因变量都存在误差的情况［20］。本文把基于几何距离最短的整体最小二乘拟合法作为新的拟合标准，这样既考虑了测点的横、纵坐标的误差情况，也能保证测点到拟合后线形的距离整体最短，找到整体上最接近轨道实测点的曲线。传统最小二乘法曲线拟合与基于几何距离最短的正交最小二乘曲线拟合法两者的区别如下图2-5所示。图2-5不同最小二乘曲线拟合法的区别图下面分别介绍直线段和圆曲线段基于几何距离最短的正交最小二乘曲线拟合法的数学模型。2.3.1直线段正交最小二乘拟合模型铁路线路中最简单的线元为直线，设直线方程表示为：y=kx+b（i=1,2,3,..n） （2-5）式（2-5）中：（x,x）—直线段轨道上的的测点坐标；k、b'一待求直线的斜率、截距。k、b为未知参数，设k0、b0分别为其近似值，有

k=k0+8ab=b0+8b则直线段上任一测点（土k=k0+8ab=b0+8b则直线段上任一测点（土,七）到直线的距离的平方为:(kx-y+b)2lk2+1(2-6)(2-7)对式(2-7)按泰勒级数展开，并且线性化，所得误差方程式为：2x(k0x-y+bo)2ko(k0x-y+b0)22(k0x-y+b0)8k (k0x-y+b0)2^^2=[―i—i—i 1—i ,( 1—i )]M」-(——i—i )i (k0)2+1 [(k0)2+1]2 (k0)2+1 8b (k0)2+1（2-8）对各测点按式（2-8）开列误差方程，并组成误差方程的矩阵形式为:V=B8x-1（2-9）Vs2式（2-9）中:Vs22(k0x2(k0x-y+b0)

(k0)2+12x(k0x-y+b0) 2k°(k0x-y+b0)2TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1 1(k0)2+1 [(k0)2+1]22x(k0x-y+b0) 2k0(k0x-y+b0)22(k0x-y+b0) Q K K K K K K 2 2 2 2 2 , 2 22(k0x-y+b0)

(k0)2+1B= (k0)2(k0x-y+b0)

(k0)2+12x(k0x-y+b0)2k°(k0x：-y+b0)2 — n n n n n(k0)2+1 [(k0)2+1]2(k0x-y+b0)2~ 1(k0)2+1(k0x-y+b0)22 2(k0)2+1(k0x—y+b0)2n n(k0)2+1以咒s2=min为原则，根据最小二乘原理，求得未知参数的解为:ii=1(2-10)=(BtB)-1(BTl)(2-10)最后可以根据式（2-6）得到直线方程中斜率和截距的最优解，