七年级数学培优竞赛讲座第9讲-绝对值与一元一次方程

第九讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题【例1】方程∣5X+6|=6X—5的解是.（重庆市竞赛题）思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例2】适合∣2a+7∖+12a—1|=8的整数a的值的个数有（）.A．5 B．4C．3D．2（“希望杯；邀请赛试题）思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．注：形如IaX+b=cx+d的绝对值方程可变形为ax+b=±（cx+d）且cx+d>0，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例3】解方程：IX—3x+1||=4；思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．（天津市竞赛题）【例4】解下列方程：IX+3-|xTl=X+1 （北京市“迎春杯”竞赛题）IX-1+IX-5|=4. （“祖冲之杯”邀请赛试题）思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例5】已知关于X的方程IX-2|+IX-3∣=a,研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况，a与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．学力训练X1.方程3(Xl-I)=-+1的解是；方程∣3x-1∣=∣2X+1的解是.已知3990X+1995∣=1995,那么X=.已知，W=X+2，那么19x99+3x+27的值为..关于X的方程同X=a+1|-X的解是x=0,则a的值；关于X的方程a,=1a+1∣-X的解是x=1,则有理数a的取值范围是..使方程3∣X+2|+2=0成立的未知数X的值是（）.2A.一2B.0C.D.不存在3.方程IX-5∣+X-5=0的解的个数为（）. （“祖冲之杯”邀请赛试题）A.不确定B.无数个C.2个 D.3个TC7.已知关于X的方程mx+2=2（m-x）的解满足X---1=0，则m的值是（）（山东省竞赛题）22 2a.10或5 b.10或-5c.-10或5 d.-10或-5.若∣2000X+2000∣=20X2000，则X等于（）. （重庆市竞赛题）A.20或一21B.—20或21C.-19或21 D.19或一21.解下列方程：（I）PX-5|+4=8；（2）∣4X-3|-2=3X+4；IX-12X+1=3；∣2X-1∣+IX-2∣+IX+1|..讨论方程IIX+3|-2∣=k的解的情况..方程I∣∣x∣-2-11=2的解是..若有理数X满足方程1-Xl=1+Xl，则化简X-1的结果是..若a>0,b<0，则使X-a+X-b=a-b成立的X取值范围是 ..若0<X<10，则满足条件X-3∣=a的整数a的值共有一个，它们的和是.若m是方程∣2000—N=2000+间的解，则W—2001∣等于（）.A.m—2001 B.—m—2001C.m+2001 D.—m+2001.若关于X的方程∣2X-3∣+w=0无解，∣3X-4+n=0只有一个解，∣4X-5∣=k=0有两个解，贝Um、n、k的大小关系是（）. A.m>n>kB.n>k>m C.k>m>nD.m>k>n.适合关系式∣3X-4+3X+2=6的整数X的值有（）个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数.方程IX+5|-13X-7|=1的解有（）.A.1个 B.2个C.3个D.无数个.设a、b为有理数，且|〃|>0，方程IlX-α∣-b=3有三个不相等的解，求b的值.（“华杯赛”邀请赛试题）.当a满足什么条件时，关于X的方程IX-2∣-∣X-5=a有一解?有无数多个解?无解?.已知IX+2+1-Xl=9-Iy-5|-1+y∣,求x+y的最大值与最小值. （江苏省竞赛题）.（1）数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离；（2）是否存在有理数X,使IX+1+IX-3∣=X?（3）是否存在整数X,使IX-4+IX-3∣+IX+3∣+IX+4=14?如果存在，求出所有的整数X；如果不存在，说明理由.第九讲绝对值与一元一次方程参考答案回络对值与一元一次方程1例题求解】例ITHll提示2庭方理3jH〃士"或从5h+6三心5K十方<中讨说一例工⅛B提示t由已知即在鼓箱上表示船的点到-7与+1的更离和等于心所以加表示一7到I之间的偶数，例3]=一1■或h="∣^提示E原方程化为J■一|3*+11h4虱上一|3才+1I=-4例40)提示：当χ<-3时T原方程化为j+3+(j-l)ɪɪɪɪ+].图J=-5f当一3《工<1时,原方程化为J7÷3-tʃ-1=j÷1,⅛I=—Lj⅛jt⅛∣时,烟方理化为x+3Ffχ-iJ=jr+l,⅞⅛j∙=3,号上知原方程的解为r--3+-l∙3.露)提示I方程的几何意义是，聚:轴上表示数工的点到表示数1及5的距翔和等于4,EiW数轴易得满足条件的数为ICκ≤G,此即为胞方程的解，例5提示：数轴上表示数工的点到数轴上表示取“3的点的距序和的j⅛小值为】,由此可得方程解的情况是』U)^u>l时r胞方程解为了=字F[力当XJ=I时r原方程解为WWh<3;(3)⅛a<l时.原方程式解一【学力训练】1÷士与毒或白2.0或F3.5-l,α⅛D提示[也3+1IK山I十1得。XlWO,即UWOE6.H7.AS.D9,(1)j=3⅛j=-⅛-j(2)z=9或J：=—ɪ^-j(s)ɪ=—⅛■或j=γ2∣(4)⅛⅛[⅛⅛ljγ<-1,-l≤i<-∣j.4u⅛jt≤2.工>£PII种情况3 F -J 占巴分别去抻鲍时值符号解方程，当考虑到J<]<2时•原方程化为小工一1)—Q—包)=x-I•即1∙1+这是一T恒等式•说明‰l凡是湎足十&W2胞工值都J⅛方程的邮]«,⅛AMQ时.原方.程无鼾；当EHo时.摩方程有两解“一-I或耳一一51当。V/V2时.原方程化为I工+31=2±3此附原方程有四解仃=-3土㈢土工人当*=£时,原方程化为u*m∣=2±2∙此时原疔程有[解仃=]或f=-7或H--3F当左>2时.好方程有两解」τ+Rnt"f+Q.11.±5 11,J-JIL⅛≤j≤tf提示；利用绝对值的JL同意乂霜.L4.7、21提示I当0<j<3时，则有旧一3! 的解星1.心当3工工<i∏时，则有；丁一③！=±-3=回."的新为口，，2.3,4,5,队IS.D提示打1«.A17+C提示：一£五3h≤U 18.BL9.提示：若b+3力3都是非负的，而且如果箕中∙个为零.则得3个解卜如曷都不是零，则将《个解.放bxH10.根示：出绝时值几何意义知：当一3<&V3时，方