理科双曲线知识点总结和重点题型整理

./[圆锥曲线板块]双曲线知识点总结及重点题型班级_______姓名________知识点一：双曲线的定义在平面内,到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数〔大于0且的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫作双曲线的焦距.

注意：1.双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件：,这可以借助于三角形中边的相关性质"两边之差小于第三边"来理解；

2.若去掉定义中的"绝对值",常数满足约束条件：〔,则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若〔,则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；

知识点二：双曲线的标准方程

1．当焦点在轴上时,双曲线的标准方程：,其中；

2．当焦点在轴上时,双曲线的标准方程：,其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中,都有；

3．双曲线的焦点总在实轴上,即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时,焦点在轴上,双曲线的焦点坐标为,；当的系数为正时,焦点在轴上,双曲线的焦点坐标为,.知识点三：双曲线的简单几何性质

双曲线〔a＞0,b＞0的简单几何性质

〔1对称性：对于双曲线标准方程〔a＞0,b＞0,把x换成-x,或把y换成-y,或把x、y同时换成-x、-y,方程都不变,所以双曲线〔a＞0,b＞0是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为双曲线的中心。

〔2范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧,是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。〔3顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线〔a＞0,b＞0与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点,坐标分别为A1〔―a,0,A2〔a,0,顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1〔0,―b,B2〔0,b为y轴上的两个点,则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长。

注意：①双曲线只有两个顶点,而椭圆有四个顶点,不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。

②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

〔4离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用e表示,记作。

②因为c＞a＞0,所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2,可得,所以决定双曲线的开口大小,越大,e也越大,双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线,所以离心率。

〔5渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a,经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b,四条直线围成一个矩形〔如图,矩形的两条对角线所在直线的方程是,我们把直线叫做双曲线的渐近线。注意：双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交。

知识点四：双曲线与的区别和联系标准方程图形性质焦点,,焦距范围,,对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴实轴长=,虚轴长=离心率渐近线方程知识点五：双曲线的渐近线：〔1已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为,则其渐近线方程为注意：〔1已知双曲线方程,将双曲线方程中的"常数"换成"0",然后因式分解即得渐近线方程。〔2已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为,则可设双曲线方程为,根据已知条件,求出即可。〔3与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为〔,焦点在轴上,,焦点在y轴上〔4等轴双曲线的两条渐近线互相垂直,为,因此等轴双曲线可设为定义的应用1．动点与点与点满足,则点的轨迹方程为______________2．已知点和,曲线上的动点P到、的距离之差为6,则曲线方程为〔A．B．C．或D．3.已知平面上两定点及动点M,命题甲：〔为常数,命题乙："点M轨迹是以为焦点的双曲线",则命题甲是命题乙的〔充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件4双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于,则点到另一个焦点的距离等于.5．设是双曲线上一点,双曲线的一条渐近线方程为,分别是双曲线的左、右焦点,若,则的值为．6．已知双曲线的中心在原点,两个焦点分别为和,点在双曲线上且,且的面积为1,则双曲线的方程为__________________7.已知双曲线的两个焦点为,是双曲线上的一点,且,,则该双曲线的方程是〔8.已知为双曲线的焦点,过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且；则9．双曲线的两个焦点为,点在双曲线上,若,则点到轴的距离为10.双曲线16x2-9y2=144上一点P<x0,y0><x0＜0>到左焦点距离为4,则x0=.11．若椭圆和双曲线有相同的焦点,点是两条曲线的一个交点,则的值为．12．动圆与两圆和都相切,则动圆圆心的轨迹为〔A．抛物线B．圆C．双曲线的一支D．椭圆13．是双曲线左支上的一点,为其左、右焦点,且焦距为,则的内切圆圆心的横坐标为双曲线的几何性质1．"ab<0"是"方程表示双曲线"的〔A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．双曲线的一个焦点是,则m的值是_________。3．如果双曲线的渐近线方程为,则离心率为____________4．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则〔5．双曲线的两条渐进线互相垂直,那么该双曲线的离心率为<6．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列,则其离心率为<>7．是双曲线上一点,则到两条渐近线的距离的积为8．双曲线的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离心率为．9．已知双曲线的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为10．已知双曲线的离心率为,则的范围为____________________11．若双曲线的一条渐近线的倾斜角为,其离心率为．12.方程表示双曲线,则的取值范围〔13.椭圆和双曲线有相同的焦点,则实数的值是〔25914．曲线与曲线的〔焦距相等离心率相等焦点相同准线相同15．已知椭圆和双曲线有公共焦点,那么双曲线的渐近线方程为_____16.已知方程,则此曲线是〔焦点在轴上的双曲线焦点在轴上的双曲线焦点在轴上的椭圆焦点在轴上的椭圆求双曲线方程1.已知圆与圆,圆与圆,圆均外切；则圆的圆心的轨迹方程是2．若双曲线的两个焦点分别为,且经过点,则双曲线的标准方程为．3．与曲线共焦点,而与共渐近线的双曲线方程为<>4．已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为,则双曲线的标准方程是___________.5.已知双曲线通过两点,求双曲线的标准方程.6.〔1设是双曲线上的动点,为坐标原点,为线段中点,求点的轨迹方程.直线与双曲线1．直线与的右支交于两点；求实数的取值范围。2．过原点的直线与双曲线有两个交点,则直线的斜率的取值范围为_____________3．双曲线的左焦点为F,点P为左支的下半支上任一点〔非顶点,则直线PF的斜率的范围是〔A．〔-∞,0]∪[1,+∞B．〔-∞,0∪〔1,+∞C．〔-∞,-1∪[1,+∞D．〔-∞,-1∪〔1,+∞4．已知双曲线的焦点为,,离心率为2.〔1求此双曲线渐近线,方程；〔2若分别为,上的动点,且；求线段中点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。一.定义的应用1.2．D3.4．5.76.7．8．9．10.11.12．C13.二双曲线的几何性质1．A2．-23.或4．5．6．7．8.9．10.11.13．14．15.16.三.求双曲线方程1．2.3．4．5．设双曲线方程为由题意