我们常常遇到求最大值和最小值的问题

我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．y=an+—(1 1.例1设a是大于零的常数，且aMl, '求y的最大值与最小值．辭厂[a-丄-.下面对一次项系数分两种情況讨论-kaja⑴当a>WsJ沁于是函数y=[a--L+-的函数值是随着a. taja谢増加而増加的，所以当“0咏y取最小值土当汁1时.y取最越当尺1<1眄a-i<0：v于是函数y二 大值a卜卜十寸的函栽値是随着工的增加而减步旳.所以当乂=0时「y取最大值当魏=1时，卩取最小值筑.例2已知x,y,z是非负实数，且满足条件x+y+z=3O,3x+y-z=50.求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．分析题设条件给出两个方程，三个未知数x,y,z,当然，x,y,z的具体数值是不能求出的.但是，我们固定其中一个，不妨固定x,那么y,z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了. r|40-.'2k^；.0,V解从已知条件可解得y=40-2x, z=x-10.所以u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10)=-x+140.又y,z均为非负实数，所以解得10WxW20.由于函数u=-x+140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120.二次函数的最大值与最小值

例3已知x1，x例3已知x1，x2是方程xHk-2)x是方程xHk-2)x+(k2+3k+5)=0"曰 4 F(k)二式十云匸仪1+宛犷-.：2知空解得 =(k-2)2-2tk2+3k+5>由于陶在［-书冷］上是減函数，叫见当k=V时，吐)=小£有最大值畑当让=-；四，f(k)有最小值牛=-k2-1Ok-由于陶在［-书冷］上是減函数，叫见当k=V时，吐)=小£有最大值畑当让=-；四，f(k)有最小值牛例4已知函数有最大值-3，求实数a的值.^3-Hs这时推］的最犬值是寸；即?-1.由-J-1=-兀得a土忑.因为a<-1,故包=-\(2.综上所述，满足题意的过为2+屈或-梔. 的范围内分三种情况讨论.-a2+4a-l=-3它的对称轴是直线筈二-即于是必须根据值筈=■是否在-£(T)若-扌<-*取>1时，讷随着盘的增扣而减少，如图3-9.这时，谊的最大值杲f-，即-a2+4a-l.由得自=2空"丽■因Q1、?念=2+、怎、_H_1—日/1口n fl—/1\師曰_1_仝斗例5已知边长⑵石-严-严宁即-1<X1时，--<<-］的取大値为为4的正方形fft］；即敢如图了-1。所示.由亦谕这与-应亦1矛截去一I引 怎 个角后盾.ABCDE(如图3—12),其中盾.ABCDE(如图3—12),其中BF=1.试在AB上求一点矩形PNDM有最大面积.團5-10成为五边形AF=2,P，使^13-11解设矩形PNDM的边DN=x,NP=y,于是矩形PNDM的面积S=xy,2WXW4.易知CN=4-x,EM=4-y，且有押2—押2—pir'1—耳例丫来函旳最值.2x十2盜十1当x=4时有最大值二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当xW5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2WxW4的S来说,例6设p>0,x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25,f(x)+g(x)=x2+16x+13.求g(x)的解析式和p的值.解由题设知f(p)=5,g(p)=25,f(p)切-BCEF +g(p)=p2+16p+13.CN所以所以p2+16p+13=30,p=1(p=-17舍去).ma-:由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x-1)2+5,aVO,ma-:g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a+8)x+8-a.由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x2+12x+10.分式函数的最大值与最小值4(l-a)(S_a)_4('a+S)2_r40^ =求分式函数厂弋十c的最大值与最小值问题，常用的亦法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△三。，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值.

解去分母、整理得(2y-1)x2解去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．命二次方程.因釜是实数，所％惻式△20,即解得△=[2(y+l)]2-4(2y-l)(y+3)三0,解得-4WyW1.当y当y二1时，玉二彰.由此即知$当赛二-£时，取最小值-4,当x=-2时，y取最大值1.说明本题求最值的方法叫作判别法,这也是一种常用的方法.但在用判别法求最值时应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值.例g设函数汗令寻的最大值为4,最小值为-1.求弘t■的值；解将原函数去分母，并整理得yx2-ax+(y-b)=0.因x是实数，故△=(-a)2-4?y?(y-b)20，即 y2-by-^＜：0. ①由题设知，y的最大值为4,最小值为-1，所以

（y+i）（y-4）W0,即 y2-3y-4W0. ②由①，②得寸一切一；-二宀3/-4,所以a=±4寸一切一；-二宀3/-4,=T-其他函数的最大值与最小值=T-处理一般函数的最大值与最小值,我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．例9设淀正实数，求函数y=x2-x+£的最水值y=（x'3-2^+1）+X+-+21-3又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1.「 ]V2说明在求最小（大）值，估计了下（上）界后，一定要 十卜辰+我]-A举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小（大）值，否则就不一定对了.例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值.例10设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值.分析先将u看作是x的二次函数（把y看作常数），进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来.又当x=0，y=1时，u=-1,所以，u的最小值为-1.

因为-:；点》所加匕)<；.故当0—0,整数側:，陶取最大值*.这里°是£+*的小数部分，0<a<],即”丄点是例即”丄点是例11求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数.11—+—=n+a,.s: 2:〔4)函数y=2-J-云44£(dC4C4)的最大值是 ,最不值1•填空：⑴函数y=X2 +2x-3(0WxW3)的最小值是 ，最大值是 .£钳函数y亠存-['! 6)的最犬值足(3)已知函数y=X2+2ax+l(-lWxW2)的最大值是4,则a= .是 5)设翳°5)设翳°=云+6-1強十护嘉M,为函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是使M最大，k= .ViVi2.设f(x)=kx+1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx+1在-1WxW3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值.3.x,y,z