2021-2022学年湖南省长沙市剑凡中学高一数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年湖南省长沙市剑凡中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.在△ABC中，（a，b，c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（

）A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形参考答案：B【分析】利用二倍角公式，正弦定理，结合和差公式化简等式得到，得到答案.【详解】故答案选B【点睛】本题考查了正弦定理，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.3.已知函数，若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．参考答案：A【考点】等差数列的性质．【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）an．5.过直线上一点作圆的两条切线、，为切点，当、关于直线对称时，等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C6.已知数列{an}的前n项和为Sn，，且满足，若，则的值为（

）A. B.－3 C. D.－2参考答案：D【分析】由递推关系可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得公差；利用等差数列通项公式和前项和公式分别求得和，代入求得结果.【详解】由得：数列为等差数列，设其公差为，

，解得：，本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到利用递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项公式和前项和公式的应用.7.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A．（k∈z） B．（k∈z） C．（k∈z） D．（k∈z）参考答案：B【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HM：复合三角函数的单调性．【分析】由图象可求函数f（x）的周期，从而可求得ω，继而可求得φ，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的递增区间．【解答】解：|AB|=5，|yA﹣yB|=4，所以|xA﹣xB|=3，即=3，所以T==6，ω=；∵f（x）=2sin（x+φ）过点（2，﹣2），即2sin（+φ）=﹣2，∴sin（+φ）=﹣1，∵0≤φ≤π，∴+φ=，解得φ=，函数为f（x）=2sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，得6k﹣4≤x≤6k﹣1，故函数单调递增区间为（k∈Z）．故选B【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查复合三角函数的单调性，属于中档题．8.（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩（?UB）=（） A． {4，5} B． {2，3} C． {1} D． {2}参考答案：C考点： 交、并、补集的混合运算．专题： 计算题．分析： 利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出A∩CUB解答： ∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，∴?UB={1，4，5}A∩?UB={1，2}∩{1，4，5}={1}故选C．点评： 本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算．9.数列满足则等于 （

） A．

B．－1

C．2

D．3参考答案：A略10.在△ABC中，若，则△ABC的形状是：(

)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（3分）已知函数f（x）=|2sinx﹣t|（t＞0），若函数的最大值为a，最小值为b，且a＜2b，则t的取值范围是

．参考答案：（，+∞）考点： 函数的最值及其几何意义．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由﹣1≤sinx≤1知≤2sinx≤2；讨论t以确定函数的最值，从而解得．解答： ∵﹣1≤sinx≤1，∴≤2sinx≤2；①若t；则a=2﹣t，b=﹣t；则2﹣t＜2（﹣t）；在t＞0时无解，②若≤t≤2；最小值为0，故a＜2b无解；③若t＞2；则a=t﹣，b=t﹣2；故t﹣＜2（t﹣2）；解得，t＞；故答案为：（，+∞）．点评： 本题考查了函数的最值的应用及分类讨论的数学思想应用，属于中档题．12.设x，y∈R，a>1，b>1，若，，则的最大值为______参考答案：113.已知函数．若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围为

.

参考答案：(或略14.函数y=2sin2x﹣3sinx+1，的值域为

．参考答案：【考点】HW：三角函数的最值．【分析】令sinx=t，求出t的范围，得出关于t的二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可．【解答】解：令sinx=t，则y=2t2﹣3t+1=2（t﹣）2﹣，∵x∈[，]，∴t∈[，1]，∴当t=时，y取得最小值﹣，当t=或1时，y取得最大值0．故答案为：．15.已知幂函数的图像过点，则_______________.参考答案：略16.频率分布直方图中各小长方形的面积总和为____________．参考答案：1略17.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与CD所成的角为90°，④取BC中点E，则∠AEO为二面角A-BC-D的平面角．其中正确结论是__________．（写出所有正确结论的序号）参考答案：①，②如图所示，取中点，则，，所以平面，从而可得，故①正确；设正方形边长为1，则，所以，又因为，

所以是等边三角形，故②正确；分别取，的中点为，，连接，，．则，且，，且，则是异面直线，所成的角．在中，，，∴．则是正三角形，故，③错误；

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.国庆“黄金周”及其前后是旅游旺季.某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第天的部分数据如下表：天数（单位：天）1381215日经济收入Q(单位：万元)218248288284260（1）

根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q与的变化关系：Q，Q，Q，Q,并求出该函数的解析式；（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入.参考答案：略19.已知函数在上是减函数，求函数在上的最大值与最小值．参考答案：当时，，=；当时，，．根据函数在上是减函数,所以0<a<1,然后可得二次函数f(x)的对称轴x=a的范围，再讨论和，求出f(x)的最值

20.已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）解关于x的不等式．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；指、对数不等式的解法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）转化为log9﹣log9（9x+1）=2kx恒成立求解．（2）利用（3x﹣a）（3x﹣）＞0，分类讨论求解．【解答】解：（1）∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即log9（9﹣x+1）﹣kx=log9（49+1）+kx，∴log9﹣log9（9x+1）=2kx，∴（2k+1）x=0，∴k=﹣，（2），（I）①a＞1时?3x＞a或?{x|x＞log3a或，②0＜a＜1时或3x＜a，{x|x＞log或x＜log3a}，③a=1时?3x≠1，{x|x≠0}．【点评】本题考查了函数的性质，不等式的解法，属于中档题．21.已知关于x的不等式的解集为A，且.（I）求实数a的取值范围；（II）求集合A.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.试题分析：（Ⅰ）因为，所以将3代入后，可求得的取值范围；（Ⅱ）将不等式整理为，再讨论以及三种情况，确定三种情况后，再求二次不等式对应的二次方程的实根，讨论实根的大小，从而确定不等式的解集.试题解析：（I）∵，∴当时，有，即.∴，即a的取值范围是.（II）当a=0时，集合；当时，集合；当时，原不等式解集A为空集；当时，集合；当时，集合.考点：含参的一元二次不等式的解法22.已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的正三角形，；（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）设F为棱PA的中点，求二面角P-BC-F的余弦值.参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）由题意结合正弦定理可得，据此可证得平面，从而可得题中的结论；（2）在平面中，过点作，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，由空间向量的结