2022-2023学年福建省漳州市吴川第二中学高二数学文下学期期末试题含解析

2022-2023学年福建省漳州市吴川第二中学高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知

(

)A．－4

B．6

C．8

D．不存在参考答案：B2.双曲线的渐近线方程是

(

)(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：C略3.设集合存在互不相等的正整数使得则不属于集合的函数是（

）

A.

B．

C．

D．参考答案：B4.已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（）A．3 B． C．4 D．参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】设点A的坐标为（x1，y1），求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：设点A的坐标为（x1，y1），抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，∵点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，∴=，∵y12=4x1，∴解得x1=或x1=4，∵|AF|＞2，∴x1=4，∴A点到原点的距离为=4，故选：B．【点评】本题主要考查抛物线性质和定义的应用，利用抛物线的定义建立方程关系是解决本题的关键．5.已知f(x)=，在区间[0,2]上任取三个数,均存在以

为边长的三角形，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略6.在△ABC中，已知A=，a=8,b=,则△ABC的面积为

（

）

A.

B.16

C.或16

D.或参考答案：D略7.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 A．m2

B．1m C．1m2

D．m－1或1m2参考答案：B略8.已知，则的展开式中的系数为（

）A.－15 B.15 C.－5 D.5参考答案：D由题意得，故求的展开式中的系数．∵，展开式的通项为．∴展开式中的系数为．选D．9.12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3个的必然事件是（）A．3件都是正品

B.至少有1件是次品C.3件都是次品

D.至少有1件是正品参考答案：D10.设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（

） A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在数列中，_________参考答案：略12.椭圆若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为，求椭圆的方程．参考答案：【考点】椭圆的标准方程．【分析】由题意推出椭圆的关系，b=c，利用焦点到同侧长轴端点距离为，求出a，b，即可求出椭圆的方程．【解答】解：因为椭圆的对称轴在坐标轴，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，所以b=c，a=b，又焦点到同侧长轴端点距离为，即a﹣c=，即a﹣b=，解得a=，b=c=1，所以当焦点在x轴时，椭圆的方程为：=1；当焦点在y轴时，椭圆的方程为=1．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的基本性质，考查计算能力，属于中档题．13.向量与的夹角为θ，｜｜=2，｜｜=1，=t，=（1﹣t），｜｜在t0时取得最小值，当0＜t0＜时，夹角θ的取值范围是

．参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由向量的运算可得∴｜｜2=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1，由二次函数可得0＜＜，解不等式可得cosθ的范围，可得夹角的范围．【解答】解：由题意可得=2×1×cosθ=2cosθ，=﹣=（1﹣t）﹣t，∴｜｜2==（1﹣t）2+t2﹣2t（1﹣t）=（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1由二次函数知当上式取最小值时，t0=，由题意可得0＜＜，解得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜故答案为：14.在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为______．参考答案：15.函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中则的最小值为

▲

．参考答案：216.已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为

．参考答案：2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案．【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R，∴，解得：，∴=2，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础题．17.实数x，y满足，则的最小值是_______________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足（Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】阅读型．【分析】（1）把a=1代入不等式后求解不等式，同时求解不等式组，得到命题p和命题q中x的取值范围，由p且q为真，对求得的两个范围取交集即可；（2）p是q的必要不充分条件，则集合B是集合A的子集，分类讨论后运用区间端点值之间的关系可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0，得：（x﹣3a）（x﹣a）＜0，当a=1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由，得：2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．

（Ⅱ）p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q，设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则B是A的真子集，又B=（2，3]，当a＞0时，A=（a，3a）；a＜0时，A=（3a，a）．所以当a＞0时，有，解得1＜a≤2，当a＜0时，显然A∩B=?，不合题意．所以实数a的取值范围是1＜a≤2．【点评】本题是命题真假的判断与应用，考查了必要条件问题，考查了数学转化和分类讨论思想，是中档题．19.（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A（2，﹣2），B（1，1）两点，且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上．（1）求圆C的标准方程；（2）过圆C内一点P（1，﹣1）作两条相互垂直的弦EF，GH，当EF=GH时，求四边形EGFH的面积．（3）设直线l与圆C相交于P，Q两点，PQ=4，且△POQ的面积为，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；转化思想；直线与圆．【分析】（1）求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线x﹣2y﹣2=0联立，求得圆心坐标，再求出圆的半径，即可求圆C的标准方程；（2）C到直线EF，GH的距离相等，设为d，求出d后，进而求出EF=GH，进而得到答案．（3）求出PQ=4，分类讨论，利用坐标原点O到直线l的距离为，即可求直线l的方程【解答】解：（1）因为A（2，﹣2），B（1，1），所以kAB==﹣3，AB的中点为（，﹣），故线段AB的垂直平分线的方程为y+=（x﹣），即x﹣3y﹣3=0，…由，解得圆心坐标为（0，﹣1）．…所以半径r满足r2=12+（﹣1﹣1）2=5．…故圆C的标准方程为x2+（y+1）2=5．…（2）∵EF=GH，∴C到直线EF，GH的距离相等，设为d

…则=1，即d=…∴EF=GH=2=3…∴四边形EGFH的面积S=×=9…（3）设坐标原点O到直线l的距离为h，因为△POQ的面积S==，∴h=．①当直线l与x轴垂直时，由坐标原点O到直线l的距离为知，直线l的方程为x=或x=﹣，经验证，此时PQ≠4，不适合题意；

…②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+b，由坐标原点到直线l的距离为h==，得k2+1=25b2

（*），…又圆心到直线l的距离为c=，所以PQ=2=4，即k2+1=（1+b）2

（**），…（13分）由（*），（**）解得．…综上所述，直线l的方程为3x+4y﹣1=0或3x﹣4y+1=0．…（16分）【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边对x求导，得（﹣sin2x）?2=4cosx（﹣sinx），化简后得等式sin2x=2cosxsinx．（1）利用上述方法，试由等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+…+Cnn﹣1xn﹣1+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），①证明：n[（1+x）n﹣1﹣1]=kxk﹣1；②求C101+2C102+3C103+…+10C1010．（2）对于正整数n≥3，求（﹣1）kk（k+1）Cnk．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）①对二项式定理的展开式两边对x求导数，移项得到恒等式；②对①，令x=1，n=10，由恒等式计算即可得到所求值；（2）对①中的x赋值﹣1，整理得到恒等式（﹣1）kk=0；对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值﹣1化简可得（﹣1）kk2=0，相加即可得到所求（﹣1）kk（k+1）Cnk．【解答】解：（1）①证明：等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+…+Cnn﹣1xn﹣1+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），两边对x求导，可得n（1+x）n﹣1=Cn1+2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1，即有n[（1+x）n﹣1﹣1]=2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1=kxk﹣1；②由①令x=1可得，n（2n﹣1﹣1）=k，可得，C101+2C102+3C103+…+10C1010=10+10（29﹣1）=5120；（2）在①式中，令x=﹣1，可得n[（1﹣1）n﹣1﹣1]=k（﹣1）k﹣1，整理得（﹣1）k﹣1k=0，所以（﹣1）kk=0；由n（1+x）n﹣1=Cn1+2Cn2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1，n≥3，两边对x求导，得n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2Cn2+3?2Cn3x+…+n（n﹣1）Cnnxn﹣2在上式中，令x=﹣1，得0=2Cn2+3?2Cn3（﹣1）+…+n（n﹣1）Cn2（﹣1）n﹣2即k（k﹣1）（﹣1）k﹣2=0，亦即（k2﹣k）（﹣1）k=0，又（﹣1）kk=0，两式相加可得，（﹣1）kk2=0，综上可得，（﹣1）kk（k+1）Cnk=（﹣1）kk2+（﹣1）kk=0．21.解关于x的不等式：mx2﹣（m﹣2）x﹣2＞0．参考答案：【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】不等式化为（mx+2）（x﹣1）＞0，讨论m的取值，求出不等式对应方程的实数根，写出不等式的解集．【解答】题：不等式：mx2﹣（m﹣2）x﹣2＞0化为（mx+2）（x﹣1）＞0；当m≠0时，不等式对应方程为（x+）（x﹣1）=0，解得实数根为﹣，1；当m＞0时，不等式化为（x+）（x﹣1）＞0，且﹣＜1，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）；当﹣2＜m＜0时，不等式化为（x+）（x﹣1）＜0，且1＜﹣，∴不等式的解集为（1，﹣）；当m=﹣2时，﹣=1，不等式化为（x﹣1）2＜0，其解集为?；当m＜﹣2时，不等式化为（x+）（x﹣1）＜0，且﹣＜1，∴不等式的解集为（﹣，1）；当m=0时，不等式化为2（x﹣1）＞0，解得x＞1，∴不等式的解集为（1，+∞）；综上，m＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）；﹣2＜m＜0时，不等式的解集为（1，﹣）；m=﹣2时，不等式的解集为?；m＜﹣2时，不等式的解集为（﹣，1）；m=0时，不等式的解集为（1，+∞）．22.设Sn是数列[an}的前n项和，．（1）求{an}的通项；（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和T