2022年江苏省南通市海门天补中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022年江苏省南通市海门天补中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是A、B、C、D、参考答案：D2.给出如下四个命题：

①若“且”为假命题，则、均为假命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”；③“”的否定是“”；④等比数列中，首项，则数列是递减数列的充要条件是公比；其中不正确的命题个数是A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：C试题分析：对于①，命题可能是一真一假，假命题；对于②命题“若，则”的否命题为“若，则”，正确；对于③，“”的否定是“，”，错误；对于④，由于数列是递减的等比数列，，当时，可得，当是递减数列，可得，正确，故答案为C.考点：命题真假性的判断.3.设a,bR,i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的

（

）A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件参考答案：C4.（多选题）等差数列{an}的前n项和记为Sn，若，，则（

）A. B.C. D.当且仅当时参考答案：ABC【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果.【详解】因为等差数列中，所以，又，所以，所以，，故ABC正确；

因为，故D错误,故选：ABC【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.5.设ξ～B（18，p），又E（ξ）=9，则p的值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据ξ～B（18，p），E（ξ）=9，直接利用Eξ的公式即可得到p的值．【解答】解：∵ξ～B（18，p），E（ξ）=9，∴18p=9，∴p=，故选：A．【点评】本题考查了二项分布与n次独立重复试验的模型，直接利用公式，属于基础题．6.（5分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】：余弦函数的奇偶性；余弦函数的图象．【专题】：计算题．【分析】：由f（x）=Acos（ωx+φ）为奇函数，利用奇函数的性质可得f（0）=Acosφ=0结合已知0＜φ＜π，可求φ=，再由△EFG是边长为2的等边三角形，可得=A，结合图象可得，函数的周期T=4，根据周期公式可得ω，从而可得f（x），代入可求f（1）．解：∵f（x）=Acos（ωx+φ）为奇函数∴f（0）=Acosφ=0

∵0＜φ＜π∴φ=∴f（x）=Acos（ωx）=﹣Asinωx

∵△EFG是边长为2的等边三角形，则=A又∵函数的周期T=2FG=4，根据周期公式可得，ω=∴f（x）=﹣Asinx=﹣则f（1）=故选D【点评】：本题中的重要性质要注意灵活运用：若奇函数的定义域包括0，则f（0）=0；解决本题的另一关键是要由△EFG是边长为2的等边三角形，及三角形与函数图象之间的关系得到=A，这也是本题的难点所在．7.如图，已知在ΔABC中,BC=2，以BC为直径的圆分别交AB，AC于点M，N，MC与NB交于点G，若，则，的度数为A.135

B.120°

C.

150

D.

105°参考答案：D8.要得到函数的图象，只需将函数的图象

A．向右平移个单位长度

B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度

D．向左平移个单位长度参考答案：B9.在等差数列的值为

（

）

A．14

B．15

C．16

D．17参考答案：答案:C10.已知随机变量服从正态分布，若，则A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知变量满足约束条件，则的最大值为________。参考答案：2略12.在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为

参考答案：13.定义在上的偶函数在[—1，0]上是增函数，给出下列关于的判断:①是周期函数；②关于直线对称；③是[0，1]上是增函数；④在[1，2]上是减函数；⑤.其中正确的序号是

.（把你认为正确的序号都写上）参考答案：①②⑤由得，，所以函数为周期为2的周期函数，所以①正确，且，所以⑤正确；因为函数为偶函数，所以图象关于轴对称，所以在上递减，所以③错误；同时有，所以有，所以函数关于对称，所以函数在为增函数，所以④错误，所以正确的序号为①②⑤14.展开式中的的系数为_______参考答案：30【分析】利用组合知识，5个相乘，其中含的项，可以5个括号中3个取，剩余2个取1，也可以2个取剩余的3个括号中选2个取，剩余1个取1，还可以5个括号选一个取，剩余4个取，这3项的系数和即为所求.【详解】利用组合知识，含的项可以分3种情况取得，第一种取3个，剩余两个取1，即.第二种选2个括号提供，剩余的3个括号中选2个取，剩余1个取1，即，第三种5个括号选一个取，剩余4个取，即，合并同类项，系数为，故填30.15.设复数,则=

▲

.参考答案：答案：

16.某同学学业水平考试的科成绩如茎叶图所示，则根据茎叶图可知该同学的平均分为

．参考答案：17.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若的面积为___________．参考答案：解析：由余弦定理得，解得，再由三角形面积公式得.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列的前项和为，且

（1）求通项公式；

（2）求数列的前项和参考答案：解：（1）设等差数列的公差为，则由条件得，

………………3分解得，

………………5分所以通项公式，则………6分（2）令，则，所以，当时，，当时，．………………8分所以，当时，当时，所以………………12分19.（本小题共12分）记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（I）若，求；（II）若，求正数的取值范围．参考答案：解析：（I）由，得．（II）．由，得，又，所以，即的取值范围是．20.已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)＝－．(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在[－3,6]上的最大值与最小值．参考答案：(1)令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，从而f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0.即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：设x1，x2∈R，且x1>x2，则x1－x2>0，于是f(x1－x2)<0，从而f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)<0.∴f(x)为减函数．(3)由(2)知，所求函数的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－2f(1)－f(1)＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－2f(－3)＝－4.于是f(x)在[－3,6]上的最大值为2，最小值为－4.21.在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；与直线有关的动点轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设出动点E的坐标为（x，y），然后直接利用抛物线的定义求得抛物线方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），联立直线方程和抛物线方程化为关于y的一元二次方程后由判别式等于0得到k与b的关系，求出Q的坐标，求出切点坐标，再设出M的坐标，然后由向量的数量积为0证得答案，并求得M的坐标．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x=﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2=4x；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b=0．∵直线l与抛物线相切，∴△=16﹣16kb=0，即．∴直线l的方程为y=kx+．令x=﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则==．当m=1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．22.（本小题12分）六名学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核。每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练（即淘汰）,若每个学生身体体能考核合格的概率是，外语考核