新教材人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程课后练习及章末测验含解析

第三章圆锥曲线的方程课后练习及章末测验3.1.1椭圆及其标准方程3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用3.2.1双曲线及其标准方程...........................................................................................-20-3.2.2双曲线的简单几何性质.......................................................................................-27-3.3.1抛物线及其标准方程...........................................................................................-34-3.3.2抛物线的简单几何性质.......................................................................................-40-............................................................................................................-47-.................................................................................................-1-.............................................................................-6-...........................................................-12-第三章章末测验3.1.1椭圆及其标准方程一、选择题1．已知点α内的两个定点，则“点M是平面α内的动点，F，F是平面M12到点F，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F，F2为焦点的椭圆”的11()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件C[若点M到点F，F的距离之和恰好为F，F两点之间的距离，则点M1212的轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C.]x225169y22．椭圆＋＝1的焦点坐标是()A．(±5,0)C．(0，±12)C[由标准方程知，椭圆的(0，±12)．]3．已知C上一点，F，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝23，若|PF1|1与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆B．(0，±5)D．(±12,0)焦点在y轴上，且c＝169－25＝144，∴c＝±12，2故焦点为P为椭圆C的标准方程为()x2y2x2yx2B．＋＝1或＋＝11299122y2A．＋＝1129x2y2x2y2x2D．＋＝1或＋＝148454548y2C．＋＝1912B[∵2c＝|F1F2|＝23，∴c＝3.∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝43，∴a＝23.∴b2＝a2－c2＝9.x2yx21或＋＝1.]9122y2故椭圆C的标准方程是＋＝129xy224．设F，F是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF|∶|PF2|19412＝2∶1，则△FPF的面积等于()12A．5C．3B．4D．1B[由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由2＋42＝(25)2，可知△F1PF2是直角三角形，21212故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.]x2y25．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x2516－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5B．7D．15C．13B[由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.]二、填空题两圆的圆心，且|PF|＋|PF2|＝10，16．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．＋＝ac3，＝2，a1xy22＋＝1[由题意知解得则b2＝a2－c2＝3，431a－c＝，c＝，xy22故椭圆的标准方程为＋＝1.]437．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(4,0)，点C在sinA＋sinB1上，则＝________.sinCx2y2椭圆＋＝25954sin＋sin||＋||105sinCABBCAC[由题意知|AB|＝8，|AC|＋|BC|＝10，所以＝＝＝|AB|84.]y2x28．已知P是椭圆＋＝1上的一点，F，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2541＝30°，则△FPF2的面积是________．18－43[由椭圆的标准方程，知a＝5，b＝2，∴c＝a2－b2＝1，∴|F1F2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝25.在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos30°，即4＝20－(2＋3)|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－3)．121212∴S＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×16(2－3)×＝8－43.]△F1PF2三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若1F1A⊥F2A，求椭圆的[解]设所F2(c,0)(c＞0)．标准方程．x2为＋＝1(a＞b＞0)．设焦点F1(－c,0)，ab22y2求椭圆的标准方程∵F1A⊥F2A，∴F→1A·F→2A＝0，而F→1A＝(－4＋c,3)，F→2A＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝－4＋52＋32＋－4－52＋32＝10＋90＝410.∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.x2y2∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.401510．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．[解]由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r＝1；圆r＝3.且与圆N的圆心为N(1,0)，1半径2设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞2.C是以M，N为左所以由椭圆的定义可知，曲线、右焦点的椭圆(左顶点除外)，则xy22a＝2，c＝1，故b11．(多选题)下列说法中错误的是＝a－c＝4－1＝3，故所求C的方程为＋＝1(x≠－2)．22243()A．已知F(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F，F两点的距离之和等于8的点的112轨迹是椭圆B．已知F(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F，F两点的距离之和等于6的点的112轨迹是椭圆C．平面内到点F(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的1距离之和的点的轨迹是椭圆D．平面内到点F(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆1ABD[A中，|FF|＝8，则平面内到F，F2两点的距离之和等于8的点的轨121迹是线段，所以A错误；B错误；距离之和为5＋42＋32＋5－42＋32＝410＞|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以D中，段FF的垂直平分线，所以D错误．故选ABD.]B中，到F，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这1样的轨迹不存在，所以C中，点M(5,3)到F1，F2两点的C正确；轨迹应是线12π12．若α∈0，，方程xsinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α22的取值范围是ππ()π4A．，42B．0，π4ππC．0，D．，42xy22x22A[易知sinα≠0，cosα≠0，方程sinα＋ycosα＝1可化为＋＝11sinαcosαπ0，即sinα＞cosα＞0.又α∈0，，y轴上，所以＞＞2cosαsinα111.因为椭圆的焦点在π4πα＜.]2所以＜x2y213．(一题两空)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F，F，点P在椭圆9212上，若|PF|＝4，则∠FPF＝________.若∠FPF＝90°，则△FPF2的面积是112121________．120°2[由题得a2＝9，b2＝2，∴a＝3，c2＝a2－b2＝9－2＝7，∴c＝7，∴|F1F2|＝27.∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2.|PF|2＋|PF2|2－|F1F2|21∴cos∠F1PF2＝2×|PF1|×|PF2|42＋22－2721＝＝－，又0＜∠F1PF2＜180°，22×4×2∴∠FPF＝120°.12又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(27)2＝28，(|PF|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝28，配方得11|PF||PF2|＝4，∴S＝|PF1||PF2|＝2.]21△FPF∴36－2|PF1||PF2|＝28，即12x2y214.如图所示，F，F分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆12a2b2上，△POF2是面积为3的正三角形，则b＝________.2323[设正三角形POF2的边长为c，则c＝3，24解得c＝2，从而|OF|＝|PF2|＝2，2连接PF1(略)，由|OF|＝|OF2|＝|OP|知，PF⊥PF2，11则|PF1|＝|F1F2|2－|PF2|2＝42－22＝23，2a＝|PF1|＋|PF2|＝23＋2，即a＝3＋1，b＝a2－c2＝(3＋1)2－4＝23.]所以所以2y2x215．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点分别是F(0，－1)，F(0,1)，且3a2a2b212＝4b2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF|－|PF2|＝1，求∠[解](1)依题意，知c＝a2－b2，且3a＝4b2，22FPF2的余弦值．11c＝1，又23414所以a－a2＝1，即a＝1，所以a＝4，b2＝3，222y2x2故椭圆的标准方程为＋＝1.43P在椭圆上，所以|PF|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4.又|PF1|－|PF2|＝1，所1(2)由于点523.又|F1F2|＝2c＝2，所以由以|PF1|＝，|PF|＝余弦定理得cos∠F1PF2＝222253＋－22223＝.532252××35故∠F1PF2的余弦值等于.3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质一、选择题1．已知椭圆x＋my2＝1的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝2()1412A．B．C．2D．4y2D[将椭圆方程化为标准形式为x＋＝1，21m所以长轴长为2，短轴长为21，m1由题意得2＝2×2，解得m＝4.]m2．椭圆＋＝1与9x＋＝1(0<k<9)的关系为(x2y22y225)259－k－kA．有相等的长轴C．有相同的焦点B．有相等的短轴D．有相等的焦距D[由25－9＝(25－k)－(9－k)知，两椭圆有相等的焦距．]3．已知椭圆x2＋＝1(b＞0)的离心率为1010，则b等于()y2b2＋113A．3B．91031010C．D．b＋1－1b2113132B[易知b＋1＞1，由题意得＝＝，解得b＝或b＝－(舍2＋1＋110bb22去)，故选B.]4.如图所示，把椭圆x＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的2y22516垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝()A．35C．25B．30D．20A[设椭圆右焦点为F′(图略)，由椭圆的对称性，知|PF|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，1(|PF|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝7＝35.]1x2y25．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，1，则实数k的取值范围是()24k16B．3，3A．(0,3)16C．(0,3)∪，＋∞D．(0,2)34－k1ce＝＝∈，1，2a2C[当0＜k＜4时，124－k1⇒1＜4－k＜4，即即＜＜0＜k＜3.2ck－41当k＞4时，e＝＝∈，1，2ak121443k－41－41⇒＜＜1⇒＜1－＜1⇒0＜＜⇒k＞.kk44k4163k即＜＜k16综上，实数k的取值范围为(0,3)∪，＋∞.]3二、填空题6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为________．12AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝22ac[如图，41＝＝.]827．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为55，且过P(－5,4)，则椭圆的标准方程为________．－b1x2y21[∵e＝＝，∴ac＝＝，c5a52a22＋＝4536a522∴5a2－5b2＝a2，即4a＝5b2.25y2设椭圆的标准方程为ax2＋2＝1(a＞0)，4a2255×16P(－5,4)，∴4a∵椭圆过点＋＝1.a22x2a＝45.∴椭圆的标准方程为＋＝1.]24536y2解得8．过椭圆x＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．2y2434,3[过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的x2y2193y22x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y＝，即y＝±，所2434342弦，因为c＝1，将3以最短弦的长为2×＝3.]2三、解答题9．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．x2y2[解]根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦a2b2点坐标为F(－c,0)，F2(c,0)．1b2a2b2B的坐标为－，－，所以b2依题意设点A的坐标为－，，则点|AB|＝.acca32b2由△ABF2是正三角形得2c＝×，即3b＝2ac.22a2b＝a2－c2，所以3a－3c－2ac＝0，两边同除以a，得3＋2·2222cac又因为a－e＝＝3(负值舍去)．c3＝0，解得a310．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝23，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．mm＋2m＋3m＋3x2y2m[解]椭圆方程可化为＋＝1，由m－＝＞0，可知m＞mmm＋3m＋2c＝a2－b2＝mm＋3m＋3m＋2e＝，得mm＋3m32，所以a＝m，b2＝，，由2m＋332y12c＝3.所以2＝，解得m＝1.于是椭圆的标准方程为x＋＝1，则a＝1，b＝，214222331；两焦点坐标分别为－，0，，0；四个顶椭圆的长轴长为2，短轴长为110，.22点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，0，－，11．(多选题)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心(地球看作F为焦点的椭圆Rkm，是球体)，测得近地点A距离地面mkm，远地点B距离地面nkm，地球半径为关于这个椭圆有下列说法，正确的有()A．长轴长为m＋n＋2RB．焦距为n－mC．短轴长为m＋Rn＋Rn－mD．离心率e＝m＋n＋2RABD[由题意，得m＋n＋2Rn＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，可解得2c＝n－m，a＝n－m，2a＝m＋n＋2R.∴2b＝2a2－c2＝2m＋Rn＋R，e＝，故22m＋n＋RABD正确，C不正确．]x2y212．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右a2b2焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为()2232A．B．3－1C．5－1D．22D[在Rt△ABF中，|AB|＝a＋b，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|＋|BF|＝|AF|，22222得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0,解2－1±55－12得e＝2，因为0<e<1，所以e＝.故选D.]x2y213．(一题两空)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，若该a2b212椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则椭圆的标准方程是________．若点P为椭圆上任意一点，则AP→·FP→的取值范围是________．x2y2＋＝1[0,12][因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2.431e＝，所以c＝1，b＝a2－c2＝2因为离心率3，x2y2则椭圆的方程为＋＝1，43所以点A的坐标为(－2,0)，点F的坐标为(－1,0)．设P(x，y)，则AP→·FP→＝(x＋2，y)·(x＋1，y)＝x2＋3x＋2＋y2.3y＝3－x2，24由椭圆的方程，得→→3414所以AP·FP＝x＋3x－x＋5＝(x＋6)2－4.22→→因为x∈[－2,2]，所以AP·FP∈[0,12]．]y214．已知P(m，n)是椭圆x＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是22________．[1,2][因为y2n2一个动点，所以P(m，n)是椭圆x＋＝1上的m＋＝1，即n22222＝2－2m2，所以m＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m22＋n2≤2.]15．设F1，F2分别是椭圆E：ax＋＝2y21(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直2b2线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；3(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．5[解](1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝8－3＝5.(2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.|AF|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.由椭圆定义可得，2在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，265即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.于是有|AF|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.2因此|BF|＝|F2A|2＋|AB|2，可得FA⊥F2A，221故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝2a，2所以椭圆E的离心率e＝＝2.a2c3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用一、选择题x2y21．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是()m3A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(1,3)∪(3，＋∞)D．(1,3)C．(－∞，－3)∪(－3,0)yx＝＋2，B[由x＋＝1，2y23m消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，3＋m≠0，则4mΔ＝43－m＋m，>02≠－3，m解得m<0或m>1.x2y2由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.m3综上可知，m>1且m≠3，故选B.]π32．过椭圆x＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为()267167A．B．71676C．D．B[易求得直线AB的方程为y＝3(x＋2)．y＝3x＋2，由消去y并整理，得7x＋122x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，2x＋2y2＝42122787y2)，则x＋x＝－，xx＝.12122122816－－4×＝.]777由弦长公式，得|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋32·x2y23．在椭圆＋＝1内，过点M(1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为169()A．9x－16y＋7＝0C．9x＋16y－25＝0B．16x＋9y－25＝0D．16x－9y－7＝0x2y2x2y22C[设弦的两个端点的坐标分别是(x，y1)，(x2，y2)，则有＝1，1＋12＋1691691＝1，两式相减，又x＋x2＝y1＋y2＝2，1x－xy－yy－y99120，即＝－，所求直线的斜率是－，1616x－x1212因此＋＝169129y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C.]16弦所在的直线方程是x2y23a1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角4．设F1，F2是椭圆E：＋＝a2b22形，则E的离心率为()1223A．B．3445C．D．C[如图所示，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有|F1F2|＝|PF2|，∠PF1F2＝∠F2PF1＝30°33a－2c.所以∠PF2A＝60°，∠F2PA＝30°，所以ac|PF|＝2|AF2|＝2－＝22c32c＝3a－2c，所以e＝＝又因为|FF|＝2c，所以，.]412ax2y25．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆a2b2E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()x2y2x2y2A．＋＝1B．＋＝145363627x2y2x2y2C．＋＝1D．＋＝12718189x2y21＋1＝1，－1－01a2b2D[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，1－32xy222＋2＝1，a2b2两式相减得x1＋x2x1－xy＋y2y1－yy＋yy－y＝0，即a12＋21＋21212＝0x＋x2x－xa2b2b2112111－2⇔a2＋××＝0，即a2＝2b2，22b2＝9，方程是x＋＝2y21，故选D.]c2＝9，a二、填空题2＝b2＋c2，解得：a2＝18，b2189x2y26．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，54O为坐标原点，则△OAB的面积为________．x2y2＋＝1，5354[由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组y＝2x－2，542)，B，，解得A(0，－331253∴S△AOB＝·|OF|·|y－y|＝.]ABx2C：＋＝1的左、右两个焦点，过F作斜率为11y2F、F分别为椭圆437．设12的直线，交C于A、B两点，则|AF|＋|BF2|＝________.2327xy2xy222[由＋＝1知，焦点F(－1,0)，所以直线l：y＝x＋1，代入＋＝143431得3x2＋4(x＋1)2＝12，即7x＋8x－8＝0，设A(x，y1)，B(x2，y2)，21878xx＝－，故|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2712∴x＋x＝－，1224＝.7由定义有，|AF|＋|BF2|＋|AB|＝4a，2所以|AF|＋|BF2|＝4×2－＝247327.]2x28．椭圆C：＋y＝1的左、右顶点分别为A、A，点P在C上且直线PA12212斜率的取值范围是[1,2]，那么直线PA2斜率的取值范围是________．111的方程可得＝2，＝1，由椭圆的性质ab22x24－，－[由椭圆：＋＝Cy22212－12k11可知：PA1PA2k·k＝－，∴k＝，∵k∈[1,2]，则k∈－，－.]PA224PA2PA1PA1三、解答题x2y＝x＋b与椭圆＋y＝1相交于A，B两个不同的点．229．设直线(1)求实数b的取值范围；(2)当b＝1时，求|AB|.[解](1)将y＝x＋b代入＋x22y＝1，2消去y并整理，得3x＋4bx＋2b2－2＝0.①2x2y＝x＋b与椭圆＋y＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b222因为直线－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，解得－3＜b＜3.所以b的取值范围为(－3，3)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.43解得x＝0，x＝－.1213所以y＝1，y＝－.12所以|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝432.x2y221(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线2M，N.10．已知椭圆C：＋＝a2b2y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为310时，求实数k的值．a＝2，c2[解](1)由题意得＝，2aa2＝b＋c，222，b＝2，解得c＝xy2C的方程1.2所以椭圆为＋＝42yk＝x－1，2(2)由2xy＋＝421，得(1＋2k2)x2－4kx2＋2k2－4＝0，设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，4k2k2－42x＋x＝，xx＝，1＋2k1＋2k121222所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4xx12]＝21＋k24＋6k2，1＋2k2又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离|k|d＝，1＋k21S＝|MN|·d2所以△AMN的面积为|k|4＋6k2＝，1＋2k2|k|4＋6k102由＝，1＋2k23化简得7k－2k2－5＝0，解得k＝±1.4x2y21211．(多选题)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方a2b2程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x和x，则点P(x，x2)()121A．必在圆x＋y＝1外2274B．必在圆x＋y＝上22C．必在圆x＋y＝2内2294D．必在圆x＋y＝上22ABC[e＝⇒＝⇒c＝，＝⇒＝⇒＝3⇒b＝23a.1c12a2ab－1b3b222a2a24a4a2232a2310⇒x＋2x－＝0，22∴ax2＋bx－c＝0⇒ax2＋ax－＝3212∴x1＋x＝－，xx＝－，2123474∴x＋x＝(x1＋x2)2－2xx12＝＋1＝.221274∵1＜＜2，74∴点P在圆x＋y＝1外，在x＋y＝上，在x＋y＝2内，故应选ABC.]222222xy22212．已知椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，直线l：y＝x与ab224C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆椭圆C的离心率为()3234A．B．1214C．D．2一象限内的交点为A(x，y)，则y＝4xA[设直线与椭圆在第2x42由|AB|＝2c，可知|OA|＝x2＋y2＝c，即x2＋＝c，解得x＝232c，221c22c33＝1，整理得8e42213所以A3，，把点A代入椭圆方程得到cc＋ba22－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，因0＜e＜1，所以可得e＝23.]xy2213．(一题两空)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝a2b255，则椭圆方程为________，若直线l交椭圆于M，N两点，且△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l方程为________．2－b2161a52x2y216x－5y－28＝0[由题意得b＝4，又e2＝ac2＝a2＋＝＝1－＝，2016a2解得a2＝20.∴椭圆的方程为x＋＝1.∴椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，2y22016设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知BF→＝2FQ→，从而(2，－4)＝2(x0－2，y0)，解得x0＝3，y0＝－2，所以点Q的坐标为(3，－2)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，x2y2x2y22＝1，且1＋1＝1，2＋20162016x＋xx1－x2y＋yy1－y2＝0，1以上两式相减得21216＋20y－y4x＋x466∴k＝＝－12＝－×＝，2·15545－MNx－xy＋y121265故直线的方程为y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0.]→→14．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF·MF2＝0的点M总在椭圆内部，1则椭圆离心率的取值范围是________．2→→0，2MFMF[∵⊥，∴点在以为直径的圆上，又点在椭圆内MFFM1212c21c22c＜a，∴＜，即＜.又e＞0，∴0＜e22a2a22部，∴c＜b，∴c2＜b2＝a2－c2，即＜22.]x2y215．设椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B(O为31坐标原点)三点的圆的圆心坐标为，－.22(1)求椭圆的方程；(2)已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN＝60°，求点M的坐标．[解](1)依题意知A(a,0)，B(0，－b)，∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，a223b212∴＝，－＝－，即a＝3，b＝1，x2∴椭圆的方程为＋y＝1.23(2)由(1)知B(0，－1)，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，设直线BN的方程为y＝kx－1(k＜0)，则直线BM的方程为：y＝－1kx－1，＋3y2＝3，x2y＝kx－1.消去y得(1＋3k2)x2－6kx＝0，由6kx＝，1＋3k解得：y＝kx－1，NNN2∴|BN|＝x＋y＋12＝x2＋kx2N22NNN＝1＋k2|x|N6|k|∴|BN|＝1＋k2|x－x|＝1＋k2·1＋3k，2NB在y＝－1kx－1中，∴|BM|＝1＋k2，令y＝0得x＝－k，即M(－k,0)在Rt△MBN中，∵∠BMN＝60°，∴|BN|＝3|BM|，6|k|即1＋k2·＝3·1＋k2，1＋3k2整理得3k－23|k|＋1＝0，23|k|＝，∵k＜0，∴k＝－，33∴点M的坐标为，0.33解得33.2.1双曲线及其标准方程一、选择题1．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是()x2y2x2y2A．－＝1169B．－＝1(x≥4)169x2y2x2y2C．－＝1916D．－＝1(x≥3)916D[由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b＝16，2∴M点的轨迹方程为x－＝2y21(x≥3)．]9162．若ax2＋by2＝b(ab＜0)，则这个曲线是(A．双曲线，焦点在x轴上)B．双曲线，焦点在y轴上C．椭圆，焦点在x轴上D．椭圆，焦点在y轴上x2bB[因为ab＜0，方程可化为＋y＝1，∴＜0，方程表示的曲线为焦点在y2baa轴上的双曲线，故选B.]3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F，F分别为(5，0)和(－5，0)，12点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PFF的面积为1，则双曲线的方程为()12x2y2x2y2A．－＝1B．－＝12332x2y2C．－y＝1D．x－＝12424PFPF||·||＝2，12C[由|PF1|2＋|PF2|2＝252，⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝5，所以b＝1，故选C.]x2y24．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距259离为()A．22或2C．22B．7D．2A[根据双曲线的方程得2a＝2×5＝10，由定义知||PF|－12|＝10，可解得|PF|＝22或2，故选A.]y25．已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂23A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为直，点()1312A．B．2332C．D．2D[因为因为PF⊥x轴，F是双曲线C：x－y3＝1的右焦点，所以F(2,0)．2所以可设P的坐标为(2，y)．P因为P是C上一点，y2所以4－3＝1，解得yP＝±3，P所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，121232所以S＝×|PF|×1＝×3×1＝.故选D.]APF△二、填空题x2y26．若方程2－m|m|－3＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________．2－m＞0，2－m＜0，或(－3,2)∪(3，＋∞)[依题意有|m|－3＜0解得－3＜m＜2或m＞3.所以实数m的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)．]7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5.若2a＝8，那么△ABF2的周长是________．26[根据双曲线定义知，|AF2|－|AF1|＝8，|BF2|－|BF1|＝8.∴|AF2|＋|BF2|＝16＋|AF1|＋|BF1|＝16＋|AB|＝16＋5＝21.所以△ABF2的周长是|AF|＋|BF2|＋|AB|＝212＋5＝26.]8.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．y2xy22x2－3＝1[设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．ab22由题意得B(2,0)，C(2,3)，4＝a2＋b2，a2＝1，所以49解得b3＝，－＝1，2ab22y2x－＝1.]23所以双曲线的标准方程为三、解答题9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型．[解](1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k＝1时，方程为x＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；2y2x2(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；44－kxy22(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；44kxy22(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．44kx2y210．已知双曲线－＝1，F，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．491(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；(2)若∠F1MF2＝120°，△F1MF2的面积是的面积又是多少？(3)观察以上多少？若∠FMF2＝60°，△F1MF21计算结果，你能看出随∠F1MF2的变化，△FMF2的面积将怎样1变化吗？试证明你的结论．[解]设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(不妨设r1＞r2)，θ＝∠F1MF2，因为△FMF2＝S112rrsinθ，12θ已知，所以只要求r1r2即可，因此考虑到用双曲线定义及余弦定理的知识，求出r1r2.121212(1)当θ＝90°时，△F1MF2S＝rrsinθ＝rr.由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝1213，由双曲线定义，得|r－r2|＝2a＝4，1两边平方，得r＋r－2r1r2＝16，2212又r＋r＝|F1F2|2，2212即|F1F2|2－4S＝16，△FMF21也即52－16＝4S，求得S＝9.△F1MF2△F1MF2(2)若∠F1MF2＝120°，在△MF1F2中，|F1F2|2＝r＋r22－2r1r2cos120°＝(r1－r2)2＋3r1r2＝52，所以rr＝12，21121S＝rrsin120°＝33.212求得△F1MF2同理，可求得若∠F1MF2＝60°，S＝93.△FMF21(3)由以上结果可见，随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积将减小．证明如下：由双曲线定义及余弦定理，得r1－r2＝4a，①2＋r－2rrcosθ＝4c.2r②22212124c－4a22②－①，得rr＝21－cosθ，12c－asinθ1222所以S＝rrsinθ＝＝b2cot2θ.1－cosθ12△FMF12θπ因为0＜θ＜π，所以0＜＜，22π2θcot是减函数．2在0，内，因此当θ增大时，S＝b2cot2θ减小．△FMF21x2y211．(多选题)设θ是三角形的一个内角，对于方程＋＝1的说法正确sinθcosθ的是()A．当0＜θ＜2π时，方程表示椭圆B．当θ＝2π时，方程不表示任何图形C．当π2＜θ＜3π4时，方程表示焦点在x轴上的双曲线D．当3π4＜θ＜π时，方程表示焦点在y轴上的双曲线BC[当0＜θ＜2π时，sinθ＞0，cosθ＞0，但当θ＝时，π4sinθ＝cosθ＞0表示圆，故A错误；当θ＝2π时，cosθ＝0，方程无意义，所以不表示任何图形，故Bπ2π23π3π正确；当＜θ＜π时，sinθ＞0，cosθ＜0，所以不论＜θ＜还是＜θ＜π时，44方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以C正确，D错误，故选BC.])已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下判断，正确的4－tt－1x2y212．(多选题是(A．当B．当t＞4或t＜1时，曲线)1＜t＜4时，曲线C表示椭圆C表示双曲线5C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜2D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则BCD[A错误，当t＞4t＝时，曲线C表示B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t52圆；＞t－1＞0，4－t＜0，52∴1＜t＜；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则∴tt－＞，10＞4.]13．(一题两空)已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x＋5y2＝5的左焦点212和右焦点，则|AB|＝________.又三个内角A，B，C满足关系式sinB－sinA＝sinC．则点C的轨迹方程为________．y2x254x－＝1(x＞1)[将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1.23∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.12又∵sinB－sinA＝sinC，∴由正弦定理得12|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|＝4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，y2C的轨迹方程为x－＝1(x＞1)．]23∴所求的点x2y214．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个14425交点到两焦点的距离分别为________．253131212xy2214425，[因为双曲线方程为－＝1，所以c＝144＋25＝13，设F，1F2分别是双曲线的左、右焦点，则F(－13,0)，F2(13,0)．设过F且垂直于x轴的11y213225于A(－13，y)(y＞0)，则＝－1＝，25144144直线l交双曲线2525所以y＝，即|AF|＝.又|AF2|－|AF1|＝2a＝24，1212125313|AF|＝24＋＝.即所121225313求距离分别为，.]1212所以215．设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求C的圆心轨迹L的方程；5F(5，0)，且3545(2)已知点M，，5P为L上动点．求||MP－|FP||的最大值．[解](1)两圆的圆心分别为A(－5，0)，B(5，0)，半径为2，设圆C的半r.由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4.则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝2径为5，b＝1，x2∴圆C的圆心轨迹L的方程为－y＝1.24(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．224535又|MF|＝－5＋＝2，55∴||MP|－|FP||的最大值为2.3.2.2双曲线的简单几何性质一、选择题x2y2x20＜k＜5，则曲线－＝1与曲线－＝1的()1655－k16－ky21．若实数k满足A．实半轴长相等C．离心率相等B．虚半轴相等D．焦距相等D[由于16＋(5－k)＝(16－k)＋5，所以焦距相等．]x22．若a>1，则双曲线－y＝1的离心率的取值范围是()2a2A．(2，＋∞)C．(1，2)B．(2，2)D．(1,2)a2＋1C[由题意得双曲线的离心率e＝.a1.a2＋1即e＝＝1＋2a2a2∵a＞1，∴0＜＜a12∴1＜e＜2.故选C.]1，∴1＜1＋＜12，a2x2y23．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近a2b2线上，则双曲线C的方程为()x2y2x2y2A．－＝1B．－＝1205520x2y2x2y2C．－＝1D．－＝180202080xy224C的渐近线方程为－＝0，又点P(2,1)在C的渐近线上，所以aba222A[双曲线1－＝0，即a＝4b①.22b2又a2＋b2＝c2＝25②.x2y2由①②，得b＝5，a2＝20，所以双曲线C的方程为－＝1，故选A.]2205x2y24．过双曲线－＝1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若a2b2∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率是(A．2)B．1＋2D．3－2C．2＋2c2y2bB[因为|PF|＝|F2F1|,P点满足－＝1，∴y＝c－a，222a2b2ab1∴2c＝c2－a2，即2ac＝b2＝c2－a2，∴2＝e－，又e＞0，故e＝1＋2.]aex25．已知双曲线C：3－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()32A．B．3D．4C．2333B[根据题意，可知其渐近线的斜率为±，且右焦点为F(2,0)，从而得到∠FON＝30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN的方程为y＝3(x－2)，33与两条渐近线y＝x和y＝－x联立，33分别2233求得M(3，3)，N，－，2233.]3所以|MN|＝3－＋3＋＝22二、填空题y26．(一题两空)若双曲线x2－＝1的离心率为3，则实数m＝________，渐近m线方程是________．2y＝±2x[a2＝1，b2＝m，e2＝＝＝ac2a2＋b21＋m＝3，m＝2.渐近线方程是2a2y＝±mx＝±2x.]7．以y＝±x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为________．xy22－＝1[以y＝±x为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x－y2＝244λ(λ≠0)，代入点(2,0)得λ＝4，∴x2－＝y2x2y24，即－＝1.]441(4，3)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方28．已知双曲线过点程为________．x21y＝±x，2－y2＝1[法一：∵双曲线的渐近线方程为4∴可设双曲线的方程为x－4y2＝λ(λ≠0)．2∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，x2∴双曲线的标准方程为－y＝1.241y＝x过点(4,2)，而3＜2，2法二：∵渐近线1y＝x的下方，2∴点(4，3)在渐近线12在y＝－x的上方(如图)．x2x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．ab22y2∴双曲线的焦点在由已知条件可得b12＝，a2＝4，解得a163b＝1，21，－＝a2b2x2∴双曲线的标准方程为－y＝1.]24三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；12(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．[解](1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，c13因为＝，所以a＝5，b＝c2－a2＝12.a5故所求双曲线的标准方程为y－＝1.2x22514412(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，x2y2b1a2若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)，则＝①.因为点A(2，－3)在双曲线上，所以a42－b92＝1②.联立①②，无解．yx22若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)，a1则＝.b2③④∵A(2，－3)在双曲线上，∴a92－b42＝1.由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∴所求双曲线的标准方程为y－＝1.2x283212法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为2x2－y2＝λ(λ≠0)，2∵A(2，－3)在双曲线上，∴242－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y－＝1.2x2832xy2210．已知双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F(2,0)，离心率e＝2.(1)求双曲线C的方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．[解](1)由已知得c＝2，e＝2，所以a＝1，b＝3.y2所以所求双曲线方程为x－＝1.23(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x，y1)，N(x2，y2)．1yxm＝＋，联立整理得2x－2mx－m2－3＝0.(*)2y2－＝x1，23x＋xm3my＝x＋m＝，所以线段2MN12设MN的中点为(x，y)，则x＝＝，2200000垂直平分线的方程为3my－＝－2mx－，即＋－2＝0，xym2与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，12可得|2m|·|2m|＝4，得m＝2，m＝±2，此时(*)的判别式Δ＞0，故直线l的2方程为y＝x±2.11．(多选题)关于双曲线C：4x2－9y2＝－36与双曲线C：4x2－9y2＝36的说12法正确的是()A．有相同的焦点B．有相同的焦距C．有相同的离心率D．有相同的渐近线y2x2xy22BD[两方程均化为标准方程为－＝1，这里均有4994A错误，1和－＝c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在y轴上，所以B2313C的离正确；又两方程的渐近线均为y＝±x，故D正确．C的离心率e＝，212133心率e＝，故C错误．]x2y212．设双曲线2－b2＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a,0)和(0，b)两点，a已知原点到直线l的距离为43c，则双曲线的离心率为()233A．B．2C．3D．2xyl的方程为＋＝abD[直线1，即bx＋ay－ab＝0，原点到直线l的距离d＝＝＝3c，c4a＋b22abab即ab＝43c2，所以a(c－a2)＝c4.3162243e－16e2＋16＝0，解得e＝4或e2＝，423整理得b2e＝1＋>2，故e＝2.]2a2又b>a>0，所以x2y2x213．(一题两空)已知椭圆＋＝1与双曲线－y＝1的公共焦点为左焦点F，23162右焦点F，点P是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PF|＝________，21cos∠F1PF2的值为________．136＋3[因为F，F分别为左、右焦点，点P在第一象限，由椭圆与双12|PF1|＋|PF2|＝26，定义可得||||23PF－PF＝，曲线的12|PF|＝6＋3，1解得PF＝－，||632|PF|2＋|PF2|2－|F1F2|21＝.]31又|F1F2|＝4，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝2|PF1|·|PF2|x2y214．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为a2b260°的直线围是________．l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范知≥3，则ab2≥3，所以b2c－a≥3a2，即c≥4a2，所222[2，＋∞)[由题意，ac2以e2＝2≥4，所以e≥2.]ax2x2C：－＝1的顶点，且222y2C：＋y2＝1的左右顶点是双曲线ab15．已知椭圆31椭圆C的上顶点到双曲线C的渐近线的距离为23.12(1)求双曲线C的方程；2→→C相交于M，M两点，与C相交于Q，Q两点，且OQ·OQ2＝112212(2)若直线与1－5，求|MM|的取值范围．12x2[解](1)由椭圆C：＋y＝1的左右顶点为(－3，0)，(3，0)，可得a＝3，22313又椭圆C的上顶点(0,1)到双曲线C2的渐近线bx－ay＝0的距离为，由点2到直线1a3＝可得b＝1，2的距离公式有a＋b22x2所以双曲线C2的方程为－3y＝1.2(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，x2代入3－y2＝1，消去y并整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，要与C2相交于两点，1－3k2≠0则应有36k2m4133－－k－m－＞302221－3k2≠0⇒①，1＋m2＞3k26kmx＋x＝，1－3k3＋3m2设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有：x·x＝－.1－3k212122→→又OQ·OQ2＝xx12＋yy12＝xx12＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)xx12＋km(x1＋x2)＋1m2，→→又OQ·OQ＝－11－3k25，所以有[(1＋k2)(－3m2－3)＋6k2m2＋m2(1－3k2)]＝－512整理得m＝1－9k2②，2x2将y＝kx＋m，代入3＋y2＝1，消去y并整理得：2＝0，要有两交点，则Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)＞0⇒3k2＋1＞m2③(1＋3k)x2＋6kmx＋3m2－319由①②③有：0＜k≤.2设M1(x3，y3)、M2(x4，y4)，则有：－6km3m2－3.x3＋x4＝1＋3k2，x3·x4＝1＋3k236k2m2－43m2－31＋3k21＋3k22所以|M1M2|＝1＋k2·＝1＋k2·－43m2－9k2－3，1＋3k22144k21＋3k22又m2＝1－9k2，代入有：|MM|＝1＋k2·12，令t＝k2，则t∈0，，k1＋k2219⇒|M1M2|＝121＋3k22t1＋t⇒f′(t)＝1－t1，又t∈0，，9令f(t)＝1＋3t1＋3t3211内恒成立，故函数f(t)在t∈0，内单调递增，99所以f′(t)＞0在t∈0，5则有故f(t)∈0，，|MM|∈(0，10].72123.3.1抛物线及其标准方程一、选择题1．在平面内，“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[当定点在定直线上时，其动点轨迹不是抛物线，反过来抛物线上的点满足到焦点的距离等于到准线的距离，故应选B.]y＝2px的焦点与椭圆x＋＝1的右焦点重合，则p的值为(2y2)2．若抛物线262A．－2B．2D．4C．－4p2p2＝2px的焦点为，0，而椭圆的右焦点为(2,0)，由＝D[y22得＝p4.故选D.]3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线2AF的斜率为()43A．－B．－13412C．－D．－3－0－2－23.]C[抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2,0)．从而k＝＝－4AF4．抛物线y＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的2动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为()A．23C．6B．4D．43∵△FPM是等边D[如图，三角形，∴由抛物线的定义知PM⊥l.在Rt△MQF中，|QF|＝2，∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，∴S＝43×42＝43.故选D.]PMF△5.如图所示，方向23km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，从M到A、到B修建费a万元/km，那么，总费用最低是(单位：万元)(南北方向的公路l，A地在公路正东2km处，B地在A东偏北30°经测算，用都为修建这条公路的)A．(2＋3)aB．2(3＋1)aD．6aC．5aC[依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线地在A地东偏北30°方向23km处，∴B到点A的水平距离为3(km)，∴B到直线l距离为：3＋2＝5(km)，：5a(万元)，故选C.]l距离即可，因B那么修建这两条公路的总费用最低为二、填空题146．抛物线y＝－x上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的2最小值为________．4[抛物线则|MF|的长度等于点M到准线E(1，－3)到直线y