大学物理-电磁学习题答案

静电场ABCAC试求点的电场强度(设q1.810CBBC0.04m,AC0.03m).q4.8109C，9，点上有电荷21直角三角形的点上，有电荷1qqE解：在C点产生的场强14AC2110qqE2在C点产生的场强42BC220C点的合场强EE2E23.24104Vm方向如图12一常数，为Rsin，式中为02.带电细线弯成半径为的半圆形，电荷线密度为0RxO夹角，如图所示．试求环心处的电场强度．半径与轴所成的dlsind4RdE解：04R200考虑到对称性dEdEcosE0xxdEdEsiny2sinddEsinEy000方向沿轴负向4R8Ry00O3.一半径为的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处的电场强度．dq2rdlR解：把球面分割成许多球带，球带所带电荷xdq2rxdldE4(x2r2)324(x2r2)3200xRcosrRsindlRd122sin2di4E20004如图所示，真空中一长为L的均匀带电q，试求在直d的P点的电场强度q细直杆，总电荷为杆延长线上P距杆的一端距离为．Ld解：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿直杆方向．带=q/L，在x处取一电荷dq=dx=qdx/L，它在P点的场强：电直杆的电荷线密度为元x(L+d－x)ＰdEdqOxLddq4Ldx4LLdxqdxdE02202分1qdx(Ldx)qL总场强为E3分4L－dLd04020方向沿x轴，即杆的延长线方向．y5一个细玻璃棒被弯成半径为+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷－O处的电场强R的半圆形，沿其上半部分Q+均匀分布有电荷Q，R如图所示．试求圆心yxO度．dqQ－解：把所有电荷都当作正电荷处理.d在处取微小电荷它在dq=dl=2Qd/xO处产生场强ROdqQddE4R222R200按角变化，将dE分解成二个分量：QQdEdEsincosdsinddEdEcos，22R222R2xy0对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷0/2QExsindsind＝0，22R200/2/2QQEcosdcosd2R22R2y200/20QEEiEjj所以2R2xy06边长为b的立方盒子的六个面，分别平行于xOy、yOz和xOz平面．盒子的一角在坐标原点处．在此区域有一静电场，场强为E200i300j.试求穿过各面的电通量．解：由题意知E=200N/C,E=300N/C,E=0yxyz平行于xOy平面的两个面的电场强度通量bESES0bbOe1z平行于yOz平面的两个面的电场强度通量e2ESES200b2N·m2/Cxx“＋”，“－”分别对应于右侧和左侧平面的电场强度z通量平行于xOz平面的两个面的电场强度通量ESES300b2N·m2/Ce3“＋”，“－”分别对应于上和下平面的电场强度通量.y27图中所示，A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带A面上电荷面密度＝－17.7×10C·m，B面A82--B电平面，A的电荷面密度＝35.4×10C·m-．试计算两平面之间和82-B两平面外的电场强度．(真空介电常量＝8.85×10-120C2·N-1·m-2)AB解：两带电平面各自产生的场强分别为方向如图示方向如图示：E/20E/2BAAABB0EA由叠加原理两面间电场强度为EEE/2B0EEEAABABA方向沿x轴负方向=3×104N/CEEB两面外左侧EEE/20BEBABAEE=1×104N/C方向沿x轴负方向E两面外右侧方向=1×104N/C方向沿x轴正xAB体密度为的r若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为的8一球体内均匀分布着电荷正电荷，O一个小球体，球心为，两球心间距离OOd，如图所示.求:OE腔内，球心处的电场强度.0(1)在球形空(2)在球体内P点处的电EOOP场强度.设、、三点在同一直OPd.径上，且OO过点作一个d半径为的解：（1）利用补偿法，以为圆心，面。根据高斯定理有高斯4d3d33EdSEOO方向从指向0000半径为的POd（2）过点以为圆心，作一个高斯面。根据高斯定理有430过点以为圆心，d3dEdSE3PP110OP2d半径为的作一个高斯面。根据高斯定理有43r3r3EdSE12d2PP22100rEEE(d3)方向为径向34d2PP210分布为=Ar(r≤R)，=0(r＞R)9一半径为A为一常量．试求球体内外的r、厚为dr的薄球壳，R的带电球体，其电荷体密度场强分布．解：在球内取半径为该壳内所包含的电荷为dqdVAr4r2dr在半径为r的球面内包含的电总荷为3rqdV4Ar3drAr4(r≤R)V0以该球面为高斯面，按高斯定理有E4rAr4/210EAr2/4得到，(r≤R)10方向沿径向，A>0时向外,A<0时向里．在球体外作一半径为r的同心高斯球面，按高斯定理有40EAR4/4rE4r2AR/2得到2，(r>R)02方向沿径向，A>0时向外，A<0时向里．R110图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为，球壳内表面半径为，外表面半径为R．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．解：E02rR1143(r3R3)14r20(rR3)3E2RrR13r12204(R3R3)2(RR3)331E3UrR2214r3r2200R2EdrEdr23RR213dr(R2R2)221R2(r3R3)dr(RR3)1213r3r22R2R1000r10cm和r20cm的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U300V．11电荷以相同的面密度分布在半径为120求电荷面密度（8.851012C2N1m2）0解：E0rr11r2E2rrr21r1201(r2r2)E3rr22r20UEdrEdrEdrrr1201230rr21122r(rr2)2rdrdr1r02r22rr102(rr)210U8.85103008.85109Cm21200rr13010324导体电学RRR31有一外半径为，内半径的金属球壳，在壳内有一半径为的金属球，球壳和内球均1带电量，求球心的电势．2qE01rR3解：qERrR4πεr02322E03RrR212qE4rR14πεr0UEdrEdrEdrEdr2RRR132012340RR1R2dr3q4πεr2q4πεr2dr4πεq112()RRRR22R3R1000321qRR122一电量为的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为、．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布。qE0rR1解：4πεr210E0RrR122qE3rR24πεr20drqq0rRUdrR14πεr4πεr0122rR02q1114πεrRR()012qRrRUdr4πεR0q4πεr122R202rR2U4πεdr4πεrqqr02r0稳恒磁场I弓形线框中通有电流，求OB1.如图所示的圆心处的磁感应强度.μIθμIB4πR6R解：圆弧在O点的磁感应强度001方向垂直纸面向外直导线在O点的磁感应强度μI4πRcos6003μI[sin600sin(600)]02πRB20方向垂直纸面向里5μI31B()总场强0方向垂直纸面向里2Rπ3AB2.两根长直导线沿半径方向引到铁环上、两点，并与很远处的电源相连，如图所示.OB求环中心点的磁感应强度.B解：设两Bρ段圆弧电流对O的磁感应强度大小分别为、S1，导线长度分别为和，横截面积为，电阻LL221率为，电流和的关系II12Lρ2IRLS2ILIL112212即LIR2Lρ111Sμμ0IdlIL11B014πr24πr1L1μIμ0dlIL22B2024πr24πrL2B0由于两段圆弧电流对O的磁感应强度方向相反，所以3求下各图中P点的磁感应强度B的大小和方向。IIrIPPIarPaI(a)I(b)(c)(a)P点在水平导线延长线上；（b）P在半圆中心处；（c）P在正三角形中心I0I0解：（a）B（b）B1方向垂直纸面向外；10I22a4aI10I1II0000方向垂直纸面向内；2r22r22r2r4r20方向垂II(cos30cos150)9I2aa（c）B3(cos30cos150)3002d223直纸面向内；4有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a，厚度不计，电流I在铜片上均匀分布，求铜片外与铜片共面、离铜片右边缘为b处的P点的磁感应强度B的大小。解：设立如图坐标系，取铜片上宽度为dx的一小部分I电流，可将其视为电流强度大小为的无限长直IdxaabP载流导线，则此电流在P点的产生的磁场的大小为dxx0x6I0dxIdx0dBa2(abx)2a(abx)，方向垂直纸面向内。则整个铜片在P点的磁场大小为Idx2(abx)02a(abx)2aIablnBdBaIdxI0a()lnabx00a002abR1cmP试求圆柱轴线上一点处的磁感应强度的大小。dlRdθ解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为的长直电I5A5.在半径的无限长半圆柱形金属片中，有电流自下而上通过，如图所示。流dldθdIπRπμdIμIdθ2πR2π2RdB在P点处的磁感应强度00μ0IsinθdθdBdBsinθ2πRx2BdB0Isind02I6.3710T5xx22RR06一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱（半径为a）和一同轴的导体圆管（内、外半径分别为b、c）构成。使用时，电流I从一导体流去，从从一导体流回。设电流都是均匀分布在导体的横截面上，求空间的磁场分布。解：设电流从内圆柱流出，外圆管流入，以O点为圆心，如下为半径做圆周为安培环路，并取顺时针方向为正方向。1）当ra时，由安培环路定理，0I02a2BdlI得intIr2,得BB2rr2，方向沿着环路切线逆时针。01a12arb2）当时，I2B2rIB2同1）解法，，得0，方向沿着环路切线逆时针。r203）当brc时，aI(r2b2)]，B2r0[I同1）解法，(c2b2)322r(c2b2)cr4）当时，I得B(c2r2)，方向沿着环路切线逆时针。030Bdl4I0B0，int4II20A,如图所示，求：7两平行直导线相距d=40cm，每根导线载有电流12（1）两导线所在与两该导线等距离的一点处的磁感应强度；rr10cm，l＝25cm。）（2）通过图中斜线所示面积的磁通量。（设1）与两该导线等距离的一点处的磁感应强度方向垂直纸面向平面内13解（外，大小为72d0I2I4.010T2B205dddx（2）由于两电流在矩形上的磁通对称且大小相等，所以为两倍单个导线在此的磁通量。ldx设立如图的坐标，取长为，宽为的面元，其大小I1lI2则20r1r2xx22BdS2Icos0ldxr1r2r301rrIlnx0.32.2106Wb0r0.18如图，在长直电流近旁放一矩形线圈与其共面，线圈各边分别平行和垂直于长直导线。线l，宽为b，近边距长直导线距离为a，长直导线中通有电流I。当矩形线圈中通有I1时，它受的磁力的大小和方向各如何？它又受到多大的磁力矩？圈长度为电流解：1）由安培力可知，线圈4个边受力（如图所示），其中2、故而相抵消；4力大小相等，方向相反并在一条直线上，I2a1FBIlIl0，II1l111ab2()1，IFBIlIla02212a(ab)bIIlb1FFF线圈受的合力方向向左，大小为0122）线圈受力与线圈同面，顾线圈所受磁力矩为0.1107m/s。9如图所示，一电子经过A点时，具有速率0v（1）欲使这电和方向；（2）求电子自A运动到子沿半圆自A至C运动，试求所需的磁场大小010cmCAC所需的时间。v20RevBm解：（1）电子所受洛仑兹力提供向心力09.1110311101.610190.05mv0eR71.1103T得出B磁场方向应该垂直纸面向里。T2R0.05t（2）所需的时间为221.6108s1107v010把2.0103eV的一个正电子，射入磁感应强度B=0.1T的匀强磁场中，其速度矢量与B成89角，路径成螺旋线，其轴在B的方向。试求这螺旋线运动的周期T、螺距h和半径r。解：正电子的速率为2Ekm22101.6103192.6107m/sv9.111031做螺旋运动的周期为8eB1.6100.1T2m29.1110313.61010s19螺距为hvcos890T2.6107cos8903.610101.6104mmvsin8909.1110312.6107sin8901.5103m半径为r1.6100.119eB11如图所示，一铜片厚为d=1.0mm，放在B=1.5T的磁场中，磁场方向与铜片表面垂直。已知铜片里每立方厘米有8.41022个自由电子，每个电子的电荷daBe1.61019C，当铜片中有I=200A的电流流通时，b（1）求铜片两侧的电势差U；Iaa'有无影响？为什么？（2）铜片宽度b对Ua’aa'解：（1）UIB2001.5nqd8.41028(1.61019)1.01032.23105V，负号表示a'aa'侧电势高。（2）铜片宽度b对U=UU=Ebvb/B和b有关，而在电流I无影响。因为aa'一定的情况下，漂移速度HvI/(nqbd)HH又和b成反比的缘故。12一半径R=0.1m的半圆形闭合线圈，载有电流I=10A。放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，B5.0103G，如图所示。（1）求线圈所受力矩的大小和方向；O（2）在这力矩的作用下，线圈绕过直径的轴转90，求力矩所做的功。R解：（1）力矩MmB大B小MmBsinISBsin9002R2IB7.9102Nm由矢量关系可以判断力矩方向沿直径向上。（2）力矩所做的功AIdI()IB(2R20)7.91022J21113一块半导体样品的体积为abc，沿x方向有电流I，在z轴方向加有均匀磁场B。这时实验得出的数据a=0.10cm，b=0.35cm，c=1.0cm，I=1.0mA，B=3000G，片两侧的电势差U=6.55mV。AA'（1）这半导体是正电荷导电（P型）还是负电荷导电（N型）？（2）求载流子浓度。解：（1）由电流方向、磁场方向和A侧电势高于A’侧电势可以判断此半导体是负电荷导电。（2）载流子浓度IB1.01030.33FCFnUqa6.55101.610191032.861020个/m3ACFAA'14如图所示，在长直导线AB内通有电流I1=40A，II21FEF9FCDOBFDExDE在长宽分别为a=9.0cm、b=20.0cm的矩形线圈CDEF中通有电流I=5A，AB与CDEF共面，且CD与AB2平行，相距d=1.0cm。试求：（1）矩形线圈每边受到导线AB的作用力；（2）矩形线圈受到导线AB的合力和相对矩形中心的合力矩。解：（1）矩形各边受力方向如图所示。各边受力大小2dI01FBICDIb8.0104NCD122IFBIEFIb8.0105N2012(da)EF22变化的电磁场1在通有电流I5Ad10cml20cm直导线近旁有一导线段ab，长，离长直导线距离直导线的方向以速度v10cm/s平移时，导线中的感应电动势的长。当它沿平行于长多大？a，b哪端的电势高？解：2IvlndldIdrd(vB)drvBdrvdl002rabd4107510ln10201.1105v210由于＜0，所以a端电势高。abVIdrabOrdlI1202电流为的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为，几何尺寸及位置如图所示。求v当圆弧形导线以速度平行于长直导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。AOOBAOOB解：连接、，圆弧形导线与、形成闭合回0，所以圆弧形导线电动势与路，闭合回路的电动势为AOB直导线的电动势相等。μIvdxμIvln2εvBdl2R002πx2πAORμIvdxμIv5εvBdl5ln02π4R022πxOB2RμIv52π2εεεln0ABAOOBI5.0A3长直导线中通有电流，另一110矩形线圈共3匝，宽a＝10cm，长L＝20cm，vv2cm/s以的速度向右平动，求当d＝10cm时I2101L线圈中的感应电动势。题解：线圈向右平移时，上下两边不产生动生电动势。因此，整个线圈内的感应电动势为I11N(BB)LvNLv0(2dda)12121100.2241075.0110.10.10.1()2103v32i5sin100tA，线圈内的感生电动4上题中若线圈势多大？不动，而长直中导线中通有交变电流题解：若通交变电流时，通过线圈的磁链为idaNiLlnda02dNNBdSN0Ldr2rd24.410cos1t002NL(lnda)di410711030.2(ln0.10.1)d(5sin100t)2ddt0.1dtddt05在半径为R的圆柱形体积内，充满磁感应强度为B的均匀磁场。有一长为L的金属棒放在磁场中。设磁场在增强，并dB且dt已知，求棒中的感生电动势，并指出哪端的电势高。oba。以S表示其面积，则通过S的o题解：考虑BS。当磁通变化时，感应电R磁通量为场的电场线为圆心在o的同心圆。由法拉第电磁感应定律得rhabddtdBdlSEdrEdrEdrEdr00baodtEbaiiiibaobaiSLR2L2/4dBdt，由于dBdt＞0，所以dB1由此得L＜0，因而b端的电高。badt2ba6半径为2.0cm的螺线管，长30.0cm，上面均匀密绕1200匝线圈，线圈内为空气。（1）求自感多大？（2）如果在线圈中电流以3.0102A/s的速率改变，在线圈中自感电动势多大？题解：（1）根据定义，线圈中这线圈中产生的自感0270.0227.610N2SNR2410(1.2103)2L03H。ll0.3（2）自感电动势大小Ldtdi7.61033.01022.3vRa和2a的两个圆，如图所示，将其置于与两圆平面7电阻为的闭合线圈折半成径分别为匀强磁场内，