2022年湖南省郴州市永春中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022年湖南省郴州市永春中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是两个不同的平面，直线．则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B2.已知数列{an}的通项公式是，其中的部分图像如图所示，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为（

）A.－1 B.0 C. D.参考答案：D【分析】根据图像得到，，，计算每个周期和为0，故，计算得到答案.【详解】，故，故，，，故，故，当时满足条件，故，，，，，，，，，，每个周期和为0，故.故选：D.【点睛】本题考查了数列和三角函数的综合应用，意在考查学生计算能力和综合应用能力.3.已知同时作用于某物体同一点的三个力对应向量分别为，为使该物体处于平衡状态，现需在该点加上一个力若则可为

（A）

（B）（C）

（D）参考答案：A4.“”是“”的（

）．（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：B【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/同角三角比.【试题分析】由于，且，得到，故充分性不成立；当时，，故必要性成立.故答案为B.5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（

）A．外接球的半径为

B．表面积为C．体积为

D．外接球的表面积为

参考答案：B6.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（

）A．4

B．5

C.6

D．7参考答案：B7.已知，若，则=（

）A.1

B.

4

C.-2或4 D.-2参考答案：B略8.已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，?RB={x|（x﹣1）（x+2）≥0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣2，1，2}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】根据补集与交集的定义，即可求出运算结果．【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，?RB={x|（x﹣1）（x+2）≥0}，∴B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}={x|﹣2＜x＜1}．∴A∩B={﹣1，0}．故选：B．9.已知函数，则函数的值域是

A．

B．

C．

D．以上都不对

参考答案：C略10.已知复数，则它的共轭复数等于(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数．若f(x)为奇函数，则曲线在点(0,0)处的切线方程为___________．参考答案：【分析】首先根据奇函数的定义，得到，即，从而确定出函数的解析式，之后对函数求导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式，得到结果.【详解】因为函数是奇函数，所以，从而得到，即，所以，所以，所以切点坐标是，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，故答案是.【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数的几何意义，属于简单题目.12.已知A，B是求O的球面上两点，且∠AOB=120°，C为球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则求O的表面积为．参考答案：64π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB==，故R=4，则球O的表面积为4πR2=64π，故答案为：64π．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．13.已知实数a，b，c，d满足条件，求的最小值是_________参考答案：－2414.（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2）且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是．参考答案：（，2）【考点】：根的存在性及根的个数判断．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知中可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）﹣logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（﹣2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=3，则对于函数y=loga（x+2），由题意可得，当x=2时的函数值小于3，当x=6时的函数值大于3，即loga4＜3，且loga8＞3，由此解得：＜a＜2，故答案为：（，2）．【点评】：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，，若△ABC的面积为

，则=

．参考答案：略16.二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则其常数项是

；参考答案：70略17.（1+2）3（1﹣）5的展开式中x的系数是

．参考答案：2【考点】二项式系数的性质．【分析】把所给的式子按照二项式定理展开，即可求得展开式中x的系数．【解答】解：由于（1+2）3（1﹣）5=（+++）?（++…+），故展开式中x的系数为1×（﹣）+×4×1=2，故答案为2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设是定义在上的函数，且对任意，当时，都有；(1）当时，比较的大小；（2）解不等式；(3）设且，求的取值范围。参考答案：（1）由对任意，当时，都有可得:在上为单调增函数,因为,所以,

.(2）由题意及(1)得:解得,所以不等式的解集为(3）由题意得:即:又因为,所以,所以,的取值范围是解析:通过是定义在上的函数，且对任意，当时，都有考查对函数单调性定义的理解,通过解不等式考查函数单调性的转化,通过且考查对函数定义域问题的转化以及求集合的交的运算以及分类讨论,属于中档题.19.（本小题13分）已知．（1）若关于的方程有小于0的两个实根，求的取值范围；（2）解关于的不等式（其中）．参考答案：

20.（本小题满分14分）

已知函数为自然对数的底数．

（I）当a=e时，求函数处的切线方程；

（Ⅱ）设的大小，并加以证明．参考答案：（Ⅰ）当时，函数，则， 1分所以，且， 2分于是在点处的切线方程为， 3分故所求的切线方程为． 4分

解法二：． 5分理由如下：因为，欲证成立，只需证，只需证， 6分即证． 8分构造函数，则． 10分因为，所以．令，得；令，得．所以函数在单调递增；在上单调递减．所以函数的最大值为．所以， 11分所以，即，则， 12分所以．取，得成立． 13分所以当时，成立． 14分解法三：． 5分理由如下：因为，欲证成立，只需证，只需证， 6分即证． 8分用数学归纳法证明如下：①当时，成立，②当时，假设成立， 9分那么当时，，下面只需证明， 10分只需证明，因为，所以，所以只需证明，所以只需证明，只需证明，只需证明对恒成立即可． 11分构造函数，因为在单调递增，所以． 12分所以当时，成立，由①和②可知，对一切，成立． 13分所以当时，成立． 14分解法四：． 4分理由如下：因为，欲证成立，只要证，只需证， 6分即证． 8分用数学归纳法证明如下：①当时，成立，②当时，假设成立， 9分那么当时，，下面只需证明， 10分注意到且，则， 12分所以当时，成立，由①和②可知，对一切，成立． 13分所以当时，成立． 14分21.已知都是实数，，.（Ⅰ）求使得的的取值集合；（Ⅱ）求证：当时，对满足条件的所有都成立.参考答案：22.(1)已知函数的周期为4，且等式对一切均成立，求证：是偶函数(2)设奇函数的定义域为R，且，当时，，求在区间［－2，0］上的表达式．参考答案：(1)令2＋x＝t，则2－x＝4－t，f(t)＝f(4－t)①又∵f(x)的周期为4，∴f(4－t)＝f(－t