广东省汕头市澄海苏北中学高二数学文下学期期末试题含解析

广东省汕头市澄海苏北中学高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，故选：D．2.已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为，若，，则a的值为(

)A. B. C. D.1参考答案：A【分析】根据题意，可知，，，代入即可求这组样本数据的回归直线方程，即可求解出答案。【详解】依题意知，，而直线一定经过点，所以，解得．故答案选A。【点睛】本题主要考查了根据线性回归方程的性质求回归直线，线性回归直线过点，这个点称为样本点的中心，回归直线一定过此点。3.过点（﹣1，2）且与直线y=tan30°x+2垂直的直线方程为（）A．y﹣2=（x+1） B．y﹣2=（x+1） C．y﹣2=﹣（x+1） D．y﹣2=﹣（x+1）参考答案：D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．

【专题】直线与圆．【分析】根据直线与直线垂直的关系，斜率乘积为﹣1，再根据点斜式求出直线方程．【解答】解：直线y=tan30°x+2，即y=x+2，∴与直线y=x+2垂直的直线的斜率为﹣，∵过点（﹣1，2），∴y﹣2=﹣（x+1），故选：D．【点评】本题考查了直线与直线垂直的关系，关键掌握斜率乘积为﹣1，属于基础题．4.（原创）已知高为2，底面边长为1的正四棱柱的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正四棱的正视图的面积不可能等于（

）

A.

B.2 C. D.参考答案：A略5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁参考答案：C6.已知函数，的导函数为，则（

）A．

B．

C．π

D．2π参考答案：A7.函数的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象(

) A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称参考答案：C考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：由已知可求ω=2，再由f（x）=sin（2x+φ）向左移个单位得为奇函数则有Z），|φ|＜可求φ代入选项检验．解答： 解：由已知，则ω=2f（x）=sin（2x+φ）向左移个单位得为奇函数则有Z），∵|φ|＜∴φ=即．代入选项检验，当x=时，为函数的最大值根据三角函数的性质可知对称轴处将取得函数的最值，C正确．故选：C点评：由三角函数的部分图象的性质求解函数的解析式的关键是要熟练应用函数的性质，还要注意排除法在解题中的应用8.下列结论中正确的是

（

）A.导数为零的点一定是极值点B.如果在附近的左侧右侧那么是极大值C.如果在附近的左侧右侧那么是极小值D.如果在附近的左侧右侧那么是极大值参考答案：B略9.若直线过点M（1，2），N（4，2+），则此直线的倾斜角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：A【考点】直线的倾斜角．【专题】直线与圆．【分析】利用两点的坐标，求出直线的斜率，从而求出该直线的倾斜角．【解答】解：∵直线过点M（1，2），N（4，2+），∴该直线的斜率为k==，即tanα=，α∈[0°，180°）；∴该直线的倾斜角为α=30°．故选：A．【点评】本题考查了利用两点的坐标求直线的斜率与倾斜角的应用问题，是基础题目．10.若展开式中只有第6项的系数最大，则常数项是（

）A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项参考答案：B【分析】由条件求得，在其展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求得的值，可得常数项，求得结果.【详解】若展开式中只有第6项的系数最大，则，它的展开式的通项公式为：，令，解得，所以常数项是第6项，故选B.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式中二项式系数最大项，二项展开式的通项，属于简单题目.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过点A(4,1)的圆C与直线相切于点B(2,1),则圆C的方程为

参考答案：12.

．参考答案：略13.已知函数，点P()在函数图象上，那么的最小值是

．参考答案：4因，且都是正数，所以，故，当且仅当时，“=”成立.14.数列{an}是公差不为0的等差数列，且a2＋a6＝a8，则＝________．参考答案：315.（导数）函数的极小值是．参考答案：略16.在等差数列中，当时，它的前10项和=__________．参考答案：略17.已知，则=

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(10分)设函数在处取得极值。（Ⅰ）求与满足的关系式；（Ⅱ）求函数的单调区间。参考答案：因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为。------5分2°.当，即时，1＋0－0＋↗↘极小值↗因此的单调递增区间为，，而的单调递减区间为。---------7分3°.当，即时，的单调递增区间为。----8分4°.当，即时，1＋0－0＋↗↘极小值↗因此的单调递增区间为，，而的单调递减区间为。------

10分19.（1）当时，求证：；（2）若，用反证法证明：函数（）无零点.参考答案：（1）见解析（2）见解析试题分析：（1）利用分析法证，将其变为整式证明；根据，用换元法证明；（2）假设结论不成立，可得在上有解，即在上有解.构造函数（），求的最小值，可得矛盾。试题解析：证明：（1）分析法：，要证，只需证，即证，，只需证，，，故得证.令，则，即，则，从而.（2）反证法：假设函数（）有零点，则在上有解，即在上有解.设（），（），当时，；当时，.，，但这与条件矛盾，故假设不成立，即原命题得证.【点睛】1.证明不等式，直接由条件不好推，可用分析法找结论成立的充分条件，根据不等式的式子的特点，注意换元法的运用；2.反证法证时，假设结论不成立，可得在上有解，构造，求其最小值，可得矛盾。20.（I）证明：；（II）正数，满足，求的最小值.参考答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用分析法证明不等式；（II）,再利用基本不等式求解.【详解】解：（Ⅰ）证明：要证，只需证，即证.由于，所以成立，即成立.（Ⅱ）解：当，即，时，取最小值9.【点睛】本题主要考查分析法证明不等式，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.21.某公司要招聘甲、乙两类员工共150人，该公司员工的工资由基础工资组成．其中甲、乙两类员工每人每月的基础工资分别为2千元和3千元，甲类员工每月的人均绩效工资与公司月利润成正比，比例系数为a（a＞0），乙类员工每月的绩效工资与公司月利润的平方成正比，比例系数为b（b＞0）．（Ⅰ）若要求甲类员工的人数不超过乙类员工人数的2倍，问甲、乙两类员工各招聘多少人时，公司每月所付基础工资总额最少？（Ⅱ）若该公司每月的利润为x（x＞0）千元，记甲、乙两类员工该月人均工资分别为w甲千元和w乙千元，试比较w甲和w乙的大小．（月工资=月基础工资+月绩效工资）参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）设招聘甲类员工人数为x，乙类员工人数为，求出公司每月所付的基础工资总额，即可得出结论；（Ⅱ）由已知，w甲=2+ax，w乙=3+bx2，w乙﹣w甲=（3+bx2）﹣（2+ax）=bx2﹣ax+1（a＞0，b＞0，x＞0），分类讨论，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设招聘甲类员工人数为x，乙类员工人数为，公司每月所付的基础工资总额为y千元，因为x≤2，所以0＜x≤100，x∈N…因为y=2x+3=450﹣x…x=100时，ymin=350，所以甲类员工招聘100人，乙类员工招聘50人时，公司每月所付的基础工资总额最少为350000元…（Ⅱ）由已知，w甲=2+ax，w乙=3+bx2…w乙﹣w甲=（3+bx2）﹣（2+ax）=bx2﹣ax+1（a＞0，b＞0，x＞0）…△=a2﹣4b（i）当△＜0，即a2＜4b时，bx2﹣ax+1=0无实数根，此时w乙﹣w甲＞0，即w乙＞w甲；…（ii）当△=0，即a2=4b时，bx2﹣ax+1=0有两个相等正实根，①当x=时，w乙=w甲；…②当x＞0且x≠时，w乙＞w甲；…（iii）当△＞0，即a2＞4b时，bx2﹣ax+1=0有两个不相等正数根和，①当x∈（0，）∪（，+∞）时，w乙＞w甲；…②当x∈（，）时，w乙＜w甲；…③当x=或时，w乙=w甲…22.已知函数f（x）=x3+ax2﹣3x﹣1．（1）当a=﹣4时，求函数f（x）的单调递减区间；（2）已知g（x）=﹣3x+1，若f（x）与g（x）的图象有三个不同交点，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设G（x）=f（x）﹣g（x）=x3+ax2﹣2，求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数G（x）的单调性，从而求出函数G（x）的极大值和极小值，问题转化为函数G（x）有3个不同的零点，求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=﹣4时，f′（x）=（3x+1）（x﹣3），由f′（x）≤0，解得：﹣≤x≤3，∴函数f（x）的单调递减区间是[﹣，3]；（2）设G（x）=f（x）﹣g（x）=x3+ax2﹣2，∴G′（x）=x（3x+2a），由G′（x）=0，解得：x=0或x=﹣，①a＞0时，在（﹣∞，﹣）上，G′（x）＞0，在（﹣，0）上，G′（x）＜0，在（0，+∞）上，G′（x）＞0，∴G（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）递增，在（﹣，0）递减，∴G（x）极大值=G（﹣）=a3﹣2，G（x）极小值=G（0）=﹣2，f（x）与g（x）的图象有三个不同交点等