静电场中的导体和电介质

#第7章静电场中的导体和电介质习题及答案1.半径分别为R和厂的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为O和O。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证1o明：一o22r证明：因为两球相距甚远，半径为R的导体球在半径为厂的导体球上产生的电势忽略不计，半径为厂的导体球在半径为R的导体球上产生的电势忽略不计，所以半径为R的导体球的电势为o兀R2V=-u——1 4n£R0半径为厂的导体球的电势为oR—1—480or24n8r4800用细导线连接两球，有V=V，所以o—1o212r证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1相)向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2相)背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。证明：如图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为o,o,12(1)取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得JE-dS=0=—(o+o)ASS 8 2 30o，o34o+o=023上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。()在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即o—1--280o+o2o=o14o—2280=0o―3280o4-=0280半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为d=3R处有一点电荷q，试求：金属球上的感应电荷的电量。解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q,金属球接地时电势V=0由电势叠加原理，球心电势为4n84n8R0q'Jdq+——-——4n83R04n8R4n83R4n8R4n83Rd__qq=34.半径为R的导体球，带有电量q，球外有内外半径分别为R、R的同心导体球壳，球壳1 23带有电量Q。(1)求导体球和球壳的电势V和V；12(2)如果将球壳接地，求V和V；12(3)若导体球接地(设球壳离地面很远)，求V和V。解：(1)应用均匀带电球面产生的电势公式和电1势叠2加原理求解。半径为R、带电量为q的均匀带电球面产生的电势分布为q4-RV=40q--4nsr0导体球外表面均匀带电q；导体球壳内表面均匀带电-q，外表面均匀带电q+Q，由电势叠加原理知，空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳内表面和外表面电荷在该点产生的电势的代数和。导体球是等势体，其上任一点电势为V=，(土-2+q1Q)4nsRRR01 2 3球壳是等势体，其上任一点电势为V=q+―q+q+Q=q+Q4nsr4nsr4nsR 4nsR0 0 03 03(2)球壳接地V=?+Q=0，表明球壳外表面电荷q+Q入地，球壳外表面不带电，导体2 4nsR03球外表面、球壳内表面电量不变，所以V=-q-(―——)i 4ns RR01 2(3)导体球接地V1=0，设导体球表面的感应电荷为q'，则球壳内表面均匀带电-q'、外表面均匀带电q'+Q，所以一a+q-tQ)=04nsRRRTOC\o"1-5"\h\z01 2 3R RRQ解得q= 1-2 解得RR-RR+RR23 13 12qq'+Q (R-R)QV= = 212 4nsR 4ns(RR-RR+RR)03 0 23 13 12两个半径分别为Ri和R2(Ri<R2的同心薄金属球壳,现给内球壳带电q，试求:外球壳上的电荷分布及电势大小；先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；再使内球壳接地，此时内球壳上的电量以及外球壳上的电势。解： 内球壳外表面带电+q；外球壳内表面带电为-q外表面带电为+q，且均匀分布，外球壳上电势为V=«RE-dr=«R—q—dr=—q—R R4nsr2 4nsR2 2 0 02外球壳接地时，外表面电荷+q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为-q。所以球壳电势由内球+q与外球壳内表面-q产生，其电势为qq4nsR 4nsR02 02如图所示，设此时内球壳带电量为q'；则外壳内表面带电量为-q',外壳外表面带电量为-q+q'电荷守恒，此时内球壳电势为零，且4n8R024n8R02R得q=；qR2外球壳的电势为(R-4n8R024n8R02R得q=；qR2外球壳的电势为(R-R)q

——1 2——4n8R 4n8R4n8R 4n8R202 02 02 026.设一半径为R的各向同性均匀电介质球体均匀带电，其自由电荷体密度为P,球体内的介电常数为8，球体外充满介电常数为8的各向同性均匀电介质。求球内外任一点的场强大小和电势（设无穷远处为电势零点）。解：电场具有球对称分布，以厂为半径作同心球面为高斯面。由介质中的高斯定理得JD.dS=D.4兀r2=2qS4当r<R时，2q=p•—兀r3i3所以D pr4 4c当r>R时，2q=p•—兀R3

i3所以381D二暨3r2球内（r<R）电势为8 38r222卜PLdlr+J-^^r

r38 R38r212p pR2二——（R2-r2）+—

68 381 2球外（r>R）电势为V=卜E-dr=Jg_pRLdr=^RL2r r38r2 38r22如图所示，一平行板电容器极板面积为S,两极板相距为d，其中放有一层厚度为t的介质，相对介电常数为8，介质两边都是空气。设极板上面电荷密度分别为。和-O，求：()()()解：(r极板间各处的电位移和电场强度大小；两极板间的电势差U；电容C。）取闭合圆柱面（圆柱面与极板垂直，两底面圆与极板平行，左底面圆在极板导体中，右底面圆在两极板之间）为高斯面，根据介质中的高斯定理，得0D・dS=D,△S=o.ASSD=o（空气中）（介质内）由①、(3)（空气中）（介质内）由①、(3)Ds =ioss o0r ——ss0rE•dlAIBooTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"二—(d—t)+ 1\o"CurrentDocument"s ss0 0roS ssS()C=——=——.0,r———Usd—(s—1)trr如图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为s的电介质，设极板面积为rS，两极板上分别带电荷为+Q和-Q，略去边缘效应。试求：（1）在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值；（）两极板间的电势差U；（）电容C。解：（）充满电介质部分场强为E2，真空部分场强为E1,有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度分别为0和°。21取闭合圆柱面（圆柱面与极板垂直，两底面圆与极板平行，上底面圆在极板导体中，下底面圆在两极板之间）为高斯面，由1D-dX=Xq得0D=o，D=o1122DoUE=-1-=-1=—1ssd00DoUE=——2—=——2—=—2ssssd0r0r由①、②解得o—2-=Sor1S()由电荷守恒定律知，(°+°)-=Q③1 22②、③解得〃 2QdU=(s+1)sSr0QQ (s+1)sSC==r0U 2d半径为R的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为R和R，当内球

1 23带电荷Q时，求：（1整）个电场储存的能量；（2将）导体壳接地时整个电场储存的能量；（3此）电容器的电容值。解：如图所示，内球表面均匀带电Q，外球壳内表面均匀带电-Q，外表面均匀带电Q(1由)高斯定理得当r<R和R<r<R时，E=012 3

E二——1 4ngr20当r>R时，E=一Q一3 2 4ner2所以，在R<r<R区域12w=JR21e(_Q_)24nr2dr1R204ner210TOC\o"1-5"\h\zfrQ2dr Q211 1、=2 = (—————)R8ner28neRR

1 0 01 2在r>R区域31Q Q21W=卜e(一Q一)24nr2dr=Q 2R204ner2 8neR3 0 03总能量为Q2 1 1 1W=W+W=^Q-(—— 十)1 2 8neR R R01 2 3导体壳接地时，只有R<r<R2时E二岛其它区域E二0，所以w2=°Q2 1 1W=W=^Q-(——)i8ne R R01 2电)容器电容为2W 1 1C= =4ne/（————）Q2 °RR121°.一个圆柱形电容器，内圆柱面半径为R1外圆柱面半径为R，长为L（L>>R—R外圆柱面半径为R，长为L（L>>R—R），2 21所示。设内、外圆柱面单位长度上带电荷（即电荷线密度）分别为九和一九，求：（1）电容器的电容；（2）电容器储存的能量。由介质中的高斯定理得fD•dS=D•2nrl=£由介质中的高斯定理得fD•dS=D•2nrl=£qS当R<r<R时，入D=——2nr两圆筒间场强大小为E=Dee0r入2^eer

0r1入2^eer0r2(R<r<R)1(R<r<R)2两圆筒间的电势差为fRfR -dr+J2 R2neer0r2U=fR2E-dr=fRR R2neerR1 1 0r1

九।R.九।R In+ In一2ke8R 2Ks8R0r1 1 0r2电容器的电容为(2)电容器储存的能量8r22K888L(2)电容器储存的能量8r22K888Lln(R/R)，8'21n(R/R)1 r1w-1Q2Cr2VRRRR)1n——+81n—R ri R)1 /4ns880r1r211.如图所示，一充电量为土Q的平行板空气电容器，极板面积为S,间距为d，在保持极板上电量土Q不变的条件下，平行地插入一厚度为d/2，面积S，相对电容率为8的电介质平板，r在插入电介质平板的过程中，外力需作多少功？8S解：插入电介质平板之前，C-t厂，电容器储存的能量为0dW-01Q2_Q2dW-01Q2_Q2d2C~—28S00插入电介质平板之后，由本章习题7的解法可得到C-电容器储存的能量为W-1Q288S 0—r——

(8+1)dr2Q2(8+1)d2C r 488S1介质，其界面半径为R，相对介电常数分别为1介质，其界面半径为R，相对介电常数分别为8和8r1r2求：2如图所示。设在两球壳间加上电势差U12，(R<r<R)1(R<r<R)20r由能量守恒定律知，在插入电介质平板的过程中，外力作的功为Q2d(1-8)A—W—W- r—0 4K88S0r12一球形电容器，内球壳半径为R，外球壳半径为R，两球壳间充有两层各向同性均匀电电容器的电容；电容器储存的能量。解：()设球内球壳和外球壳分别带电Q、-Q，电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由介质中的高斯定理得JD.dS-D•4兀r2-EqS ，当R<r<R时，Zq—Q，D-Q—1 2 i 4nr2内球壳和外球壳之间场强大小为-7-Q—D 4k88r2E- -< 。r188Q0r 4k88r20r2内球壳和外球壳之间电势差为U12=JR2E•dr=JR Q dr+JR2R1Q4K880r1R1