2022-2023学年江苏省常州市剑湖职业高级中学高一数学文期末试卷含解析

2022-2023学年江苏省常州市剑湖职业高级中学高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列关系中正确的是（

）①

②

③

④

①

②

③

④参考答案：D2.给出命题：①x∈R，使x3<1；

②$x∈Q，使x2=2；③"x∈N，有x3>x2；④"x∈R，有x2+1>0．其中的真命题是：（

）A．①④B．②③C．①③

D．②④参考答案：A

解析:方程x2=2的解只有物理数,所以不存在有理数使得方程x2=2成立,故②为假命题;比如存在,使得,故③为假命题.3.已知函数f（x）=，且满足f（c）=4，则常数c=（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．1或2参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据c的范围，得到关于c的方程，解出即可．【解答】解：c＜0时，c2﹣c+2=4，解得：c=﹣1，c≥0时，2c=4，解得：c=2，故选：C．4.下列函数中，最小正周期为π的是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】求出每一个选项的最小正周期得解.【详解】A选项，函数的最小正周期为，所以该选项错误；B选项，根据函数的图像得函数的最小正周期为，所以该选项正确；C选项，函数的最小正周期为，所以该选项错误；D选项，函数的最小正周期为，所以该选项错误.故选：B【点睛】本题主要考查函数的最小正周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.函数y＝e|lnx|－|x－1|的图象大致是

参考答案：D6.下列函数中，定义域为，且在上单调递增的是（

）．A． B． C．

D．参考答案：C对于．为对数函数，在上递增，则错误；对于．为指数函数，在上递增，则正确；对于．为指数函数，在上递减，则错误．故选．7.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为（）A．3 B． C．2 D．2参考答案：D【考点】球内接多面体．【分析】根据正六棱柱和球的对称性，球心O必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出过正六棱柱的对角面的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量．【解答】解：以正六棱柱的最大对角面作截面，如图．设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，则O是O1，O2的中点．设高为2h，则6+h2=9．∴h=，∴2h=2，故选：D．8.若，则（

）A

B

C

D参考答案：D9.已知数若变量满足约束条件，则的最大值为（

）A.-9

B.9

C.6

D.

-6参考答案：B略10.平面向量与共线且方向相同，则n的值为（

）A.0 B.±2 C.2 D.－2参考答案：C【分析】利用向量共线的坐标运算求解，验证得答案．【详解】向量与共线，，解得．当时，，，与共线且方向相同．当时，，，与共线且方向相反，舍去．故选：．【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，是基础的计算题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）函数y=tan（3x+）的最小正周期为

．参考答案：考点： 三角函数的周期性及其求法．专题： 计算题；三角函数的图像与性质．分析： 由三角函数的周期性及其求法直接求值．解答： 由正切函数的周期公式得：T=．故答案为：．点评： 本题主要考察了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．12.函数的最小正周期为

.参考答案：13.若函数f(x)＝|x－2|(x－4)在区间(5a,4a＋1)上单调递减，则实数a的取值范围是____．参考答案：试题分析：将函数化成分段函数的形式，不难得到它的减区间为（2，3）．结合题意得：（5a，4a+1）?（2，3），由此建立不等关系，解之即可得到实数a的取值范围．解：函数f（x）=|x-2|（x-4）="(x-2)(x-4)"(x≥2)(2-x)(x-4)(x＜2)∴函数的增区间为（-∞，2）和（3，+∞），减区间是（2，3）．∵在区间（5a，4a+1）上单调递减，∴（5a，4a+1）?（2，3），得2≤5a,4a+1≤3，解之得≤a≤故答案为：点评：本题给出含有绝对值的函数，在已知减区间的情况下求参数a的取值范围，着重考查了函数的单调性和单调区间求法等知识，属于中档题14.函数（常数且）图象恒过定点P，则点P的坐标为

．参考答案：15.计算参考答案：1略16.已知an=(n=1,2,…)，则S99=a1+a2+…+a99＝

参考答案：略17.如图，一辆汽车在一条水平公路上向西行驶，到A处测得公路北侧有一山顶D在西偏北30°方向上，行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m．参考答案：由题意可得，AB=300，∠BAC=30°，∠ABC=180°-75°=105°，∴∠ACB=45°，在△ABC中,由正弦定理可得：，即，.在Rt△BCD中,∠CBD=30°，∴tan30°=，∴DC=.即此山的高度CD＝m.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．参考答案：【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】在平面PAB内，作AD⊥PB于D，则AD⊥平面PBC，从而AD⊥BC，再由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，从而BC⊥平面PAB，由此能证明BC⊥AB．【解答】证明：在平面PAB内，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB．∴AD⊥平面PBC，又BC?平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB?平面PAB，∴BC⊥AB．19.已知等比数列{an}的公比是的等差中项，数列的前n项和为.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：（1），；（2）.【分析】（1）先由题意，列出方程组，求出首项与公比，即可得出通项公式；（2）根据题意，求出，再由（1）的结果，得到，利用错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）因为等比数列的公比，，是的等差中项，所以，即，解得，因此，；（2）因为数列的前项和为，所以，（）又当也满足上式，所以，；由（1），；所以其前项和①因此②①式减去②式可得：，因此.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合应用，以及错位相减法求数列的和，熟记等差数列与等比数列的通项公式以及求和公式即可，属于常考题型.20.已知n为正整数，数列{an}满足an＞0，，设数列{bn}满足（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值；（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值．参考答案：【考点】8H：数列递推式；8F：等差数列的性质．【分析】（1）由题意整理可得，=2?，再由等比数列的定义即可得证；（2）运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，可得2b2=b1+b3，解方程可得t，对t的值，检验即可得到所求值；（3）由（2）可得bn=，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，即有8a14?n（1+n）﹣a14n2=16?，讨论a1为偶数和奇数，化简整理，即可得到所求值．【解答】（1）证明：∵数列{an}满足an＞0，，∴=4?，∴=2?，∴数列为等比数列，其首项为a1，公比为2；（2）解：由（1）可得：=a1?2n﹣1，an=，=．∵数列{bn}是等差数列，∴2b2=b1+b3，∴=+，解得t=4或12．t=4时，bn==，是关于n的一次函数，因此数列{bn}是等差数列．t=12时，bn=，bn+1﹣bn=，不是关于n的一次函数，因此数列{bn}不是等差数列．综上可得t=4；（3）解：由（2）得bn=，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，即有8a14?n（1+n）﹣a14n2=16?，化简可得m=，当a1=2k，k∈N*，m==nk2，对任意的n∈N*，符合题意；当a1=2k﹣1，k∈N*，当n=1时，m===k2﹣k+，对任意的n∈N*，不符合题意．综上可得，当a1=2k，k∈N*，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立．21.一直线l过直线l1：2x﹣y=1和直线l2：x+2y=3的交点P，且与直线l3：x﹣y+1=0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若直线l与圆C：（x﹣a）2+y2=8（a＞0）相切，求a．参考答案：【考点】圆的切线方程．【分析】（1）由解得P的坐标，再求出直线斜率，即可求直线l的方程；（2）若直线l与圆C：（x﹣a）2+y2=8（a＞0）相切，a＞0且C到直线l的距离为，由此即可求a．【解答】解：（1）由解得P（1，1）…又直线l与直线l3：x﹣y+1=0垂直，故l的斜率为﹣1所以l：y﹣1=﹣（x﹣1）…即直线l的方程为x+y﹣2=0…（4分（2）由题设知C（a，0），半径…因为直线l与圆C：（x﹣a）2+y2=8相切，∴a＞0且C到直线l的距离为…∴得a=6或a=﹣2（舍）…∴a=6．…22.小波以游戏的方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋．（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）写出以O为起点，以A1，A2，A3，A