高等数学 课程教案

课 程教 案学院、部应用数学学院系、所运筹与控制教研所授课教师课程名称高等数学课程学时180学时实验学时0学时教材名称高等数学高等数学课程教案授课类_ 理论授课时间2 节授课题目（教学章节或主题第四章§1 不定积分的概念与性质本授课单元教学目标或要求：理解原函数的概念，理解不定积分的概念。熟练掌握不定积分的性质与基本积分公式。会利用基本积分公式和不定积分的性质计算简单的不定积分本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等教学基本内容：原函数与不定积分的概念基本积分公式不定积分的性质重点：原函数与不定积分的概念基本积分公式难点：利用基本积分公式和不定积分的性质计算简单的不定积分积分问题：①已知某质点以速度vv(t)作变速直线运动，求该质点的运动方程。即寻求函数ss(t)，使s(t)v(t)；②已知一平面曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求该曲线的方程。yF(x)F(x2x，共性：f(xyF(x)F(xf(x。——积分学的基本问题原函数及性质定义1 如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任一xI，都有F(xf(x或dF(x)f(x)dxF(xf(x（f(x)dx）I注：1，连续函数一定有原函数；2，F(xf(xF(xCf(x的原函数；(F(xC)F(x)f(x)3，f(x)的任意两个原函数仅相差一个常数。不定积分定义2 在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)（或f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作f(x)dx，其中记号 称为积分号，f(x)称为被积y yF(x)yF(x)o x图41

x称为积分变量。显然f(x)dxF(xC。例、求下列函数的不定积分第 页，共页第页，共页第页，共页①x2dx；②cos；③

11x2dx由引例2结果不难看出）f(x的每一个原函数F(xf(x的积分曲线，而积分f(x)dxF(xCf(x)的全部积分曲线，其中任一条曲线都可由另一条积分曲线沿x轴方向上下平移而得（详见图4-。这就是不定积分的几何意义。基本积分表（24159P186187不定积分的性质①f(x)f(x)dxg(x)dx②kf(x)dxkf(x)dx （k0）例2、求下列不定积分①x(x2

②

(x1)3x2

dx ③(ex3cosxdx ④2xexdx1xx2⑤x(1x2)dx

x4⑥1x2

⑦tan2

xdx

⑧sin2

xdx2本授课单元教学手段与方法：多媒体课件与板书相结合、以教师讲授为主，结合启发式和提问式教学方法。本授课单元思考题、讨论题、作业：思考题x0符号函数f(x)sgnx0在（,）内是否存在原函数？为什么？1, x0思考题答案不存在。

xc, x0假设有原函数F(x),F(x) c, x0xc, x0F(xx0f(x)在（,）内不存在原函数。作业：P190：1（6，12，14，16，17，22，23，25）2，3。本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学（同济五版）同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，2001.10高等数学课程教案授课类型_理论授课时间高等数学课程教案授课类型_理论授课时间2节第页，共页第页，共页授课题目（教学章节或主题第四章§2、不定积分的第一类换元法本授课单元教学目标或要求：熟练掌握计算不定积分的第一类换元法本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等教学基本内容：第一类换元法重点：第一类换元法难点：第一类换元法第一类换元法（或凑微分法）定理f(uu(x可导，则有换元公式f[(x)](x)dx[f(u)du]例1、求不定积分①sin2xdx ②

132xdx

dx③x(12lnx)

u(x)④x1x2dx ⑤tanxdxdx dxa2x2⑥a2a2x2

dx⑧x2a2例2、求不定积分①sin3xdx ②sin2xcos5xdx ③cos2xdx ④sec6xdx ⑤cos3xcox2xdx本授课单元教学手段与方法：讲授本授课单元思考题、讨论题、作业：作业：P205: 2（1，5，6，9，13，16，17，18，20 ）2（21，25，29，34，35，38，39，40）本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学（同济五版）同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，2001.10授课题目（教学章节或主题第四章§2、不定积分的第二类换元法本授课单元教学目标或要求：熟练掌握计算不定积分的第二类换元法本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等教学基本内容：第二类换元法重点：第二类换元法难点：第二类换元法第二类换元法定理2x(t)是单调的、可导的函数，并且(t)0f(t)具有原函数，则有换元公式f(x)dx[f(t)dt]1、三角代换

t(x)

1(xx(t的反函数。例1 a2

x2dx 2

dx

例3 dx

例4 x5dxx2a2x2ax2a2x2a21x2xatant，xasect双曲代换被积函数含有根式去根式.无理代换

， ， 可考虑分别用三角代换xasint，a2x2a2x2x2a2x2a2x2a2x2x2a2x2a213x13x1

例6 dx

例7 dxx(1x(13x)1ex例8

a2x2dxx4基本积分表（2）本授课单元教学手段与方法：讲授

203本授课单元思考题、讨论题、作业：作业：P205:2（21，25，29，34，35，38，39，40）第页，共页第页，共页本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学（同济五版）同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，2001.10高等数学课程教案授课类_ 理论授课题目（教学章节或主题：第四章§3、不定积分的分部积分法本授课单元教学目标或要求：熟练握计算不定积分的分部积分法

授课时间2 节本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等教学基本内容：不定积分的分部积分法重点：不定积分的分部积分法难点：不定积分的分部积分法分部积分公式：设u=u(x), v=v(x)具有连续导数，则有udvuvvdu前后相乘

前后交换例1 xcosxdx 例2

xe

dx 3

x2exdx注：u和dv时一般要考虑下面两点（1）v要容易求出vdu要比udv容易积出。例4 xcosxdx 例5x2exdx若被积函数是幂函数（指数为正整数）与正（余）u.例6xlnxdx 例7arccosxdx 例8xarctgxdx注：若被积函数是幂函数（指数为正整数）与对数函数的乘积或是幂函数与反三角函数的乘积时，应考虑用分部积分，并取对数函数或反三角函数为u.例9 sec3xdx 例10exsinxdxx例11e dxx本授课单元教学手段与方法：讲授本授课单元思考题、讨论题、作业：作业：预习第五章第一节P205:2（21，25，29，34，35，38，39，40）本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）第页，共页第页，共页高等数学（同济五版）同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，2001.10高等数学课程教案授课类_ 习题授课题目（教学章节或主题：第四章习题课

授课时间2 节本授课单元教学目标或要求：理解原函数的概念，理解不定积分的概念。熟练掌握不定积分的性质与基本积分公式。熟练掌握计算不定积分的凑微分法，换元法和分部积分法。会求有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等教学基本内容：不定积分的概念与性质 基本积分公式换元积分法 分部积分难点：换元积分法分部积分法一，习题选讲1x2P205：29 1x2dx

dx P205：32

1lnxxlnx1

dx P22（）tan4xdxxcos3xsinxx41x2P22x41x2

x(x64)

dx P222）esin

dxcos2x1x2P22（3 x31x2二，典型例题选讲

dx

1(2cosx)sin

dx （

sinxcosx dxsinxcosx例1：已知f(ex)1x,且f(1)=0, 求f(x) 例2：求

11exdx1ex1 1 11ex3：求

1sinxdx

4：求

dx 5：求

1cos

exdx例6：设ex是f(x)的一个原函数，求

xf(x)dx7：f(x)ex，求

f'(lnx)dxx本授课单元教学手段与方法：讲授本授课单元思考题、讨论题、作业：作业：预习第五章第一节本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学（同济五版）同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，2001.10高等数学课程教案授课类_ 理论授课题目（教学章节或主题：第五章§1定积分的概念与性质本授课单元教学目标或要求：

授课时间2 节理解定积分的概念，掌握定积分定义的思想方法：分割，求和，取极限。会灵活运用定积分的性质。会估计定积分的值，不计算定积分就能比较定积分的大小。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等教学基本内容：1，定积分的定义2，定积分的几何意义定积分的性质重点：定积分的定义定积分的性质难点：定积分的定义中所包含的思想先由两个例子出发：曲边梯形面积的求法和变速直线运动的路程的求法。曲边梯形的面积计算例子：f(x0(x[a,by

f(xxab

轴所围成的曲边梯形的面积A。思路与方法：首先用小矩形面积的和近似取代曲边梯形面积，再通过极限得到面积的精确值。如图Alim0

f

)xi

max{

,

, ,

}，(1)变速直线运动的路程问题：vv(t是时间间隔

]上的连续函数，且v(t)0，求物体在时间1 2间隔内所经过的路程。思路与方法：首先用小段时间内的等速运动得到的路程的和近似取代整段时间内的路程，再通过极限得到路程的精确值第 页，共页nslimv()tn

其中：t2titn}0i1 i i曲边梯形的面积与变速直线运动的路程的共同特征它们都与一个函数和自变量的一个变化区间相关联。由此引入定积分的定义如下：1，定积分的定义：fx在[ab][ab]中任意插入n1个分点ax0x1x2xi1xixn1xnb把区间分划成n 个小区间[x0,[x1,x2] [xi1,xi][xn1,xn]各区间的长度依次为x x1

x,x0

x x2

,,xi

xxi

i

,,xn

x n

n1在每个小区间[x ,x]上任取一点(x

x)，作函数值f()与小区间长度x

的乘积i1 i

i i1 i i i if(i

)xn作和式i

nsni1

f

i)xi记max{,x2,xn}若不论对区间[a,b]也不论[xi1,xi]上的点i 怎样的取法只要当0时和s总趋向于确定的值I我们称这个极限值I为函数f(x)在区间ab定积分。

bf(x)dxab n即f(x)dxIlimf(i)xia2，定积分的几何意义

0i1xf(xxaxbx轴的上方的面积取正好;在x轴的下方取负号。3，定积分的性质补充两点规定：1）ab时，bf(x)dx0； 2）ab时，bf(x)dxa

f(x)dx a a b声明：在下面的讨论中，对积分上下限的大小均不加以限制，并假定各性质中所列出的定积分均存在。【性质一】

b b b[f(x)g(x)f(x)dxg(x)dxa a【性质二】kf(x)dxk

f(x)dx

(k是常数因子)a a性质三】设acb，则第 页，共页b c bf(x)dxf(x)dx

f(x)dx

(acb)a a c1dxb性质四】如果在区间[a,b]上，