关于集合论的调研

有关集合论的调研姓名：李坚强学号090501211（惠州学院数学系2023级应数2班，：516007，E-mail:550270521xqqx）摘要：集合论关键词：集合论，康托，元素，基本规律，公理化集合论引言集合论是研究集合的数学理论。它是数学的一个分支，但在数学中却占有一个机器独特的地位，其基本概念已经渗透到数学的几乎所有领域。因此我们说集合论是现代数学的的基础。集合论的起源可以追溯到16世纪末，主要是对数集进行了卓有成效的研究。但集合论实际发展是由德国数学家康托在19世纪70年代到80年代创立的。康托提出了基数、序数、超穷数和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础。因此，康托被誉为集合论的创始人。正文集合的基本定义与性质概括集合的定义集合是集合论的主要研究对象，也是数学中的基本概念。一定范围的、确定的、可区别的事物，当作一个整体来看待，就叫作集合，简称集，其中各事物叫作集合的元素或简称元。如①北京、天津、上海三城市；②全体英文大写字母；③《阿Q正传》中出现的不同汉字;④全体自然数；⑤平面上的所有直线,都是集合的例。但池子中的水,古今著名小说就不算集合，因为不满足确定与可区别的条件。事物m是集合S的元素有时也说成m属于S或S含有m，记为m∈S。如果集合只含有有限个元素，便称为有穷集合，否则称为无穷集合。在上面的例中，前三个是有穷集合，后两个是无穷集合。集合与集合的关系黎按照蓬集合拆的定母义，光当一揪个集绸合的帜所有旬元素踩都已可知时约，这症个集租合就抱确定掠了。康这时导如果燃它是茫有穷耐集，遗便可退将其男元素壁全部蚕列出令，置磁于括气弧之蚁内来交表示锋(什黄么顺型序都爱无关著系)线。如劳①特｛北街京、满天津置、上民海｝息，伤②征｛酬A乖,梁B拳,眉C太,锯…默,薯Z速｝，退对于寄③轰虽有密困难唇，窄但原吴则上闷还是荷办得村到的桐。但追是，糕如果左集合苹是无沙穷集志，那赖么，姓上面帮的方朋法就处行不于通了若。这拖时只掏好利恶用能弃够刻绵画所婶有元片素条x赛的某铅一性骑质绳P奖(湿x授)来坡加以现概括促。如得例份④蛇中的汗集合为可表取示为僚｛武x厨｜赚x员是截自然阳数｝纷。这饼种表榆示也哥适用饭于有赢穷集垒，如森｛北忌京京、天究津、基上海贝｝=卷｛何x晌｜凡x雁=北绣京或斩x桥=天注津或弯x寻=缝上海黎｝=盐｛寒x祖｜书x贯为中素国现胸有直畜辖市伙｝。井一个纠集合谦可以显没有与任何朗元素史，这压种集桑合只滩有一令个，尸叫作滔空集趋,通蓄常用编北欧固字母筝来记宫它。窝如果冒集合洋B糕的元织素都惜是蹲A壳的元碑素,经就称可B导为椅A风的子际集,不或威A蒙包含因B种,记遥为陕B辞包含乌于争A事。唱例如班，偶玉数全泽体俩包含逃于骑自然怖数全械体。残空集仓被看耽作是悬任何倦集合促的子姨集。勉任一己集合够A帅都是奏它自盒己的殃子集道,即犹A妻包含感于恐A题。济A赛的异株于自结己的成子集季B香称为惹A货的真荐子集蛙,记卵为抢B揉A博。勤两集痕合的麦相等门（即术含有属同样箱的元鲁素）高可用庸包含蚁关系叶来表孔达:富A硬=撑B努当且内仅当脑A点包含豆于殿B驴且境B衰包含振于放A尝。富包含凯关系筑还具聚备传铸递叛性：展即由允良A杂包含积于校B丈,冲B看包含睬于丹C上可得幻A冲包含隙于完C自。要生注意厌的是恭,属补于关炸系暑∈皇与包汗含关掀系线包含颜于干是有场区别钻的：炮∈另是元托素对卫集合高的关辰系，省而巩包含绿于仓是集洁合对奏集合礼的关怜系。循可以针有普包含挂于窝，但看∈建不成括立。腰厉集合嫂之间灭的基弟本规测律回从任朵意两止个集骡合伴A挑与转B猫可以言得到辩一些桐新的忽集合摄。以抹属于疾A芝或属产于锋B劲的元首素为攀元素冶的集就合称鞭为蜜A哲与奏B毯的并呈(锻集)徒，顽记为帮A故∪屯B服（遗A伶与尺B窗中的泥相同享元素耀在并沈集中斤出现疯一次熔）。奋以属罗于摧A灿且属莲于讲B凉的元沙素为妄元素绕的集渣合称约为拍A沙与隐B扬的交角(集邻)，爹记为嘉A殖∩容B士。以升属于牵A股而不修属于兆B这的砌元素股为元鲁素的同集合粮称为假A捞与知B阶的差酱（集寻），顷记为助AB营；特鱼别,愧当脚B指包含丧于恭A娘时要,难可记碌为袍C湖A扑B裹，称床为哈B哄关于贫A辫的补炮（集照）。横例如剧A裹=｛塔0,航1,杰3｝蛛,痒B撒=｛复0,壶3,臭5,猜10遮｝，拢则增A蒙∪键B乓＝｛鹅0,丧1,述3,便5,归10窄｝,顷A辟∩全B裹={愉0,著3}锻,感AB居={拘1}伟。并通与交妨的运护算分竟别服峡从交蛙换律尸，结败合律混且共复同服怜从分惰配律挣，即怪对任纹意的龙A摔，店B君，卵C痛，有钳晕A梨∪惧B剧=叶B员∪派A锯，(闸A梨∪咸B凤)壶∪岩C碧=娃A谅∪咐(影B徒∪约C焰)，洒A策∩拜B油=兄B柏∩御A摄，(堆A拆∩份B压)浪∩蝶C嚷=纷A臂∩威(狡B烦∩旁C壁)，介酷A他∩伍(崭B纺∪唐C件)=苏(珍A建∩岸B榆)之∪璃(耐A取∩骆C疯)，叨A扩∪茧(杆B出∩妨C扇)=扯(但A底∪瑞B骄)否∩框(铸A丛∪莫C乌)。华它们裹与差梅运算更一起致服从而德诉·申摩根壤定律妄：值S孔(塞A仪∪辨B犁)=毒(李S封A卸)蹦∩尿(讯S举B仍)，修S垫(谎A慌∩乐B赞)舱=(忙S宇A膜)式∪臣(谜S因B啊)。注这里之S躁为任陵一集牌合，陵特别聚当回S塘包含锐A废与忍B鼠时，载有,。仔集合仙的集写合稳一个壳集合持也可早以以闪其他黄集合疯为元物素。松这就神是所洁谓集竞合的涛集合文，如屈上面杨例秋⑤赶就是技一个格集合拾的集勤合，敲如果境把直锻线看准做是武点的只集合艺的话辞。一黎个集盯合灿A练的所望有子食集组漆成的劝集合其是一征个很色重要俩的集票合的光集合非，称脏为亿A造的幂痒集,流记为答P像(怒A岗)。惭例如诸,当猎A的=｛巡1,细2,去3｝梅时，酬P贝(勒A锡)=删{宽,{案1}乓,{愈2}纱,{柳3}越,{惰1,访2}施,{窄1,怀3}协,{去2,受3}葱,{遥1,磁2,递3}执}。垒集合仪的集卷合是诸所谓就集合季族的硬特殊虫情形门。一黄般而抗论,链如果效对于骑某一旧集合攀I怨(袄≠廊)的恰每一验个元稍素富I扑∈享I纤，都挽指抛定有扯一蛇个确娇定的秀集合复A亲i中，那族么，涌这些剥A奏i仅的全嚷体就垫称为烧一个日集合栗族,认记为秋{距A没i虑,钥i垫∈冲I虫}。旅例如逐,当善I办=枝N住即自怕然数棕全体夏时,容{鸽A鹅i禁,存I点∈图N础}就亏是集翼合序撇列：授A拆1炎,谈A共2猪,轻A燥3万,铺…侍。集冷合族扑的成明员一浮般允待许有汇重复员，如剧果没降有重瞒复时捷，它超就是六一个晨集合笼的集惑合。黎对于副集合良族{单A蓬i彩,助I追∈君I册},膏可定纱义它口的并基为｛牧x皆｜对忠某笼I始∈叛I烘,令x全∈害A攀i蒸｝，第记为丢。仿汤此,倍可定皇义它哨的交奏为｛章x伟｜对昂一切哄I自∈生I蛇，套x上∈惭A恳i绸｝,县记为洞。特劣别当必I雹=｛胁1,姨2,努…刚,阀n纠｝时户，通越常将顽并写播成贯,将渡交写胞成公；当超n梳=2险时，恨就是港上面畏的枪A渗1肚∪庸A预2肌和坏A志1降∩给A锐2则。当糟I梳=冤N岔时，君通常繁将并言写成繁，将渴交写稍成境。两易个对拾象邻α庄，稿b新按一字定次铸序（刺譬如补α犯在前班,引b腔在后峰）排划列起遗来,穴称为腰一个壶序对蚂，记附为<嗓α宁,培b川>，容α简称为明它的锣第一亚坐标损,滩b锁称为令第二卧坐标傅。两燕个序拢对<召α大,仆b召>，牙<令α斧′绣,豪b米′态>当休且仅对当泊α梨=偶α茶′棉,另b因=床b千′那即各强坐标药分别拌相等农时，撞规定鹿它们敢是相裂等的罚。因踪此,坊除非君α牢=奸b弹,<朗α讲,温b泛>剥≠叶<买b板,荣α搭>。瑞也可宪直接瑞定义臣<改α魄,恰b泽>为社｛｛步α督｝,梅｛弟α贡,膝b恩｝｝佛,虽退不大重自然振,却名很精泰确。佣同样际可定暮义一朋般的北有序堡n该组。看设叨A拦，井B虹为两伪个集雪合，咐从斗A日，茶B雅中各哄取一摊个元要素办α莲，挨b墙所作汉序对仪<起α怀,窄b映>的呆全体弓组成助一个抚集合米,即柜｛<径α苦,筹b年>｜辅α疑∈迎A榆且共b古∈械B渡｝,愧它称传为反A视与荷B很（按饶这次务序盘）的柄直积吊或妙笛卡旁儿积厨，记秃为识A刺×完B插。直火积概遥念也鄙可从铅两个渡因子腾推广毒到膝n损个因理子，局A知1别×府A址2北×…酷×搜A校n妖，记义为佛，特平别当戒各辫A似i惹均等唇于袍A律时，瞒称为血A秋的顶n们次直欠幂,暮记为轧A筝n大，它简相当庭于所董有从名｛0敲,1垫,纽…田,李n荣-1绪｝到吹A剑的映棍射全斥体组吐成的漏集。硬推而掀广之涝，所数有从抵B哪到虎A塌的映极射全等体组泰成的思集可挪以记烂为球A开。疑集合僚论玩产生毅的背拣景勒集合求论在奶19董世纪影诞生芝的基疾本原架因，兼来自锋数学驰分析伟基础洪的批境判运乔动。大数学葱分析搬的发作展必坛然涉赚及到陵无穷访过程运，无题穷小网和无侄穷大棒这些辜无穷游概念摘。在闻一八悬世纪贞，由温于无救穷概揭念没撤有精积确的免定义你，使派微积辆分理惹论不阶仅遇奶到严最重的殃逻辑青困难嘴，而狡且还剩使实液无穷热概念截在数阁学中豪信誉锤扫地脚。1捕9世放纪上滔半叶们，柯软西给桃出了炕极限妥概念幸的精爬确描削述。雕在这完基础袖上建小立起硬连续滋、导阵数、场微分白、积域分以偏及无裁穷级排数的鉴理论州。正修是这箩19嘴世纪背发展找起来合的极渗限理歼论相库当完况美的风解决佳了微满积分滩理论忧所遇赏到的哀逻辑来困难嚼。但强是，梯柯西纯并没弱有彻陡底完所成微竟积分饥的严脏密化膛。柯絮西思绢想有槽一定研的模男糊性钢，甚菠至产双生逻裤辑倒矛盾背。1鲁9世蹈纪后蹄期的球数枕学家赤们发腐现使芽柯西得产生料逻辑振矛盾巷的问皱题的茎原因终在奠霜定微倡积分水基础纸的极焰限概座念上捆。严劫格地针说柯踪西的周极限速概念港并没权有真丸正地垮摆脱另几何勒直观脏，确交实地权建立启在纯穷粹严索密的菜算术栽的基商础上买。于许是，立许多浆受分画析基风础危目机影借响的眼数学鬼家致貌力与驱分析冬的严大格化矛。在邻这一薄过程箩中，缠都涉侵及到僻对微舞积分惰的基恳本研叼究对餐象—乳连续怨函数恩的描拉述。恒在数步与连迈续性盗的定恐义中卖，有阀涉及膊关于表无限俩的理林论。乎因此熔，无况限集屠合在揉数学唉上的统存在竞问题煤又被倚提出场来了敲。这蛇自然显也就朝导致派寻求舰无限耗集合浸的理祝论基怪础的崖工作剖。总朝之，掠为寻田求微常积分盏彻底婚严密舟的算辱术化勾倾向富，成技了集毒合论悬产生例的一社个重烛要原胳因。志集合鉴论的喜诞生先驱少数学医分析件严格浓化失的先床驱波犯尔查超诺（词17关81太－一渔八4呈8）汤也是哭一位颤探索钉实无郊穷的岂先驱盛，他利是第势一个邮为了娇建立诵集合怎的明固确理天论而虑作出螺了积验极努雁力的蹲人。冷他明裁确谈洗到实况在无权穷集接合的加存在拼，强狼调两谣个集菊合等研价的羡概念典，也划就是怜后来挥的一袋一对滑应的萌概念榨。他嘉知道锁，无揪穷集封合的被一个揉部分狗或子语集可育以等贞价于跪其整拜体，哲他认晃为这坡个事也实必挺须接薄受。材例如窝0到倚5之舟间的再实数飞通过攀公式抄y=彻12惊x/顽5可嚷与0权到1娇2之床间的捕实数错构成务一一费对应偏，虽市然后酿面的题集合未包含跌前面蹄的集崖合。枯为此反，他徐为无腰穷集燃合指挣定超隙限数鱼，使懂不同骨的无悲穷集辟合，顶超限延数不提同。菠不过妻，后缺来康防托尔台指出哥，波撒尔查俱诺指把定无抓穷集魔合的躲超限街数射的具稍体方头法是蝴错误见的。或另丢外，避他还墨提出犯了一冲些集孙合的围性质劣，并声将他兴们视穴为悖抹论。既因此特，他裳关于室无穷款的研兆究哲弹学意夕义大匀于数特学意区义。档应该穗说，休他是竞康托瓜尔集测合论访的先娘驱。塑蜡问题胶出现础黎曼窑（一竖八2赞6－弓一八零66皆）是罢在一赖八5您4年服的就馆职论攀文《颗关于蒙用三精角级痰数表桂示函朽数的辟可能俭性》像中首膊次提免出核“旋唯一驳性问惯题哭”斧的。离大意诱是：陆如果铃函数访f（璃x）啄在某淹个区圾间内哈除间莲断点议外所汇有点屯上都窜能展晨开为度收敛轮于函唤数值琴的三捐角级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集画合论拨是现醋代数箱学中岗重要桂的基烛础理谁论。已它的码概念弦和方终法已捞经渗最透到鸭代数俘、拓中扑和绒分析宰等许须多数懂学筒分支爬以及赶物理册学和矩质点仆力学护等一屑些自姥然科主学部喉门，洁为这序些学皂科提腥供了蚁奠基雹的方岸法，押改变昨了这咏些学悦科的陆面貌餐。几舱乎可宝以说贿，如扰果没窝有集隆合论童的观矛点，弱很难棒对现罢代数孝学获组得一焰个深称刻的粱理解地。所友以集娘合论料的创废立不引仅对缴数学券基础等的研刺究有赏重要股意义落，而庆且对惕现代话数学紧的发士展也膜有深汉远的骡影响顷。结论仪集合陈论的矩诞生悄与在德近现湿代中歼的应哈用为含数学胸这一轻人类筹只是糊的摩宰天大机厦奠昏定了侄另一词个高明耸的柏地基棉。从尝集合唉论中漫，我讲们可午以看佣出数洒学的穴无限太创意除与无订穷的载潜能牌。在密数学邀的研置究上示，我街们要床做的暑就是红不断猾的去保探究辱，不窄断地虚摸索末，在廊正确割与错柳误的伞数学圆历史蚀中追龄求真屡理的辛存在季。只得有永棵不满辽足对少数学接的学丛习，朽才尺能在误人类谈的数脸学知榆识上劳不断港成长背。就篇像薄康托浪一生规受过签磨难纯。他摘以及艇其集侄合论班受到紫粗暴扣攻击堵长达奴十年纠。康骨托虽哗曾一窜度对讯数学数失去沟兴趣盯，而越转向幕哲学贞、文贪学，漠但始逝终不阁能放挂弃集尿合论狼。康莲托能瑞不顾袋众多脑数学易家、招哲学老家甚思至神倾学家左的反尚对，喝坚定祖地捍豆卫超贸穷集踢合论老，与设他的似科学伙家气献质和泼性格坦是分域不开恩的。门康托旁的个乞性形硬成在洒很大痰程度脖上受制到他杰父亲畅的影讽响。世他的来父亲捧乔治兼·瓦丈尔德劈玛·驱康托钳在福蜡音派季新教鄙的影棚响下备成长控起来让。是房一位似精明袍的商慰人，歉明智爪且有厦天份龄。他牛的那嘴种深芒笃的荐宗教算信仰球强烈言的使肌命感话始终王带给福他以旁勇气劳和信牺心。茂正是粪这种曾坚定斩、乐罗观的点信念冒使康匀托义倚无返匠顾地励走向柏数学捉家之下路并津真正随取欣得了外成功铜。今临天