《带电粒子在电场、磁场中的运动》计算题专题

.不断地由静止进入电压U=800V的加速电场．经加速后,沿x轴正方向从坐标原点O射入磁场区域,粒子重力不计。〔1求粒子在磁场中做圆周运动的半径、速度偏离原来方向的夹角的正切值。〔2以过坐标原点O并垂直于纸面的直线为轴,将该圆形磁场逆时针缓慢旋转90°,求在此过程中打在荧光屏MN上的粒子到A点的最远距离。[解析]〔1带电粒子在电场中加速,由动能定理得进入磁场后做圆周运动,洛伦兹力提供向心力联立解得设速度偏离原来方向的夹角为θ,由几何关系得故速度偏离原来方向的夹角正切值〔2以O点为圆心,OA为半径做圆弧AC交y轴于C点；以C点为圆心,CO为半径作出粒子运动的轨迹交弧AC于D点。粒子在磁场中运动的最大圆弧弦长OD＝2r＝0．4m由几何关系可知最远距离代入数据可得4．如图,质量m=1×10﹣3kg、带电量q=1×10﹣2C的带电粒子从竖直放置的两电容器极板AB之间贴着A极板以速度vx=4m/s平行极板飞入两极板间,恰从极板B上边缘O点飞出,已知极板长L=0.4m,极板间距d=0.15m．电容器极板上方有宽度为x=0.3m的区域被平均分为区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ,其中Ⅰ、Ⅲ有匀强磁场,它们的磁感强度大小相等,均垂直纸面且方向相反,O为DC边中点,P为DC边中垂线上一点,带电粒子从O点离开电场,之后进入磁场,运动轨迹刚好与区域Ⅲ的右边界相切,不计粒子的重力．求：〔1该电容器极板AB所加电压U大小；〔2匀强磁场的磁感应强度大小B；〔3若现在Ⅰ、Ⅲ区域所加磁感应强度大小B′=2T,粒子射入O点后经过3次偏转打到P点,则OP的距离为多少？[解析]〔1在AB极板间类平抛,L=vxt代入数据有：U=0.45V〔2设粒子出极板后速度大小为v,与水平夹角α所以：进入右边磁场恰与右边界相切,设在磁场中圆运动半径为r故有：解得：r=0.5对粒子：所以：代入数据得：B=1T〔3当B′=2T时,粒子射入O点后经过3次偏转打到P点故有：OP==1.3m5．科研人员利用电场和磁场控制带电粒子的运动,从而来进行粒子分选,其原理如图所示：真空环境中,由a、b、c、d四个平行界面分隔出的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域,宽度均为。让包含两种不同的带正电粒子组成的粒子束,从界面a上的P点以速度垂直界面射入区域Ⅰ,两种粒子带电量均为,质量分别为和。若在区域Ⅰ和Ⅲ分别加上垂直纸面、方向相反、磁感应强度大小均为的匀强磁场,粒子能分成两束从界面d出射；若在区域Ⅰ和Ⅲ分别加上与界面平行、方向相反的匀强电场,粒子也能分成两束从界面d出射。不计粒子重力。〔1求加磁场时两种粒子在界面d上出射点之间的距离〔2若加电场时两种粒子在界面d上出射点之间的距离与加磁场时相等,求电场强度的大小粒子1在区域I中的偏移量粒子1在区域II中的偏移量粒子1在区域III中的偏移量所以粒子1的总偏移量粒子2在区域I中的偏移量粒子2在区域II中的偏移量粒子2在区域III中的偏移量所以粒子2的总偏移量二者的出射点之间的距离〔2当在区域I、III加如图所示的反向电场时,两种粒子的轨迹如图,两种粒子在区域I中均作类平抛,但偏移量不同,在区域II中均作斜向的匀速直线运动,进入区域III做反类平抛运动,然后均垂直边界d出射。粒子1在区域I中：粒子1在区域II中有：〔或者粒子1在区域III中有：粒子1的总偏移量有：同理,粒子2的总偏移量有：二者的出射点之间的距离解得：6．[2016·XX卷]如图所示,图面内有竖直线DD＇,过DD＇且垂直于图面的平面将空间分成I、II两区域。区域I有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直图面的匀强磁场B〔图中未画出；区域II有固定在水平面上高、倾角的光滑绝缘斜面,斜面顶端与直线DD＇距离,区域II可加竖直方向的大小不同的匀强电场〔图中未画出；C点在DD＇上,距地面高。零时刻,质量为m、带电量为q的小球P在K点具有大小、方向与水平面夹角的速度。在区域I内做半径的匀速圆周运动,经C点水平进入区域II。某时刻,不带电的绝缘小球A由斜面顶端静止释放,在某处与刚运动到斜面的小球P相遇。小球视为质点,不计空气阻力及小球P所带电量对空间电磁场的影响。l已知,g为重力加速度。〔1求匀强磁场的磁感应强度B的大小；〔2若小球A、P在斜面底端相遇,求释放小球A的时刻tA；〔3若小球A、P在时刻〔β为常数相遇于斜面某处,求此情况下区域II的匀强电场的场强E,并讨论场强E的极大值和极小值及相应的方向。小球A释放后沿斜面运动加速度为aA,与小球P在时刻t1相遇于斜面底端,有⑤⑥联立以上方程可得⑦〔3设所求电场方向向下,在t'A时刻释放小球A,小球P在区域Ⅱ运动加速度为aP,有⑧⑨⑩联立相关方程解得对小球P的所有运动情形讨论可得由此可得场强极小值为；场强极大值为,方向竖直向上。7．[2015·XX]如图所示,直径分别为D和2D的同心圆处于同一竖直面内,O为圆心,GH为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域〔Ⅰ区和小圆内部〔Ⅱ区均存在垂直圆面向里的匀强磁场。间距为d的两平行金属极板间有一匀强电场,上极板开有一小孔。一质量为m,电量为+q的粒子由小孔下方d/2处静止释放,加速后粒子以竖直向上的速度v射出电场,由点紧靠大圆内侧射入磁场。不计粒子的重力。〔1求极板间电场强度的大小；〔2若粒子运动轨迹与小圆相切,求区磁感应强度的大小；〔3若Ⅰ区,Ⅱ区磁感应强度的大小分别为2mv/qD,4mv/qD,粒子运动一段时间后再次经过H点,求这段时间粒子运动的路程。[解析]〔1粒子在电场中,根据动能定理：,解得〔3若Ⅰ区域的磁感应强度为,则粒子运动的半径为；Ⅱ区域的磁感应强度为,则粒子运动的半径为；设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的周期分别为T1、T2,由运动公式可得：；据题意分析,粒子两次与大圆相切的时间间隔内,运动轨迹如图所示,根据对称性可知,Ⅰ区两段圆弧所对的圆心角相同,设为,Ⅱ区内圆弧所对圆心角为,圆弧和大圆的两个切点与圆心O连线间的夹角设为,由几何关系可得：；；粒子重复上述交替运动回到H点,轨迹如图所示,设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的时间分别为t1、t2,可得：；设粒子运动的路程为s,由运动公式可知：s=v<t1+t2联立上述各式可得：s=5.5πD8．[2015·天津]现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。在真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场,电场和磁场的宽度均为d。电场强度为E,方向水平向右；磁感应强度为B,方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直,一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放,粒子始终在电场、磁场中运动,不计粒子重力及运动时的电磁辐射。〔1求粒子在第2层磁场中运动时速度的大小与轨迹半径〔2粒子从第n层磁场右侧边界穿出时,速度的方向与水平方向的夹角为θn,试求sinθn〔3若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出,试问在其他条件不变的情况下,也进入第n层磁场,但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界,请简要推理说明之。[解析]〔1粒子在进入第2层磁场时,经两次电场加速,中间穿过磁场时洛伦兹力不做功,由动能定理,有：解得：粒子在第2层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力,有：联立解得：由图根据几何关系可以得到：联立可得：由此可看出,,…,为一等差数列,公差为d,可得：当n=1时,由下图可看出：联立可解得：9．"太空粒子探测器"是由加速装置、偏转装置和收集装置三部分组成的,其原理可简化如下：如图所示,辐射状的加速电场区域边界为两个同心圆,圆心为O,外圆的半径R1=2m,电势φ1=50V,内圆的半径R2=1m,电势φ2=0,内圆内有磁感应强度大小B=5×10-3T、方向垂直纸面向里的匀强磁场,收集薄板<1>求粒子刚到达内圆时速度的大小；<2>以收集薄板MN所在的直线为x轴建立如图的平面直角坐标系．分析外圆哪些位置的粒子将在电场和磁场中做周期性运动．指出该位置并求出这些粒子运动一个周期内在磁场中所用时间．因为r=R2,所以由几何关系可知,从收集板左端贴着收集板上表面进入磁场的粒子在磁场中运动14圆周后,射出磁场,进入电场,在电场中先减速后反向加速,并返回磁场,如此反复的周期运动。其运动轨迹如图所示。则在磁场中运动的时间为TT=2πr粒子进入电场的四个位置坐标分别为〔0,2m,〔2m,0,〔0,-2m,〔-2m,010．图所为人转核应探仪装有α粒源、子速、反区和个αv3×107U＝71V速电从场射与静在区A点核发核反应,两个反应产物经垂直边界飞入探测区,探测区有一圆形磁场和粒子探测器,圆形磁场半径为R=15EFα粒子可铍发核应实中测上个〔P点和Q续到撞P在直上,且P在Q点粒全被收已知子中的量为m=1.6×10–27kg原核质为的总量,如α子电为e=1.6×10-19计子间互作核反应过除求QQ[解析]〔1根据动能定理可得：〔1分则m/s〔2分〔2由于打在P点的粒子在磁场中不偏转,故此粒子不带电,因此打在Q点的粒子为6e,因此为,核反应方程为,打在P点为中子1分对于碳核,在磁场中偏转,由几何关系得：,则,m〔1分由得〔1分〔3根据动量守恒可得：,得〔1分P点,对于吸收的中子,由动量定理得：N,方向向上〔1分对于穿透的中子,由动量定理得N,方向向上1分Q点,对于吸收的C粒子由动量定理得：N方向斜向上,与板成300〔1分因此探测器受到竖直方向的合力为：N,竖直向上探测器受到水平方向的合力为：,竖直向上〔1分因此探测器上单位时间受到的撞击力为：〔写出x,y分量也可11．位于竖直平面内的粒子探测器装置如图所示．C、G两点位于x轴上,A、D两点位于y轴上,∠ACO=30°,AO的长度为d,△AOC区域内有垂直纸面的匀强磁场〔图中未画出,矩形ODFG区域内有与y轴平行的匀强电场〔图中未画出,其电场强度的大小及方向均可调节,已知DF的长度为2d,FG的长度为d,在匀强电场右侧有一长度为d的粒子接收器,它与y轴平行放置,与FG的距离为d,且上边缘恰好在DF的延长线上．一质量为m,电荷量为q的带正电的粒子以速度v垂直x轴射入磁场,且离开磁场时速度与y轴垂直,其运动轨迹与AC边相切,不计粒子重力．〔1判断△AOC区域内的磁场方向并求出磁感应强度的大小B；〔2若粒子最终打在接收器的上边缘,求粒子从射入磁场到打在接收器上所用的时间,并求出在这种情况下矩形ODFG区域内电场强度的大小E0；〔3若粒子刚进入电场时,将电场强度大小调节为E,方向沿y轴正方向,当粒子的横坐标为d时,电场强度突然反向,大小变为原来的一半,要使粒子打在接收器上,求电场强度E的大小范围．[解析]〔1带正电的粒子以速度v垂直x轴射入磁场,且离开磁场时速度与y轴垂直,其运动轨迹与AC边相切,因为∠ACO=30°,AO的长度为d,所以,,,由图可知,粒子进入磁场时,洛伦兹力作为向心力,方向水平向右；由带正电的粒子速度方向竖直向上,根据左手定则,可知磁场方向为垂直纸面向外；因为洛伦兹力作为向心力,所以,所以,；〔2由〔1可知,粒子在磁场中运动时间；然后粒子在电场中做类平抛运动；因为粒子最终打在接收器的上边缘,所以电场力竖直向上,在电场中粒子运动时间；在电场中,粒子受到的电场力F=qE0,所以,加速度,粒子离开磁场时,水平速度vx=v,,y轴坐标；粒子离开磁场做匀速直线运动打在接收器的上边缘,因为粒子接收器,它与y轴平行放置,与FG的距离为d,所以,粒子在这段路程运动的时间,纵向位移；所以粒子从射入磁场到打在接收器上所用的时间；所以,；〔3根据运动的合成分解原理,可知,改变纵向电场的大小和方向时,粒子的水平运动不变,所以,有粒子进入电场时,所在位置为,在0≤x≤d时,粒子受到竖直向上的电场力F1=qE,所以,在x=d时,粒子的竖直速度=,竖直位移；在d≤x≤2d时,粒子受到竖直向下的电场力,所以,在x=2d时,粒子的竖直速度,竖直位移y2=；在2d≤x≤3d时,粒子做匀速直线运动,所以,在x=3d时,竖直位移；要使粒子打在接收器上,则,所以,．12．如图所示,真空室内有一个点状的α粒子放射源P,它向各个方向发射α粒子〔不计重力,速率都相同．ab为P点附近的一条水平直线〔P到直线ab的距离PC=L,Q为直线ab上一点,它与P点相距PQ=52L〔现只研究与放射源P和直线ab同一个平面内的α粒子的运动,当真空室内〔直线ab以上区域只存在垂直该平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场时,水平向左射出的α粒子恰到达Q点；当真空室〔直线ab以上区域只存在平行该平面的匀强电场时,不同方向发射的α粒子若能到达ab直线,则到达ab直线时它们动能都相等,已知水平向左射出的α粒子也恰好到达Q点．〔α粒子的电荷量为+q,质量为m；sin37°=0.6；cos37°=0.8〔1α粒子的发射速率；〔2匀强电场的场强大小和方向；〔3当仅加上述磁场时,能到达直线ab的α粒子所用最长时间和最短时间的比值．[解析]〔1设α粒子做匀速圆周运动的半径R,过O作PQ的垂线交PQ于A点,如图所示,由几何知识可得：PCPQ代入数据可得α粒子轨迹半径：R＝洛仑磁力提供向心力：Bqv＝mv2R〔3真空室只加磁场时,圆弧O1和直线ab相切于D点,α则：sinβ＝L-R最大圆心角：γmax最长时间：t113．如图所示,O'PQ是关于y轴对称的四分之一圆．在PQMN区域有均匀辐向电场,PQ与MN间的电压为U。一初速度为零的带正电的粒子从PQ上的任一位置经电场加速后都会从O'进入半径为R、中心位于坐标原点O的圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直xOy平面向外,大小为B,粒子经磁场偏转后都能平行于x轴射出。在磁场区域右侧有一对平行于x轴且到x轴距离都为R的金属平行板A和K,金属板长均为4R,其中K板接地,A与K两板间加有电压UAK>0,忽略极板电场的边缘效应。已知金属平行板左端连线与磁场圆相切,O'在y轴上。<1>求带电粒子的比荷q/m<2>求带电粒子进入右侧电场时的纵坐标范围；<3>若无论带电粒子从PQ上哪个位置出发都能达到K板上,则电压UAK至少为多大？[解析]〔1由动能定理可知：1分OxyO′MOxyO′MNPQBAKUEO1O2ab1分得：1分〔2沿QN方向入射的带电粒子,在磁场中做圆周运动的圆心为O1,对应的圆心角为135°,离开磁场的出射点a在y轴上的投影与O′的距离为：a点的纵坐标：同理可得,沿PM方向入射的带电粒子离开磁场的出射点b的纵坐标1分带电粒子进入电场时的坐标范围~〔3只要沿QN方向入射的带电粒子打在K板上,则从其它位置入射也一定打在K板上,则在电场中 1分 1分 1分应满足 1分得 1分14．如图所示,圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场B,A为磁场边界上的一点,有大量完全相同的带电粒子平行纸面向各个方向以相同的速度大小v通过A点进入磁场,最后这些粒子从右侧圆弧AC上射出磁场区域〔有粒子从C点射出。AC圆弧的弧长是圆周长的1/3,不计粒子之间的相互作用,粒子的质量为m,电量为q,求：〔1圆形磁场区域的半径R；〔2粒子在磁场中运动轨迹的最大长度；〔3若只把磁场撤去,在圆形区域内加场强大小为E的平行于纸面的匀强电场,从圆弧射出电场的粒子中,C点射出的粒子动最大,求最大动能Ek[解析]〔1当轨道半径小于或等于磁场区半径时,粒子射出圆形磁场的点离入射点最远距离为轨迹直径如图一所示,当粒子从1/3圆周射出磁场时,粒子在磁场中运动的轨道直径为AB粒子都从圆弧AB之间射出,根据几何关系可得轨道半径30°,解得粒子在磁场中做圆周运动解得〔2带电粒子在磁场中运动的半径不变,粒子在磁场中运动的最大实际为图乙轨迹1所对应的轨迹长度最大,故〔3把磁场撤去,加平行于纸面的电场,从A点射入的粒子,从B点离开时动能最大,说明电场线的方向沿半径OB方向,根据动能定理：代入解得：15．如图所示,一足够大的光滑绝缘水平桌面上建一直角坐标系xOy,空间存在垂直桌面向下的匀强磁场。一带电小球A〔可视为质点从坐标原点O以速度v沿着轴正方向向射,沿某一轨迹运动,从〔0,d坐标向左离开第I象限。若球A在第I象限的运动过程中与一个静止、不带电的小球B〔可视为质点发生弹性正碰,碰后两球电量均分,不论球B初始置于何处,球A碰后仍沿原轨迹运动。球A、B的质量之比为3:1,不计两球之间的库仑力。〔1判断带电小球A的电性；〔2若两球碰后恰好在〔-d/2,d/2坐标首次相遇,求球B在第I象限初始位置的坐标；〔3若将球B置于〔d/2,d/2坐标处,球A、B碰后,在球B离开第I象限时撤去磁场,再过时间恢复原磁场,要使得两球此后的运动轨迹没有交点,求Δt的最小值。[解析]〔1球A带正电荷〔2分α图1〔2碰撞前后球A运动半径r=eq\f<d,2>保持不变α图1eq\f<d,2>=eq\f<m1v,qB>=eq\f<m1v1,q/2·B>〔1分碰后球A速度v1=eq\f<1,2>v〔1分弹性正碰,系统动量守恒：m1v=m1v1+m2v2〔1分且eq\f<m1,m2>=eq\f<3,1>得：v2=3v1=eq\f<3,2>v〔1分如图1所示,设两球从碰撞位置运动到〔－eq\f<d,2>,eq\f<d,2>半径所夹圆心角是α,球B比球A多转2π,两球角速度之比1:3,则α+2π=3α〔1分解得α=π,所以球B被碰时在第一象限的位置为〔eq\f<d,2>,eq\f<d,2>〔1分60°SMNd图360°图2vBvA〔3如图2所示,球B离开第一象限时,两球运动轨迹半径所夹圆心角是60°。磁场消失后,各自沿着图中速度方向做匀速直线运动,当磁场恢复后,两球又做匀速圆周运动,且半径相等都是eq\f<d,2>。撤去磁场时,两球运动轨迹的圆心位置均为图3中的M点,恢复磁场,当两球的圆形运动轨迹恰好相切时,△t为最小,此时球A、B的圆心位置分别为N、60°SMNd图360°图2vBvA△t=eq\f<2\r<7>d,7v>〔2分eq16．地球同步卫星在运行若干年的过程中,不可能准确地保持初始的位置和速度,需要及时调整,以保证相对地球的位置长期不变。在同步卫星上安装离子推进器,就可以达到上述目标。离子推进器简化的原理示意图如图所示。推进剂在P处进入,在S处电离为一价正离子,后进入电场区加速〔加速电压为U,形成正离子束。在出口处,灯丝C发射的电子注入正离子束中。这种高速粒子流喷射出去,可推动卫星运动。〔1通常用铯做为推进剂,已知铯离子荷质比为q/m约为7.5×105C•kg-1,加速电压U=2.4kV,求铅离子通过电场区后的速度大小；〔以离子发动机为参考系〔2若离子发动机每秒喷射出N=1015个铯离子质量m=2.2×10-22kg,试求推进器获得的平均推力大小；〔3试解释灯丝C发射电子注入正离子束的作用。17．如图所示,虚线MO与水平线PQ相交于O,二者夹角θ=30°,在MO左侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场,MO右侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场,O点处在磁场的边界上,现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v〔0≤v≤垂直于MO从O点射入磁场,所有粒子通过直线MO时,速度方向均平行于PQ向左,不计粒子的重力和粒子间的相互作用力,求：〔1速度最大的粒子自O开始射入磁场至返回水平线POQ所用的时间；〔2磁场区域的最小面积．[解析]〔1粒子的运动轨迹如图所示,设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R,周期为T,粒子在匀强磁场中运动时间为t1则即：①②③设粒子自N点水平飞出磁场,出磁场后应做匀速运动至OM,设匀速运动的距离为s,匀速运动的时间为t2,由几何关系知：S=Rcotθ④⑤过MO后粒子做类平抛运动,设运动的时间为,则：⑥又由题知：⑦则速度最大的粒子自O进入磁场至重回水平线POQ所用的时间⑧解①②③④⑤⑥⑦⑧得：〔2由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM,则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上,故磁场范围的最小面积是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积。扇形的面积⑨的面积为：⑩又联立①⑦⑨⑩得：或18．如图所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图。在Oxy平面的ABCD区域内,存在两个大小均为E的匀强电场I和II,两电场的边界均是边长为L的正方形〔不计粒子所受重力。〔1在该区域AB边的中点处由静止释放电子,求电子离开ABCD区域的位置；〔2在电场I区域内适当位置由静止释放电子,电子恰能从ABCD区域左下角D处离开,求所有释放点的位置；〔3若将左侧电场II整体水平向右