2022年湖南省衡阳市耒阳市冠湘中学高三数学理期末试题含解析

2022年湖南省衡阳市耒阳市冠湘中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=ax?g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为(

) A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：A考点：简单复合函数的导数；数列的函数特性．专题：计算题；压轴题．分析：由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得单调递增，从而可得a＞1，结合，可求a．利用等比数列的求和公式可求，从而可求解答： 解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴，从而可得单调递增，从而可得a＞1，∵，∴a=2．故=2+22+…+2n=．∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*．∴n=6．故选：A．点评：本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性，等比数列的求和公式的求解，解题的关键是根据已知构造函数单调递增．2.如图，已知点，正方形内接于圆：，、分别为边、的中点.当正方形绕圆心旋转时，的取值范围为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】向量数量积的坐标运算.

F2

F3【答案解析】C

解析：因为,所以设则即所以，所以==.故选C.【思路点拨】根据已知条件知，OM与ON互相垂直，且M、N都在以原点为圆心为半径的圆上，故可设则即所以，所以==.3.在等比数列中，若且，则的值为（

）（A）2

（B）4

（C）6

（D）8参考答案：

4.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A.① B.② C.①② D.①②③参考答案：C【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由得,,,所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过.结论②正确.如图所示,易知,四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程?曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识?基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.5.设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（

）

A．

B.

C.

D.参考答案：D6.若α∈（，π），则3cos2α=cos（+α），则sin2α的值为（）A． B．﹣ C．D．﹣参考答案：D【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦．【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式化简可得3（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=（cosα﹣sinα），由范围α∈（，π），可得：cosα﹣sinα≠0，从而可求cosα+sinα=，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵3cos2α=cos（+α），∴3（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=（cosα﹣sinα），∵α∈（，π），可得：cosα﹣sinα≠0，∴cosα+sinα=，∴两边平方可得：1+sin2α=，解得：sin2α=﹣．故选：D．7.已知是等差数列，且公差，为其前项和，且，则(

)A.0 B.1 C.13 D.26参考答案：A是等差数列，，得，所以，故选A．8.已知函数，则不等式的解集为（

）A.

B

C.

D.参考答案：C

9.设函数对任意的实数x、y，有上

（

）

A．有最大值

最小值

B．有最小值

最大值

C．有最大值，最小值

D．有最小值，最大值

参考答案：答案:A10.已知A、B为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左右顶点，F1，F2为其左右焦点，双曲线的渐近线上一点P（x0，y0）（x0＜0，y0＞0），满足=0，且∠PBF1=45°，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可得PF1⊥PF2，|PO|=|F1F2|=c，求出双曲线的一条渐近线方程，可得x0，y0的方程，解方程可得P的坐标，解直角三角形PAB，可得b=2a，求出a，c的关系，运用离心率公式即可得到所求值．【解答】解：F1，F2为其左右焦点，满足=0，可得PF1⊥PF2，|PO|=|F1F2|=c，由双曲线的渐近线方程y=﹣x，即有x02+y02=c2，bx0+ay0=0，解得P（﹣a，b），则PA⊥AB，又∠PBF1=45°，则|PA|=|AB|，即有b=2a，可得c==a，则e==．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数的图象上存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是

．参考答案：12.已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积

．参考答案：考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：求出三棱锥P﹣ABC的高为=，利用三棱锥P﹣ABC的外接球与内切球的半径的比为3：1，可得三棱锥P﹣ABC的内切球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积．解答： 解：∵三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，∴底面外接圆的半径为，∴三棱锥P﹣ABC的高为=，∵三棱锥P﹣ABC的外接球与内切球的半径的比为3：1，∴三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为，∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为4π×=．故答案为：．点评：本题考查三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P﹣ABC的内切球的半径是关键．13.设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1﹣i，则|z|=．参考答案：1【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=（1﹣i），∴z（1+i）（1﹣i）=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，z=﹣i．则复数z的模|z|=1．故答案为：1．14.已知的定义域为(-2，2)，则的定义域为

；参考答案：因为函数的定义域为，即，所以.由得，，即的定义域为.15.已知函数.关于x的方程有解，则实数的取值范围是

_____

参考答案：16.已知实数a，b满足等式()a＝()b，则下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式为______________．参考答案：③④略17.

下列五个命题：

①分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线②函数是奇函数③直线是函数的图象的一条对称轴④若，则的最大值为⑤函数的最小正周期为其中不正确的命题的序号是______________（把你认为不正确的命题序号全填上）参考答案：答案：①④⑤三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列的前n项和为，且满足.(1)求及；(2)若，求的前2n项的和.参考答案：（1）由得，，即，所以.

（2分）又，所以以2为首项，2为公差的等差数列.所以，故.

（4分）所以当时，，所以.

（5分）（2）由（1）知，所以，

（9分），所以.

（12分）19.左、右焦点分别为F1、F2的椭圆C：（a＞b＞0）经过点Q（0，），P为椭圆上一点，△PF1F2的重心为G，内心为I，IG∥F1F2．（1）求椭圆C的方程；（2）M为直线x﹣y=4上一点，过点M作椭圆C的两条切线MA、MB，A、B为切点，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由过点Q，则b=，求得，△PF1F2的重心为G点坐标，由IG∥F1F2，|y0|=3r，根据三角形的面积公式可知a=2c，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）利用椭圆的切线发浓缩，求得直线AB的方程，由点M为直线x﹣y=4上，代入整理即可求得定点坐标．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，且过点，∴…设△PF1F2内切圆的半径为r，点P的坐标为（x0，y0），则△PF1F2重心G的坐标为，∵IG∥F1F2，∴|y0|=3r．…由△PF1F2面积可得）r=，即a=2c，，…则解得，即所求的椭圆方程为则椭圆方程为…（2）设M（x1，y1），A（x2，y2），B（x3，y3）则切线MA，MB的方程分别为，．…∵点M在两条切线上，∴，，故直线AB的方程为．…又∵点M为直线x﹣y=4上，∴y1=x1﹣4即直线AB的方程可化为，整理得（3x+4y）x1=16y+12，由解得，因此，直线AB过定点．…20.（12分）一工厂生产甲，乙，丙三种样式的杯子，每种样式均有500ml和700ml两种型号，某天的产量如右表（单位：个）：按样式分层抽样的方法在这个月生产的杯子中抽取100个，其中有甲样式杯子25个．型号甲样式乙样式丙样式500ml2000z3000700ml300045005000（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个500mL杯子的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；用样本的频率分布估计总体分布．【分析】（1）根据分层抽样的规则计算出总体容量，即可算得z值．（2）算出两种杯子在样本中的数量，用列举法列举出所有的基本事件及事件所包含的基本事件数，由公式求出概率即可．【解答】解：（1）．设该厂本月生产的乙样式的杯子为n个，在丙样式的杯子中抽取x个，由题意得，，所以x=40．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）则100﹣40﹣25=35，所以，，n=7000，故z=2500﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）设所抽样本中有m个500ml杯子，因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，所以，解得m=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）也就是抽取了2个500ml杯子，3个700ml杯子，分别记作S1，S2；B1，B2，B3，则从中任取2个的所有基本事件为（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3）（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（（S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个，其中至少有1个500ml杯子的基本事件有7个基本事件：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3）（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（（S1，S2），所以从中任取2个，至少有1个500ml杯子的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解题的重点是列举出基本事件的个数及事件包含的基本事件数，列举时要做到不重不漏．21.已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值．参考答案：（Ⅰ）由得，即曲线的直角坐标方程为……2分根据题意得，因此