2022-2023学年安徽省池州市马衙高级职业中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年安徽省池州市马衙高级职业中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若是角终边上的一点，且，则的值为(

)A．

B．

C．或

D．或参考答案：A略2.已知复数，则的共轭复数是

（

）A. B.

C.

D.参考答案：A略3.已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0） B．（0，2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，﹣1）参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】求解对数型函数的定义域化简集合A，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由x+1＞0，得x＞﹣1∴A=（﹣1，+∞），B={x||x|＜2}=（﹣2，2）∴A∩B=（﹣1，2）．故选：C【点评】本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，是基础题．4.给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量。其中正确的个数是（）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D5.已知均为单位向量，那么是的（）Ａ.充分不必要条件

Ｂ.必要不充分条件Ｃ.充分必要条件

Ｄ.既不充分又不必要条件参考答案：B6.执行如图所示的程序框图若输出的n=9，则输入的整数p的最小值是（）A．50 B．77 C．78 D．306参考答案：C【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出输入的P的最小值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，S=0，输入P，S=0+2=2，n=2，S≤P，S=2+22=6，n=3，S≤P，S=﹣6+23=2，n=4，S≤P，S=2+24=18，n=5，S≤P，S=﹣18+25=14，n=6，S≤P，S=14+26=78，n=7，S≤P，S=﹣78+27=50，n=8，S≤P，S=50+28=306，n=9，S＞P，终止循环，输出n=9；所以P的最小值为78．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题目．7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2015＞0，S2016＜0，若对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2015＞0，S2016＜0，利用求和公式可得：=2015a1008＞0，=1008（a1008+a1009）＜0，可得a1008＞0，a1009＜0，即可得出．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2015＞0，S2016＜0，∴=2015a1008＞0，=1008（a1008+a1009）＜0，∴a1008＞0，a1009＜0，∵对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k=1008．故选：C．8.（01全国卷）若定义在区间（-1，0）内的函数的取值范围是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：A7.命题：函数是幂函数，则函数的图象不经过第四象限．那么命题的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是（）A.2

B．3

C．1

D．0参考答案：10.已知△ABC的三边长a，b，c成递减的等差数列，若B=，则cosA﹣cosC=（）A．

B．

C．D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值；余弦定理．【分析】三边a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=，设cosA﹣cosC=m，平方相加即可得出．【解答】解：∵三边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，∴sinA+sinC=2sin=，设cosA﹣cosC=m，则平方相加可得：2﹣2cos（A+C）=2+m2，∴m2=2cosB=，解得m=±．∵a，b，c成递减的等差数列，∴m=﹣．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

有以下几个命题：①由的图象向右平移个单位长度可以得到的图象；②若，则使取得最大值和最小值的最优解都有无数多个；③若为一平面内两非零向量，则是的充要条件；④过空间上任意一点有且只有一个平面与两条异面直线都平行。⑤若椭圆的左、右焦点分别为，是该椭圆上的任意一点，则点关于的外角平分线的对称点的轨迹是圆。其中真命题的序号为

.（写出所有真命题的序号）

参考答案：答案：②③⑤12.已知函数f（x）=，若f（f（x0））=3，则x0=．参考答案：或考点：三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：令f（x0）=t，根据函数解析式，分t∈[0，2π]和t∈（﹣∞，0）时，解关于t的方程得到t=﹣，即f（x0）=﹣．由此再分x0∈[0，2π]和x0∈（﹣∞，0）时两种情况加以讨论，解关于x0的方程即可得到实数x0的值．解答：解：令f（x0）=t，则当t∈[0，2π]时，由2sint=3，得sint=＞1，找不出实数t满足方程当t∈（﹣∞，0）时，得t2=3，解之得t=﹣因此可得f（x0）=﹣①当x0∈[0，2π]时，由2sinx0=﹣，得sinx0=﹣解之得x0=或；②当x0∈（﹣∞，0）时，由x02=﹣知找不出实数x0满足方程．综上所述，可得x0=或；故答案为：或点评：本题给出分段函数，求方程f（f（x0））=3的解，着重考查了分段函数的含义和三角函数的化简与求值等知识，属于基础题．13.（5分）（2015?南昌校级模拟）函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min{a，b}=，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1?x2?x3最大值为．参考答案：1【考点】：函数的零点与方程根的关系．【专题】：综合题；函数的性质及应用．【分析】：由f（x）表达式作出函数f（x）的图象，由图象可求得符合条件的m的取值范围，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，通过解方程可用m把x1，x2，x3分别表示出来，利用基本不等式即可求得x1?x2?x3的最大值．解：作出函数f（x）的图象如图所示：由，解得A（4﹣2，2﹣2），由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2．不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，且2﹣m＞0，m+2＞0，∴x1?x2?x3=?（2﹣m）?（2+m）=?m2?（4﹣m2）≤==1，当且仅当m2=4﹣m2．即m=时取得等号，∴x1?x2?x3存在最大值为1．故答案为：1．【点评】：本题考查函数与方程的综合运用，考查基本不等式在求函数最值中的应用，考查数形结合思想，考查学生综合运用知识分析解决新问题的能力，难度较大．14.某校共有学生1000名，其中高一年级有380名，高二年级有男生180名，已知在全校学生中抽取1名，抽到高二年级女生的概率为0.19，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100名，则应在高三年级抽取的人数为______________．参考答案：2515.设二次函数（为常数）的导函数为．对任意，不等式恒成立，则的最大值为________．参考答案：【知识点】二次函数的性质B5解析：∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，故△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac﹣4a2，∴4ac﹣4a2＞0，∴c＞a＞0，∴，故≤===≤=2﹣2，故答案为：2﹣2【思路点拨】由已知可得ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，即△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，进而利用基本不等式可得的最大值．16.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是

.参考答案：记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是.17.已知圆C的圆心为C（1，1），且经过直线x+y=4上的点P，则周长最小的圆C的方程是

．参考答案：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2

【考点】直线与圆的位置关系．【分析】当半径r等于圆心C到直线x+y=4的距离时，圆C的周长最小，由此能求出周长最小的圆C的方程．【解答】解：∵圆C的圆心为C（1，1），且经过直线x+y=4上的点P，∴当半径r等于圆心C到直线x+y=4的距离时，圆C的周长最小，此时r=d==，∴周长最小的圆C的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝｜2x－a｜＋a．

（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x｜－2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m－f（－n）成立，求实数m的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）由得，∴，即，∴，∴。┈┈┈┈┈4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

19.

已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用a表示b，并求b的最大值；（II）求证：f(x)≥g(x)(x>0)．

参考答案：解析(1)设y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，依题意得，即由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．即有b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna.令h(t)＝t2－3t2lnt(t>0)，则h′(t)＝2t(1－3lnt)，由h′(t)＝0得t＝e或t＝0(舍去)．列表如下：t(0，e)e(e，＋∞)h′(t)＋0－h(t)极大值于是函数h(t)在(0，＋∞)上的最大值为h(e)＝e，即b的最大值为e.(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2lnx－b(x>0)，则F′(x)＝x＋2a－＝(x>0)，由F′(x)＝0得x＝a或x＝－3a(舍去)．列表如下：x(0，a)a(a，＋∞)F′(x)－0＋F(x)极小值于是函数F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x>0时，f(x)≥g(x)20.（本题12分）设均为正实数（1）若，求的最小值（2）求证：++++[]参考答案：（1）；（2）见解析.【知识点】基本不等式的证明柯西不等式E7解析：（1）方法一：又，当且仅当时，；方法二：由柯西不等式得：.（2）故【思路点拨】方法一：将左右平方，再结合不等式即可，注意不等式成立的条件；方法二：利用柯西不等式求得；2问利用综合法证明，结合不等式即能证明.21.已知向量（1）若∥，且，求x的值；（2）设函数且，求f(x)的单调递增区间.参考答案：（1）且

…………2分