2022-2023学年湖南省衡阳市渔池中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年湖南省衡阳市渔池中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等比数列中，则．3

．

．3或

．或参考答案：C2.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（

）A．若则

B．若，，则C．若，，则

D．若，，则参考答案：B3.以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是(

) A．x2+y2﹣10x+9=0 B．x2+y2﹣10x+16=0 C．x2+y2+10x+16=0 D．x2+y2+20x+9=0参考答案：A考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：求出双曲线的右焦点得到圆心，在求出圆心到其渐近线的距离得到圆的半径，从而得到圆的方程．解答： 解：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为，即4x﹣3y=0，，圆方程为（x﹣5）2+y2=16，即x2+y2﹣10x+9=0，故选A．点评：本题考查双曲线的焦点坐标和其渐近线方程以及圆的基础知识，在解题过程要注意相关知识的灵活运用．4.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：D5.设全集，集合，，则=（） A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件参考答案：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的解法以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由a2＞a得a＞1或a＜0，则“a2＞a”是“a＞1”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．7.函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞） B．[﹣3，+∞） C．（﹣3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】依题意，由f′（1）≥0即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=x3+ax﹣2，∴f′（x）=3x2+a，∵函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，∴f′（1）=3+a≥0，∴a≥﹣3．故选B．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，求得f′（1）=3+a≥0是关键，属于中档题．8.展开式中，中间项的系数为70。若实数满足，则的最小值是（

）A．

B．

C．5

D．1参考答案：A展开后共有9项，中间项为，系数=70，因为，所以。因此实数满足，画出可行域如图所示。显然当目标函数过点A（1，－1），故选择A。9..甲：函数是R上的单调递增函数

乙：，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略10.若实数满足的最小值为（

）A.0

B.1

C.2

D.3

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△OAB中，点C满足，则y－x＝________。参考答案：12.已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，若，则的取值范围为

．参考答案：或

13.已知的值为．参考答案：﹣【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用两角差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值．【解答】解：∵已知=tan[（α+β）﹣α]===﹣，故答案为：﹣．14.过双曲线的左焦点作圆的两条切线，记切点分别为，双曲线的左顶点为，若，则双曲线的离心率

▲；参考答案：略15.在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数，使得=，则的取值范围是

▲

．参考答案：16.(坐标系与参数方程选做题)直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.参考答案：或π17.已知，则的最小值为

▲

．

参考答案：2由得且，即。所以，所以的最小值为2.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；（2）设∠COP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．参考答案：考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）在△POC中，根据，OP=2，OC=1，利用余弦定理求得PC的值．（2）解法一：利用正弦定理求得CP和OC的值，记△POC的面积为S（θ），则，利用两角和差的正弦公式化为，可得时，S（θ）取得最大值为．解法二：利用余弦定理求得OC2+PC2+OC?PC=4，再利用基本不等式求得3OC?PC≤4，所以，再根据OC=PC求得△POC面积的最大值时θ的值．解答：解：（1）在△POC中，，OP=2，OC=1，由得PC2+PC﹣3=0，解得．（2）解法一：∵CP∥OB，∴，在△POC中，由正弦定理得，即，∴．又，∴．记△POC的面积为S（θ），则======，∴时，S（θ）取得最大值为．解法二：，即OC2+PC2+OC?PC=4．又OC2+PC2+OC?PC≥3OC?PC，即3OC?PC≤4，当且仅当OC=PC时等号成立，所以，∵OC=PC，∴时，S（θ）取得最大值为．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的，属于中档题．19.如图，在正中，点,分别在边上,且，相交于点,求证：（1）四点共圆；（2）．

参考答案：证明：（I）在中，由知：≌，即．所以四点共圆；---5分（II）如图，连结．在中，,,由正弦定理知由由四点共圆知，,所以---10分20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率且与抛物线有公共焦点F2.(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设直线与椭圆交于M、N两点，直线与倾斜角互补，证明：直线过定点，并求该点坐标.参考答案：（1）

(2)由题意知直线MN存在斜率，其方程为y=kx+m，

联立方程

y=kx+m,消去y，得设、，则，，由已知直线与的倾斜角互补，得，即

可得m=-2k,代入直线y=kx+m,故直线MN过点（2,0）21.已知在同一平面内的两个向量，，其中.函数，且函数的最小正周期为.⑴求函数的解析式；

⑵将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间.

参考答案：略22.（本小题满分12分）在直三棱柱（侧棱垂直底面）中，，，且异面直线与所成的角等于．（Ⅰ）求棱柱的高；（Ⅱ）求与平面所成的角的大小．参考答案：（Ⅰ）由三棱柱是直三棱柱可知，即为其高.如图，因为∥，所以是异面直线与所成的角或其补角.连接，因为，所以.在Rt△中，由，，可得.……………3分又异面直线与所成的角为，所以，即△为正三角形.于是.在Rt△中，由