2021年山东省青岛市私立育贤中学高三数学理联考试题含解析

2021年山东省青岛市私立育贤中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中,内角A,B,C的对边分别是,若，,则（

）A． B． C． D．参考答案：C2.由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有(

) A．60个 B．48个 C．36个 D．24个参考答案：B考点：分步乘法计数原理．分析：偶数即个位数字只能是2或4解答： 解：偶数即个位数字只能是2或4，其它位置任意排放共有C21?A44=2×4×3×2×1=48个故选B点评：分步乘法计数原理的理解，偶数怎样选，注意没有0；当然也可以用概率解答．3.是虚数单位，已知复数Z=-4，则复数Z对应的点在第几象限

（

）A．第四象限

B．第三象限

C．第二象限

D．第一象限

参考答案：C略4.已知共有

（

）

A．9个

B．11个

C．12个

D．13个参考答案：D5.输入时，运行如图所示的程序，输出的值为（

）A．4

B．5

C．7

D．9参考答案：C

【知识点】程序框图．L1解析：由程序框图知：第一次运行x=1+2=3，n=2；第二次运行x=1+2+2=5，n=3；第三次运行x=1+2+2+2=7，n=4，此时满足条件n≥4，输出x=7．故选C．【思路点拨】由程序框图依次计算程序运行的结果，直到满足条件n≥4时，计算x的值．6.设点P为双曲线x2﹣=1上的一点，F1，F2是该双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为12，则∠F1PF2等于（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程算出焦距|F1F2|=2，根据双曲线定义得到||PF1|﹣|PF2||=2．然后在△PF1F2中运用余弦定理，得出关于|PF1|、|PF2|和cos∠F1PF2的式子；而△PF1F2的面积为12，得到|PF1|、|PF2|和sin∠F1PF2的另一个式子．两式联解即可得到∠F1PF2的大小．【解答】解：∵双曲线方程为x2﹣=1，∴c2=a2+b2=13，可得双曲线的左焦点F1（﹣，0），右焦点F2（，0）根据双曲线的定义，得||PF1|﹣|PF2||=2a=2∴由余弦定理，得|F1F2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+（2﹣2cos∠F1PF2）|PF1|?|PF2|，即：52=4+（2﹣2cos∠F1PF2）|PF1|?|PF2|，可得|PF1|?|PF2|=又∵△PF1F2的面积为12，∴|PF1|?|PF2|sin∠F1PF2=12，即=12结合sin2∠F1PF2+cos2∠F1PF2=1，解之得sin∠F1PF2=1且cos∠F1PF2=0，∴∠F1PF2等于故选C．【点评】本题给出双曲线上一点P与双曲线两个焦点F1、F2构成的三角形面积，求∠F1PF2的大小，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．7.点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（

）A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.直线参考答案：D略8.已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（1）=2，则不等式f（log2x）＞2的解集为（）A．（2，+∞） B． C． D．参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，结合函数的奇偶性、单调性分析可得f（log2x）＞2?|log2x|＞1；化简可得log2x＞1或log2x＜﹣1，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：f（x）是R的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，所以f（x）在[0，+∞）上是增函数，所以f（log2x）＞2=f（1）?f（|log2x|）＞f（1）?|log2x|＞1；即log2x＞1或log2x＜﹣1；解可得x＞2或．故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是通过对函数奇偶性、单调性的分析，得到关于x的方程．9.已知，则方程所有实数根的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：D略10.对于使成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做的上确界,若，且，则的上确界为（

）A.

B.

C.

D.-4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则___．参考答案：812.利用一个球体毛坯切削后得到一个四面体，其中底面中，，且，平面，则球体毛胚表面积的最小值应为

．参考答案：13.已知向量不共线，，，如果，则k=______．参考答案：【分析】由向量，所以，得到且，即可求解，得到答案。【详解】由题意，向量，所以，则且，解得.【点睛】本题主要考查了向量的共线条件的应用，其中解答中熟记向量共线条件，列出关于的关系式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。14.圆与双曲线的渐近线相切，则的值是_______.参考答案：双曲线的渐近线为，不妨取，若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离，即，所以。15.不等式的解集是

.参考答案：16.若函数在处有极值，则函数的图象在处的切线的斜率为

。参考答案：-5略17.已知函数(为常数,)，且是方程的解．当时，函数值域为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.今年我校高二文科班学生共有800人参加了数学与地理的学业水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，。。。。。800进行编号：（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽出100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：人数数学优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格a4b

成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a、b的值；（3）在地理成绩为及格的学生中，已知，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率参考答案：解：（1）依题意，最先检测的3个人的编号依次为785,667,199；

…………3分（2）由，得，

…………5分∵，

∴；

…………7分

（3）由题意，知，且，

∴满足条件的有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14组，且每组出现的可能性相同.

….…9分

其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组.

…………11分

∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为.

…………12分略19.(本题满分14分）已知函数（1）将写成+B的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC的三边a、b、c满足，且边b所对的角为，试求的范围及此时函数的值域。参考答案：（1）由=0即即对称中心的横坐标为（2）由已知b2=ac，即的值域为，所以，，值域为

20.设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）对任意实数，都有成立，求实数a的取值范围．参考答案：（1）当时，当时当时当时综上:

（2）对任意实数，都有成立，即根据图象可知

21.已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（0，3），与双曲线有相同的焦点 （1）求椭圆C的方程； （2）过A点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆C于P，Q两点，则PQ是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的c，由A点，可得b，求得a，即可得到椭圆方程； （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线AP的斜率为k，直线AQ的斜率为﹣，直线AP的方程为y=kx+3，代入椭圆方程，求得P的坐标，k换为﹣，可得Q的坐标，求出直线PQ的斜率，以及方程，整理可得恒过定点． 【解答】解：（1）双曲线=1的焦点坐标为（3，0），（﹣3，0）， 可得椭圆中的c=3，由椭圆过点A（0，3），可得b=3， 则a==6， 则椭圆的方程为+=1； （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线AP的斜率为k，直线AQ的斜率为﹣， 直线AP的方程为y=kx+3，代入椭圆x2+4y2﹣36=0， 可得（1+4k2）x2+24kx=0， 解得x1=﹣，y1=kx1+3=， 即有P（﹣，）， 将上式中的k换为﹣，可得Q（，）， 则直线PQ的斜率为kPQ==， 直线PQ的方程为y﹣=（x+）， 可化为x（k2﹣1）﹣（5y+9）k=0， 可令x=0，5y+9=0，即x=0，y=﹣． 则PQ过定点（0，﹣）． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用双曲线的焦点坐标，考查直线恒过定点的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 22.设f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求实数a的取值范围；（3）若使方程f（x）﹣g（x）=0在x∈[e，en]（其中e=2.7…为自然对数的底数）上有解的最小a的值为an，数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn＜3．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；数列的求和．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得单调区间和极值，即可得到最小值；（2）由题意可得a＜在（0，+∞）成立，设h（x）=，求出导数，求得单调区间和极值，最大值，即可得到a的范围；（3）方程f（x）﹣g（x）=0，即为a=在x∈[e，en]上有解，求得h（x）在x∈[e，en]上的最小值，可得an=（1+n）e﹣n，由错位相减法求得Sn，再由不等式的性质即可得证．【解答】解：（1）f（x）=x2lnx的导数为f′（x）=2xlnx+x=x（1+2lnx），x＞0，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有x=处取得极小值，也为最小值﹣；（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），即为a＜在（0，+∞）成立，设h（x）=，h′（x）==﹣，当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）递减；当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）递增．即有x=1处取得极大值，也为最大值1，则a＜1，即a的取值范围是（﹣∞，1）；（3）证明：方程f（x）﹣g（x）=0，即为a=在x∈[e，en]上有解，由（2）可得h（x）=在（e，1）递增，在（1，en]递减，