河北省廊坊市固安县职业中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

河北省廊坊市固安县职业中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积是

（

）

正视图

侧视图

俯视图A．

B．

C．

D．参考答案：C2.抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，当为等边三角形时，则的外接圆的方程为(

)A..

B.C.

D.参考答案：B3.已知等比数列，

分别表示其前项积，且，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.已知集合A={-1,-2,0,1}，B={x|ex<1}，则集合C=A∩B的元素的个数为（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B因为集合C=A∩B={-1,-2}，所以其元素的个数为2.5.已知实数满足等式，下列五个关系式：①②③④⑤其中可能成立的关系式有（

）A．①②③

B．①②⑤

C．①③⑤ D．③④⑤参考答案：B6.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于A．2

B．4 C．5

D．10参考答案：D略7.已知数列，若点在经过点的定直线上，则数列的前15项和A.12 B.32 C.60 D.120参考答案：C可设定直线为,知,则是等差数列且，所以，选C.8.已知，，，则a、b、c的大小关系是（

）A. B.C. D.以上选项都不对参考答案：B【分析】利用指数对数函数的图像和性质确定的范围即得它们的大小关系.【详解】由题得，所以.,,所以.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知，直线平分圆的周长，则的最大值为

A．6

B．4

C．3

D．参考答案：A略10.已知数列，其中,则

满足的不同数列一共有A.个

B.个

C.个

D.个参考答案：A【考点】数列综合应用【试题解析】由题知：若，

则中可能有3个1，2个0或有4个1，1个-1．

所以数列共有：个。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（6分）设函数f（x）=2sin（πx），若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立．则关于m的不等式m2+m﹣f（x0）＞0的解为．参考答案：{m|m＜﹣2，m＞1}考点： 正弦函数的奇偶性．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 由题意可得f（x0）=2，关于m的不等式m2+m﹣f（x0）＞0，即m2+m﹣2＞0，由此求得m的范围．解答： 解：由题意可得f（x0）为f（x）的最大值，故f（x0）=2．关于m的不等式m2+m﹣f（x0）＞0，即m2+m﹣2＞0，求得m＜﹣2，m＞1，故答案为：{m|m＜﹣2，m＞1}．点评： 本题主要考查正弦函数的最大值，一元二次不等式的解法，属于基础题．12.已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____________．参考答案：[15,+∞)略13.已知函数的零点依次为则从大到小的顺序为_____________________参考答案：14.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆有相等焦距，则C的方程为_____参考答案：x21【分析】根据渐近线倾斜角求出斜率得到，结合焦距即可求得方程.【详解】由椭圆的方程可得焦距为4，再由双曲线的渐近线方程可得：tan60°，由题意可得a2+b2＝4，解得：a2＝1，b2＝3，所以双曲线的方程为：x21；故答案为：x21．【点睛】此题考查求双曲线的方程，根据椭圆求得焦距，根据渐近线的倾斜角得出斜率，建立等量关系求解基本量a，b，c.15.所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．如：；；．已经证明：若是质数，则是完全数，.请写出一个四位完全数

；又，所以的所有正约数之和可表示为；，所以的所有正约数之和可表示为；按此规律，请写出所给的四位数的所有正约数之和可表示为

．（请参照6与28的形式给出）参考答案：

若是质数，则是完全数，中令可得一个四位完全数为。由题意可令＝其所有正约数之和为16.如果实数满足，则的最小值为

.参考答案：略17.如果投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，则的概率为

.参考答案：因为抛掷两枚均匀的正方体骰子的基本事件数为36种，又由知，所以，满足条件的事件有:(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)共4种，则的概率为;三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）为了解学生家长对师大附中实施现代教育教改实验的建设性意见，学校决定用分层抽样的方法，从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行座谈．已知高一、高二、高三年级的家长蠢员会分别有54人、18人、36人．（I）求从三个年级的家长委员会中应分别抽取的家长人数；

（II）若从已经抽取的6人中再随机选取3人加入教改课题组，求这3人中至少有一人是高三学生家长的概率．

参考答案：19.已知函数．(1)当，求的单调区间；(2)若有两个零点，求a的取值范围．参考答案：（1）见解析；（2）【分析】(1)将a=1代入函数，再求导即可得单调区间；(2)法一：先对函数求导：当时，在上是减函数，在上是增函数，且x=1为的极值点，当所以，，当，所以此时有两个零点；当时，函数只有一个零点；当时，再分成三种情况，，三种情况进行讨论，最后取并集即得a的范围。法二：分离参变量，每一个a对应两个x，根据新构造的函数单调性和值域，找到相应满足条件的a的范围即可。【详解】(1)当令，可得，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增。所以函数减区间在区间，增区间(2)法一：函数定义域为，，则⑴当时，令可得，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增。且，当；当所以所以有两个零点.，符合⑵当，只有一个零点2，所以舍⑶设，由得或，①若，则，所以在单调递增，所以零点至多一个.（舍）②若，则，故时，，当时，，所以在，单调递增，在单调递减。又，要想函数有两个零点，必须有，其中.又因为当时，，所以故只有一个零点，舍③若，则，故时，，；当时，，所以在，单调递增，在单调递减。又极大值点，所以只有一个零点在（舍）综上，的取值范围为。法二：，所以不是零点.由，变形可得.令，则，即当，；当，.所以在递增；在递减.当时,,当时，.所以当时，值域为.当时,,当时，.所以当时，值域为.因为有两个零点，故的取值范围是故的取值范围是.【点睛】这是函数的零点问题，可用讨论含参函数的单调性或者参变量分离的方法。20.设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2）且y1y2=﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）若（O为坐标原点），且点E在抛物线C上，求直线l倾斜角；（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k0，k1，k2．求证：当k0为定值时，k1+k2也为定值．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出直线的方程与抛物线的方程联立，消去x得到关于y的一元二次方程，利用根据根与系数的关系即可得出；（2）根据向量和（1）的结论可用k表示E点的坐标代入抛物线的方程即可得出直线l的斜率和倾斜角；（3）利用向量计算公式和（1）中的根与系数的关系即可得出．解答：解：（1）根据题意可知：，设直线l的方程为：，则：联立方程：，消去x可得：y2﹣2pky﹣p2=0（*），根据韦达定理可得：，∴p=2，∴抛物线C的方程：y2=4x．（2）设E（x0，y0），则：，由（*）式可得：y1+y2=2pk=4k∴y0=8k，又，∴∴∵，∴64k2=4（8k2+4），∴2k2=1，∴∴直线l的斜率，∴倾斜角为或（3）可以验证该定值为2k0，证明如下：设M（﹣1，yM），则：，，∵，∴∴===∴k1+k2=2k0为定值．点评：熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为直线方程与抛物线的方程联立得到一元二次方程、根据根与系数的关系、斜率的计算公式是解题的关键．21.在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP.（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知,设H是E上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点且不平行与y轴的直线与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围.参考答案：解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q， 因此即① 另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。 MQ为线段OP的垂直平分线， 又因此M在轴上，此时，记M的坐标为 为分析的变化范围，设为上任意点 由（即）得， 故的轨迹方程为② 综合①和②得，点M轨迹E的方程为（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）： ； 当时，过Ｔ作垂直于的直线，垂足为，交E1于。 再过H作垂直于的直线，交 因此，（抛物线的性质）。 （该等号仅当重合（或H与D重合）时取得）.

当时，则

综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为

（3）方法1:由图3知，直线的斜率不可能为零。 设 故的方程得： 因判别式 所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。 又由E2和的方程可知，若与E2有交点， 则此交点的坐标为有唯一交点，从而与轨迹E有三个不同的交点。 因此，直线的取值范围是方法2:由图3可计算,因为在抛物线内部,当时必与抛物线有两个不同交点,所以直线的取值范围是

略22.（12分）（2013?烟台一模）如图，某学校组织500名学生体检，按身高（单位：cm）分组：第1组[155，160），第2组[160，165），第3组[165，170），第4组[170，175），第5组[175，180]，得到的频率分布直方图．（1）下表是身高的频数分布表，求正整数m，n的值；（2）现在要从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，第1，2，3组应抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在第3组的概率．区间〔155，160〕〔160，165〕〔165，170〕〔170，175〕〔175，180〕人数5050m150n参考答案：考点： 频率分布直方图；分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．

专题： 概率与统计．分析： （1）根据频率分布直方图的高=，频率=，计算即可；（2）根据分层抽样方法，按频数比例计算即可；（3）根据古典概型的计算方法，先求所以可能的事件数，再求复合条件的可能事件数，然后求解即可．解答： 解：（1）由频率分布直方图，m=0.08×5×500=200，n=0.02×5×500=50．（2）∵第1、2、3组共有50+50+200=300人，根据分层抽