2021-2022学年福建省南平市水源中学高三数学理月考试题含解析

2021-2022学年福建省南平市水源中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在边长为6的正中，点满足则等于____________.

参考答案：24略2.如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个纸巢，将体积为的球放在纸巢上方，则球的最高点与纸巢底面的距离为A．

B.

C.

D.参考答案：D3.在区间和分别取一个数,记为，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（

）.

.

.

.参考答案：B【知识点】椭圆的简单性质H5K3解析：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．【思路点拨】表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．4.如图，在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，点P在阴影区域（含边界）中运动，则有?的取值范围是（）A． B． C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，由此求得BD，进一步利用向量的三角形法则以及向量的运算得到?的最值．【解答】解：∵在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，∴BD=．如图所示，过点A作AO⊥BD，垂足为O．则，．∴?=（）=．所以当点P取点B时，则?===1，当点P取BC边上的任意一点时，?取得最小值=﹣=﹣1．∴?的取值范围是[﹣1，1]．故选C．．【点评】本题考查了向量的数量积定义及其性质、投影的定义、向量的三角形法则、直角梯形的性质等基础知识与基本技能方法，考查了转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．5.如图所示，已知则下列等式中成立的是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：A6.若复数,,则（

）A．B．

C．

D．参考答案：A，选A.7.已知函数f(x)=sin(ωx－)，点A（m，n），B（m+π，n）（|n|≠1）都在曲线y=f（x）上，且线段AB与曲线y=f（x）有五个公共点，则ω的值是（）A．4 B．2 C． D．参考答案：A【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】由题意，2T=π，利用周期公式可得结论．【解答】解：由题意，2T=π，∴T=，∴ω=4，故选A．8.某人进行驾驶理论测试,每做完一道题,计算机会自动显示已做题的正确率，记已题的正确率为,则下列关系中不可能成立的是（）A． B．C． D．参考答案：D9.，，，则与的大小关系为（）。

A．

B．

C．

D．不确定参考答案：C10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f(2)=

A.11或18, B.11

C.17或18

D.18参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11..以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为______参考答案：略12.阅读右面的程序框图.若使输出的结果不大于31，则输入的整数的最大值为

．参考答案：513.圆心为椭圆的右焦点，且与直线相切的圆方程是____．参考答案：14.（5分）求和：=．参考答案：考点：数列的求和．专题：计算题．分析：首先要对式子进行分析，猜想到可以拆项来求解，故可把它们都乘以3即可拆项，相加即可以得到答案．解答：设Sn=则3Sn====所以Sn=．故答案为点评：此题主要考查数列求和的问题，对于非等差等比数列，可以根据分析式子通过拆项求解，这是一个很重要的思路，需要注意．15.已知x+y=2（x＞0，y＞0），则x2+y2+4的最大值为．参考答案：6【考点】基本不等式．【分析】利用配方法，结合二次函数的图象与性质，即可求出的最大值．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y=2，∴2≥2，∴0＜xy≤1，当且仅当x=y=1时取“=”；∴=（x+y）2﹣2xy+4=22﹣2+2=6﹣2≤6，即的最大值是6．故答案为：6．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是基础题目．16.已知偶函数的图象关于直线对称，且时，，则=___________．参考答案：略17.如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），平方换元利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．．【解答】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，∴梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），S2=16sin2θ（1+2cosθ+cos2θ）=16（1﹣cos2θ）（1+2cosθ+cos2θ）令cosθ=t∈（0，1）．则S2=16（1﹣t2）（1+2t+t2）=f（t）．则f′（t）=﹣32（t+1）2（3t﹣1）．可知：当且仅当t=时，f（t）取得最大值：．因此S的最大值为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分15分）已知正方形的边长为2，．将正方形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图所示．（1）当时，求证：；（2）当二面角的大小为时，求二面角的正切值．参考答案：（1）证明：根据题意，在中，，，所以，所以．因为是正方形的对角线，所以．因为，所以．………………5分（2）解法1：由（1）知，，如图，以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，则有，，，．设，则，．又设面的法向量为，则即．

所以，令，则．所以．因为平面的一个法向量为，且二面角的大小为，所以，得．因为，所以．解得．所以．设平面的法向量为，因为，则，即令，则．所以．设二面角的平面角为，所以．所以．

所以二面角的正切值为．……………15分解法2：折叠后在△中，，在△中，．

所以是二面角的平面角，

即．在△中，，所以．如图，过点作的垂线交延长线于点，因为，，且，所以平面．因为平面，所以．又，且，所以平面．过点作作，垂足为，连接，因为，，所以平面．因为平面，所以．所以为二面角的平面角．在△中，，，则，，所以．在△中，，所以在△中，．所以二面角的正切值为．…………15分19.为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：组别候车时间人数一2二6三4四2五1（Ⅰ）求这15名乘客的平均候车时间；（Ⅱ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（Ⅲ）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

参考答案：解：（Ⅰ）由图表得：，所以这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟.---------3分（Ⅱ）由图表得：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于.------6分（Ⅲ）设第三组的乘客为，第四组的乘客为，“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件.-------------------------------------7分所得基本事件共有15种，即，--------------10分其中事件包含基本事件8种，由古典概型可得，即所求概率等于.--------------------------------------------------------12分

略20.(本小题满分10分)如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.(Ⅰ)求二面角的的余弦值；（Ⅱ）求点到面的距离.参考答案：(Ⅰ)∵∴．在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）由题意有，设，则由直线与直线所成的解为，得，即，解得∴，设平面的一个法向量为，则，取，得，平面的法向量取为设与所成的角为，则．显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．………………5分（Ⅱ），，，，．设平面的一个法向量，则，取，得，则点到平面的距离．………………10分21.设抛物线C：的焦点为，是C上的点．（1）求C的方程：（2）若直线l：与C交于A，B两点，且，求k的值．参考答案：（1）（2）.【分析】（1）直接把代入抛物线方程中，求出；（2）直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数关系，化简，最后利用，求出的值.【详解】（1）因为是上的点，所以，因，解得，抛物线的方程为.（2）设，，由得，则，，由抛物线的定义知，，，则，，，解得.22.（本小题满分12分）如图2，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求的值．参考答案：（本小题满分12分）（本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力等．）解：（1）依题意，，，，．………2分在△中，由余弦定理，得

……4分

．解得．