辽宁省辽阳市灯塔柳条寨镇中学高三数学理测试题含解析

辽宁省辽阳市灯塔柳条寨镇中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B2.不等式的解集是（

）.A．（－3，1）

B．（1，＋）

C．（－，-3）（1，＋）

D．（－，－1）（3，＋）参考答案：答案：C3.已知集合A={1,2,3}，B={1,2,4}，则A∩B等于（）A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{1,2} D.{1,2,3,4}参考答案：C【分析】根据集合的交集的概念得到结果即可.【详解】因为集合A＝{1，2，3}，B＝{1，2，4}，所以A∩B={1，2}.故答案为：C【点睛】这个题目考查了集合的交集的概念以及运算，比较基础.4.已知复数z=，则z的共轭复数||=（）A．5 B．1 C． D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．【解答】解：∵z==，∴，则||=|i|=1．故选：B．5.对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中①ac2＞bc2，则a＞b；

②若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；

④a＞b，则＞．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由不等式的性质，逐个选项验证可得．【解答】解：选项①ac2＞bc2，则a＞b正确，由不等式的性质可得；

选项②若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d正确，由不等式的可加性可得；选项③若a＞b，c＞d，则ac＞bd错误，需满足abcd均为正数才可以；

选项④a＞b，则＞错误，比如﹣1＞﹣2，但＜．故选：B【点评】本题考查不等式的性质，属基础题．6.已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于()A．13

B．10

C．9

D．6参考答案：D7.如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为A．

B．

C．

D．参考答案：C8.六名大四学生（其中4名男生、2名女生）被安排到A、B、C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不到同一学校，也不到C学校，男生甲不到A学校，则不同的安排方法共有（）A．24 B．36 C．16 D．18参考答案：D【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分4步进行分析：①、2名女生在A、B学校个一人，②、A学校除男生甲之外选男生一人，③、B学校在剩余男生中选一人，④、C学校2名男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求六名学生被安排到A、B、C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不到同一学校，也不到C学校，男生甲不到A学校，只能安排2名女生在A、B学校各一人，有A22=2种安排方法，A学校除男生甲之外选男生一人，有C31=3种安排方法，B学校在剩余男生中选一人，有C31=3种安排方法，C学校选剩余的2名男生，有1种情况，则不同的安排方法有2×3×3×1=18种安排方法；故选：D．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意分析题目中的限制条件，注意受到限制的元素的处理方法．9.函数f（x）=lnx+3x﹣7的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）参考答案：C【考点】二分法的定义．【分析】由函数的解析式求得f（2）f（3）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+3x﹣7在其定义域上单调递增，∴f（2）=ln2+2×3﹣7=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3+9﹣7=ln3+2＞0，∴f（2）f（3）＜0．根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间是（2，3），故选：C．【点评】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．10.已知正六边形ABCDEF，下列向量的数量积最大的是

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知在四面体中，分别是的中点，若，则与所成的角为

参考答案：略12.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60cm，灯深40cm，则光源到反射镜顶点的距离是

cm．参考答案：【考点】抛物线的应用．【专题】计算题．【分析】先设出抛物线的标准方程，把点（40，30）代入抛物线方程求得p，进而求得即光源到反射镜顶点的距离．【解答】解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），点（40，30）在抛物线y2=2px上，∴900=2p×40．∴p=．∴=．因此，光源到反射镜顶点的距离为cm．【点评】本题主要考查了抛物线的应用和抛物线的标准方程．考查了对抛物线基础知识的掌握．13.已知直线与圆交于不同的两点，，是坐标原点，若圆周上存在一点C，使得为等边三角形，则实数的值为________.参考答案：14.函数f（x）=log2x+1（x≥4）的反函数f﹣1（x）的定义域是．参考答案：[3，+∞）【考点】反函数．【分析】先根据函数单调性求出函数f（x）=log2x+1（x≥4）的值域，然后根据互为反函数图象的关系可知原函数的值域即为反函数的值域．【解答】解：函数f（x）=log2x+1（x≥4）的值域为[3，+∞），∴f﹣1（x）的定义域是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．【点评】本题主要考查了反函数，以及互为反函数图象的关系，属于基础题．15.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为（结果保留π）．参考答案：12π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，根据侧面积公式算出底面半径r=3，用勾股定理算出高h==4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，∴×l×r=15π，解之得底面半径r=3因此，圆锥的高h==4∴圆锥的体积为：V=πr2h=×π×9×4=12π故答案为：12π16.（5分）若复数，则|z|=．参考答案：【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数求模．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．解：∵复数===1﹣i．∴|z|==．故答案为：．【点评】：本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．17.函数满足,若,则的最大值为.参考答案：答案:

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）先连接AB，根据切线的性质以及已知条件得到：∠AOB=60°；再结合OA=OB以及∠ABC=∠AEC即可得到结论；（Ⅱ）分两段，先根据直角三角形中的有关性质求出AD，再结合相交弦定理求出DE，二者相加即可．【解答】解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD?DC=AD?DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．19.如图，圆O与离心率为的椭圆T：（）相切于点M。⑴求椭圆T与圆O的方程；⑵过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）。①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为、，求的最大值；②若，求与的方程。参考答案：解:(1)由题意知:解得可知:椭圆的方程为与圆的方程(2)设因为⊥,则因为所以,因为

所以当时取得最大值为，此时点(3)设的方程为,由解得；由解得把中的置换成可得，所以，，由得解得所以的方程为，的方程为或的方程为，的方程为略20.（本小题满分14分）已知函数，（Ⅰ）求函数的单调区间，并判断是否有极值；（Ⅱ）若对任意的，恒有成立，求的取值范围；（Ⅲ）证明：（）．参考答案：(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);（Ⅲ）见解析【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；数列的求和．B11B12解析：（Ⅰ），（），，即，当，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在处取得极大值，极大值为，无极小值．……………４分（Ⅱ）方法1：因为，对任意的恒成立,由（1）知，则有，所以．……………9分方法2：记，，,，，由得即上为增函数；上为增函数；在上为减函数．因为对即要求恒成立,所以符合且得．

………………分（Ⅲ），由（Ⅰ）知，则（当且仅当取等号）．令（），即，则有则得证

………………14分【思路点拨】(Ⅰ)，（x＞0），，分别解出f'（x）＞0，f'（x）＜0，即可得出单调区间、极值；(Ⅱ)方法1：由ln（x﹣1）+k+1≤kx，分离参数可得：k≥f（x﹣1）max对任意的x＞1恒成立，由（I）即可得出．方法2：记g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，，对k分类讨论研究其单调性即可得出；（Ⅲ），由（Ⅰ）知：（当且仅当x=1取等号）．令x=n2（n∈N*，n≥2），即，再利用“