第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第1套答案

联系我们：2013年物理竞赛复赛模拟试题—第一套参考解答命题人蔡子星一、(20分)某人在设计房子的时候尽量节省空间，弄了一个立起来是储物架，放下来时床的家具。他设计得很精巧，使得在放下的过程中，架子是保持水平的，而且人不怎么费劲。下面我们给出一种设计。AABCDP1P2MAB、CD、AD是三根相互铰接的轻杆，，。这样就能保证架子上的东西不会掉下来。但是考虑到负重分别加在D点和CD中点O点，，直接把床推上放下会比较费力，而且容易砸到人，即使没有砸到人，砸到花花草草也不好。为了解决这个问题，我们在AB杆上距离A点处的M点连一根原长可以忽略的弹簧到D点。这样就可以自由的上下推动床而几乎不费力了。为了尽量省力，弹簧的经度系数应当为多少？当床与墙面夹角时，请计算AD杆上的受力。【解答】（1）如果势能处处恒定则无需外力。令，由余弦定理 （1分）重力势能 （2分）弹性势能 （2分）要求总势能为常数，则有为常数，于是 （5分）注：其它方法只要结果正确，过程无明显错误均给分（2）由于是轻杆，且只在两端受力，所以受力沿杆，设为对于杆，以为支点，由合外力矩等于0 （4分）中由正弦定理 （2分）代入力矩方程有 由此得到 （4分）注：其它方法只要结果正确，过程无明显错误均给分二、(22分)天宫一号圆满完成了国内第一次太空授课。在课堂演示中我们看到了如下情景，一个水球悬浮在空中，我们可以通过水球构成的透镜看到宇航员倒立的像。假设水球半径为，折射率为。在计算中我们取傍轴近似（只计算小角度范围的光线成的像）物物像假设物体、水球、实像之间的相对位置如图所示，由于相机没有变焦，因而只能对物体前方距离为处的物体能够清晰成像。随着球心到物体之间距离的变化，将发现两次能清晰成像的位置、。求，以及两个实像大小的比值应当满足什么条件才能观察到上述现象。【解答】解法一:设第一次成像物距为，像距为，设第二次成像物距为，像距为（物在光心左为正，像在光心右为正）由单球面成像公式 （1）（3分） （2）（3分）由平面几何 （3）（1分） （4）（1分）将（1）、（2）代入（3）消去和得到再将（4）代入得到于是 （6分）在以为参照的平动系中（即为原点，且坐标轴方向不变的参照系，想象一下在摩天轮车厢里面的人），相对的速度 (4分)所以对地面速度为和的矢量和 (1分)由能量守恒，其中使用了余弦定理 (6分)由角动量守恒，其中使用了矢量叉乘定义 (6分)为了计算方便，做无量纲化：，得到 代入得到 ；（另一个解，代表相对运动反向时的情景，未给出不扣分）得到圆筒角速度： （5分）注1：这个参照系中绳子与轴转角为，因而角速度为。若将由结果误写为，能量守恒和角动量守恒方程只要形式正确不重复扣分，但不给结果分。注2：对于题设情景，可以计算绳子拉力，发现一直大于0，所以绳子不会软。注3：保留形式不变，可以得到时，只有一个解为0；即此时相对角速度反向，也就是说，相对转角最大为。四、(25分)我们想做一个演示电磁感应定律的实验：造一个大电磁铁，正上面放一个细铁环，半径为，横截面为一个半径为的圆，电导率为，密度为，真空介电常数已知。在铁环的位置磁场大小为，，方向与竖直夹角，假磁铁在圆环内磁场的竖直分量不变。在磁铁中通入如下的正弦交流电，频率均为（很高），振幅大小为 在这种情景下是否可以造成“悬浮”的现象，如果可以，估算出的大小，如果不可以说明理由。（圆环的自感约为，需要计算说明是否可以忽略）【解答】假设电流为则磁通量为 （2分）电动势为 （3分）圆环电阻为 （2分）若忽略电感应，则感应电流为 安培力平均值向上为正 （3分）因而忽略电感导致不可以悬浮，因而不可忽略 （2分）利用感抗大小说明不扣分，不说明理由或者理由错误不给分。保留电感，电路的方程可以写为 （3分）令，代入得到 （2分）其中利用辅助角公式， 于是安培力平均值 （2分）由于悬浮合外力平均值等于0（利用积化和差公式） （2分）代入数值得到 （4分） （作为估算，认为，近似为得到，同样给全分）五、(22分)理想的非门可以视为一个受控电压源：当输入端电压大于时，输出端相当于和地线之间短路；当输入端电压小于时，输出端相当于和地线之间有一个理想电压源，电源电压。等效电路图如图所示。不同非门中接地点可以视为是同一个点。我们利用非门、电容和电阻能够做成一个输出方波信号的多谐振荡器。画出下图电路中随着时间的变换关系。提示：已知如左下图的RC电路，从刚接通电路开始电容上电压随时间变化规律为：【解答】等效电路如图所示，可见电流只在---回路中流动。假设系统存在稳态，则电容电量为常数，因而电阻上电流为0，则输入电压等于输出电压，这显然矛盾，因而系统不存在稳态。不失一般性，电容初态电压为0，系统初态，因而电路沿逆时针给电容充电（电阻上电流从下向上为正，电容电量右边记为正）当时候，门反向，进入II门反向，此时，，由于电容上电量不突变，所以 因而电路沿顺时针给电容反向充电，新充入电量为；即不断上升，到达时，时，门反向，进入II类比题目中的RC电路有，此过程历时II门再次反向，此时，，由于电容上电量不突变，所以因而电路沿逆时针给电容正向充电，新冲入电量为 ；即不断上升，到达时，时，门反向，进入I类比题目中的RC电路有，此过程历时，重复循环因此得到方波信号周期等于（只需得到此结果，过程无明显错误即给全分）六、(22分)在真空中有一个体积为的绝热硬箱子，内部有压强为温度为的理想气体。摩尔质量为，定容摩尔比热为。现在通过一个多孔塞让气体缓缓漏出。（1）当气体漏出一半时候，箱子内温度为多少？（2）假设漏出气体的过程中，压强差做的功全部转换为气体的动能，问气体全部漏出的过程中箱子一共可以获得多少动量？提示：理想气体绝热方程为，【解答】对于还没有喷出的气体而言，它经历了准静态绝热膨胀过程。初态，末态体积为，由绝热方程： （4分） 代入理想气体状态方程，末态温度 （4分）（2）假设经过一小段时间过程，有摩尔的气体被推出。这时内部的气体状态为对外做功 只需求出，就能计算出做功了。显然，我们知道绝热方程可以改写： ，代入理想气体状态方程： 为常数 我们可以把这里面初始的看成剩余的的那部分最开始占有的体积 得到 （4分）对外做功 （4分）在箱子系中，喷气体动量守恒，因而箱子获得动量大小等于气体动量。由动能定理（4分）代入积分得到 （2分）注1：如果最后系数计算的是0.64，且积分步骤是1积分到0.5，那么仅扣1分）.注2：如果在地面系使用动能定理，将导致气体获得的动能在不同阶段不同，计算很难。七、(26分)在诱导原子核衰变的时候，有会用到（读作muon，中文缪子）代替原子中的一个电子。除了质量比电子重207倍之外几乎没有别的区别。原子核核电荷数为。电子质量，电子电量，普朗克常数（1）我们利用玻尔模型和牛顿力学做一个简单估计，的基态和第一激发态之间的能级差为多少？用电子伏特做单位表示。（2）计算上一问中，基态的速度为多少？如果考虑相对论效应，会使得基态轨道半径相对于牛顿力学情景相对变化多少？（3）原子核的质量为，如果考虑到原子核质量并非远大于质量，则玻尔量子化改为体系总角动量（不计自旋）量子化。考虑这个效应，基态能量变化百分比为多少？【解答】由玻尔模型 （3分）由向心力方程