河南省开封市第十中学高三数学理月考试卷含解析

河南省开封市第十中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知f（x）=x2+（sinθ﹣cosθ）x+sinθ（θ∈R）的图象关于y轴对称，则sin2θ+cos2θ的值为(

)A． B．2 C． D．1参考答案：D【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】依题意，f（﹣x）=f（x），于是可得sinθ﹣cosθ=0，利用二倍角公式即可求得sin2θ+cos2θ的值．【解答】解：∵f（x）=x2+（sinθ﹣cosθ）x+sinθ（θ∈R）的图象关于y轴对称，∴y=f（x）为偶函数，即f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）2+（sinθ﹣cosθ）（﹣x）+sinθ=x2+（sinθ﹣cosθ）x+sinθ，∴sinθ﹣cosθ=0，即sinθ=cosθ，∴sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+2cos2θ﹣1=2sin2θ+2cos2θ﹣1=2﹣1=1．故选：D．【点评】本题考查偶函数性质的应用，突出考查二倍角的正弦与余弦，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．2.定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为A.(1,2]

B.（1,2）．C.（0,2）

D.（0,1）参考答案：B略3.若是偶函数，且当的解集是（

）

A．（－1，0）

B．（－∞，0）（1，2）

C．（1，2）

D．（0，2）参考答案：D根据函数的性质做出函数的图象如图.把函数向右平移1个单位，得到函数，如图，则不等式的解集为，选D.4.设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则ab的

取值范围是A.

B．

C．

D.参考答案：A略5.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（

）A．

B.C.

D.参考答案：【知识点】指数函数的图像与性质．L4

【答案解析】A

解析：∵实数满足，∴x＞y，A．当x＞y时，，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但不成立．C．若，则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立．D．若，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．【思路点拨】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．6.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在椭圆上.⊥轴，点在轴正半轴上.如果△的角所对边分别为，其它的面积满足，则椭圆的离心率为

A.

B.

C.

D.参考答案：B7.已知四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，点E、F分别在线段PA、PC上，且EF∥底面ABCD，则异面直线EF与PB所成角的大小为（

）A.30° B.45° C.60° D.90°参考答案：D【分析】连接，，设，由线面平行的性质定理推得，运用线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质定理和平行线的性质，即可得到所求角．【详解】解：连接，，设，则平面，平面平面，由底面，可得，由四边形为菱形，可得，由为的中点，，可得，又，平面，平面，可得平面，又平面，则，又，可得，即异面直线与所成角的大小为．故选：D．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查线面平行的性质定理和线面垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题．8.△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB．若=，=，||=1，||=2，则=(

)A．+ B．+ C．+ D．+参考答案：B【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【专题】计算题．【分析】由题意可得D为AB的三等分点，且==（﹣），所以=+=+，从而得出结论．【解答】解：因为CD平分∠ACB，由角平分线定理得==2，所以D为AB的三等分点，且==（﹣），所以=+=+=+，故选B．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．9.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，离心率为，则的最小值为（

）A

B

C

D

参考答案：C略10.已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（m，n）的值，由题意∈N*，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=2，i=0，m=48，满足条件n≤48，满足条件MOD（48，2）=0，i=1，n=3，满足条件n≤48，满足条件MOD（48，3）=0，i=2，n=4，满足条件n≤48，满足条件MOD（48，4）=0，i=3，n=5，满足条件n≤48，不满足条件MOD（48，5）=0，n=6，…∵∈N*，可得：2，3，4，6，8，12，16，24，48，∴共要循环9次，故i=9．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等差数列中，，则数列的前5项和=______

.参考答案：90

略12.已知抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离｜MF｜＝4，则点M的横坐标x=________.参考答案：313.由曲线和直线所围成的面积为_____________。参考答案：略14.已知，且，则的值为

参考答案：当时，，所以，又，所以。15.已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是______．参考答案：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：s2=×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．16.三视图如下的几何体的体积为

.参考答案：1由三视图知：原几何体为四棱锥，四棱锥的底面是直角梯形，上下底边长分别为2和1，高为1，四棱锥的高为2，所以该几何体的体积为。17.已知分别为内角的对边,成等比数列,当取最大值时,的最大值为

.参考答案：.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知{bn}为单调递增的等差数列，b3+b8=26，b5b6=168，设数列{an}满足（1）求数列{bn}的通项；（2）求数列{an}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用递推关系与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设{bn}的公差为d，∵{bn}为单调递增的等差数列，∴d＞0．由，得，解得，∴bn=b1+（n﹣1）d=4+2（n﹣1）=2n+2，∴bn=2n+2．（2），由①得②①﹣②得，n≥2，∴，n≥2．又∵不符合上式，∴an=，当n≥2时，，∵S1=8符合上式，∴，n∈N*．【点评】本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.（本小题满分12分）已知函数sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）将函数图像向右平移个单位得到函数的图像，若，且，求的值．参考答案：【知识点】三角函数的图象与性质C3（Ⅰ）f(x)=cosx（Ⅱ）（Ⅰ）因为周期为2π，所以ω＝1，又因为0≤φ≤π，f（x）为偶函数，所以φ＝，则．（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）＝cosx．得g（）=cos（-）=，==cos（-）=【思路点拨】由周期为2π，所以ω＝1，f（x）为偶函数φ＝，求出解析式。由（Ⅰ）f（x）＝cosx．得化简得结果。20.如图,四棱锥P-ABCD的底面是菱形,PO⊥底面ABCD,O、E分别是AD、AB的中点，AB=6,AP=5,.(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)求直线PB与平面POE所成角的正弦值；(Ⅲ)在DC边上是否存在点F，使BF与PA所成角的余弦值为，若存在，确定点F位置；若不存在，说明理由.参考答案：连接，由已知及平面几何知识得两两垂直,如图建立空间直角坐标系，依题意可得,,，，,,.……(1分)

(Ⅰ)证明:∵,,

∴.∴，因此.

…………(4分)

(Ⅱ)解:设平面的法向量为，由,及得.令，得

………(6分)又求得.

…………(7分)设与平面所成角为,则.

……………(9分)

(Ⅲ)解:∵假设存在，使,设，计算得，则.…(10分)又，由异面直线与所成角的余弦值为,得，解得

……………（12分）

满足条件，因此，存在点在的中点处.

……………（13分）21.已知函数f(x)＝－alnx，a∈R．（Ⅰ）当f(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的φ(a)，（ⅰ）当a∈(0，＋∞)时，证明：φ(a)≤1；（ⅱ）当a＞0，b＞0时，证明：φ′()≤≤φ′()．参考答案：解：（Ⅰ）求导数，得f′(x)＝－＝（x＞0）．（1）当a≤0时，f′(x)＝＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，无最小值．（2）当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a2．当0＜x＜a2时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0，a2)上是减函数；当x＞a2时，f′(x)＞0，∴f(x)在(a2，＋∞)上是增函数．∴f(x)在x＝a2处取得最小值f(a2)＝a－alna．故f(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)＝a－alna（a＞0）．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知φ(a)＝a－alna（a＞0），求导数，得φ′(a)＝－lna．（ⅰ）令φ′(a)＝0，解得a＝1．当0＜a＜1时，φ′(a)＞0，∴φ(a)在(0，1)上是增函数；当a＞1时，φ′(a)＜0，∴φ(a)在(1，＋∞)上是减函数．∴φ(a)在a＝1处取得最大值φ(1)＝1．故当a∈(0，＋∞)时，总有φ(a)≤1．…………………10分（ⅱ）当a＞0，b＞0时，＝－＝－ln，

①φ′()＝－ln()≤－ln，

②φ′()＝－ln()≥－ln＝－ln，

③由①②③，得φ′()≤≤φ′()．………14分

略22.（本小题满分13分）将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（Ⅰ）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（Ⅲ）对于由正整数排成的行列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合，记其“特征值”为，求证：参考答案：证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.得到数表的不同特征值是或

……………3分714582369

（Ⅱ）当时，数表为此时，数表的“特征值”为

………