2021年安徽省合肥市孙庙中学高三数学理月考试卷含解析

2021年安徽省合肥市孙庙中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列满足（且），则“”是“数列成等差数列”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A若，则，即，所以数列成等差数列。若数列成等差数列，设公差为，则，即，若，则，若，则

，即，此时。所以是数列成等差数列的充分不必要条件，选A.2.命题P：若x,y∈R.则｜x｜+｜y｜＞1是｜x+y｜>1的充分而不必要条件；

命题q

：函数y=的定义域是（一∞，一1］U［3，＋∞），则A.“pVq”为假

B.“pq”为真

C.“”为真

D.“”为真参考答案：D3.条件，条件，则P是q的A充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件,参考答案：B略4.已知表示数列的前项的和，若对任意满足且则=（

）A．B．C．D．参考答案：C在中，令则，令，则，于是，故数列是首项为0，公差为1的等差数列，.选C.5.已知函数是定义在R上的单调函数，对，恒成立，则

（

）A．1

B．3

C．8

D．9参考答案：D略6.已知，，则成立的充要条件是

（） A． 0＜＜1 B． ﹣1＜＜0 C． ﹣2＜＜0 D． ﹣2＜＜1参考答案：C7.是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C)

(D)参考答案：【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C

解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C.【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.8.已知全集，集合，那么

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D9.对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是 若则

若,则 若,则

若,则参考答案：10.（5分）已知函数f（x）=2ax3﹣3ax2+1，g（x）=﹣x+，若任意给定的x0∈[0，2]，总存在两个不同的xi（i=1，2）∈[0，2]，使得f（xi）=g（x0）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1]参考答案：A【考点】：利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：由题意可以把问题转化为求函数f（x）和函数g（x）的最值，并有题意转化为两个函数的值域的关系问题即可得到结论．解：f′（x）=6ax2﹣6ax=6ax（x﹣1）．①当a=0时，显然不可能；②当a＞0时，函数f（x）的变化情况如下表所示

x0（0，1）1（1，2）2f′（x）0﹣0+f（x）1递减极小值1﹣a

1+4a又因为当a＞0时，g（x）=﹣x+在[0，2]上是减函数，对任意x∈[0，2]，g（x）∈[﹣，]，不合题意；③当a＜0时，函数f（x）的变化情况如下表所示

x0（0，1）1（1，2）2f′（x）0+0﹣f（x）1递增极大值1﹣a递减1+4af（x）在[0，2]的最大值为1﹣a；又因为当a＜0时，g（x）=﹣x+在[0，2]上是增函数，所以对任意x∈[0，2]，g（x）∈[，﹣]，由题意必有g（x）max＜f（x）max，可得﹣＜1﹣a，解得a＜﹣1．综上a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．故选：A【点评】：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题，确定函数的最大值是关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1.设M是底面ABC内的一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m、n、p分别是三棱锥M—PAB、三棱锥M—PBC、三棱锥M—PCA的体积．若，且恒成立，则正实数a的最小值为________．参考答案：112.若函数的最小值为4，则a的值为_______．参考答案：1略13.已知，展开式的常数项为15，

．参考答案：

14.若实数x，y满足约束条件，则z=4x+8y的最小值为．参考答案：﹣2【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【解答】解：实数x，y满足约束条件，表示的可行域如图：z=4x+8y可得y=﹣+，当y=﹣+，经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由，解得A（﹣，），目标函数的最小值为：z=﹣2．故答案为：﹣2．15.若直线平分圆的面积，则直线的倾斜角为．（用反三角函数值表示）参考答案：π-arctan216.已知函数，则____________参考答案：317.某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．参考答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，．（1）求f(x)单调递增区间；（2）求f(x)在的最大值和最小值．参考答案：（1）由∴递增区间为．（2）∵∴∴，．19.已知函数f（x）=xlnx﹣ax2是减函数．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：对任意n∈N，n＞1，都有++…+＞．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由题意可得f′（x）≤0在x＞0恒成立，由参数分离和构造函数，求出导数和单调区间，可得最大值，即可得到a的范围；（Ⅱ）设h（x）=xlnx﹣x2，求出导数，判断单调性，可得x≥2时，xlnx＜x2﹣，即＞，则n≥2时，＞=﹣，再由裂项相消求和，化简整理，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=xlnx﹣ax2的导数为f′（x）=1+lnx﹣2ax，函数f（x）=xlnx﹣ax2是减函数，可得f′（x）≤0在x＞0恒成立，即为2a≥在x＞0恒成立，设g（x）=，g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减．可得g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值1．则2a≥1，解得a≥；（Ⅱ）证明：设h（x）=xlnx﹣x2，h′（x）=1+lnx﹣x，h″（x）=﹣1，当x＞1时，h″（x）＜0，h′（x）＜h′（1）=0，h（x）在（1，+∞）递减，即有h（x）＜h（1）=﹣，即x＞1时，xlnx﹣x2＜﹣，x≥2时，xlnx＜x2﹣，即＞，则n≥2时，＞=﹣，即有++…+＞1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣=1+﹣﹣=．故对任意n∈N，n＞1，都有++…+＞．20.已知函数，，若存在实数使成立，求实数a的取值范围.参考答案：试题分析：先将问题“存在实数使成立”转化为“求函数的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可获解.试题解析：存在实数使成立，等价于的最大值大于，因为，由柯西不等式：，所以，当且仅当时取“”，故常数的取值范围是．考点：柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.21.（本小题满分12分）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE=AF=4，现将△AEF沿线段EF折起到△A'EF位置，使得A'C=2。（1）求五棱锥A'-BCDFE的体积；（2）在线段A'C上是否存在一点M，使得BM∥平面A'EF?若存在，求A'M；若不存在，说明理由。参考答案：（1）连接AC，设ACEF=H。由ABCD是正方形，AE=AF=4，得H是EF的中点，且EF⊥AH，EF⊥CH，从而有A'H⊥EF，CH⊥EF。所以EF⊥平面A'HC，从而平面A'HC⊥平面ABCD， …………2分过点A'作A'O垂直HC且与HC相交于点O，则A'O⊥平面ABCD …………3分因为正方形ABCD的边长为6，AE=AF=4，得到：A'H=，CH=，所以cos∠A'HC=，所以HO=A'H·cos∠A'HC=，A'O=所以五棱锥A'-BCDFE的体积； ……6分（2）线段A'C上存在点M，使得A'M∥平面A'EF，A'M=。 …………7分证明：A'M=A'C，HO=HC，所以OM∥A'H，所以OM∥平面A'EF， …………9分又BD∥EF，所以BD∥平面A'E