2021年湖南省衡阳市祁东县鸣鹿中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021年湖南省衡阳市祁东县鸣鹿中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f(x)的递增区间是A.

B.C.

D._参考答案：B略2.曲线在点处的切线方程是

A.

B.

C.

D.

参考答案：C3.在ΔABC中，若(tanB+tanC)=tanBtanC?1，则sin2A=（

）A、?

B、

C、?

D、参考答案：B试题分析：由得，又因为为三角形内角，所以，，所以，故选B.考点：三角恒等变换.4.如图所示，为一几何体的三视图，则该几何体的体积是（A）（B）（C）（D）主视图左视图俯视图11参考答案：D由三视图可知该几何体时一个正方体去掉以角，其直观图如图，其中正方体的边长为1.所以正方体的体积为1.去掉的三棱锥的体积为，所以该几何体的体积为，选C.5.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是A．在区间（－2,1）上是增函数

B．在（1,3）上是减函数C．在（4,5）上是增函数

D．当时，取极大值参考答案：C略6.函数的图象可能是（）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.关于x的方程ax=﹣x2+2x+a（a＞0，且a≠1）的解的个数是（）A．1 B．2 C．0 D．视a的值而定参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】分a＞1和0＜a＜1两种情况画出函数y=ax，y=﹣（x﹣1）2+1+a的图象，再根据其单调性即可得出结论．【解答】解：①当a＞1时，画出f（x）=ax，g（x）=﹣（x﹣1）2+1+a图象，当x=1时，f（1）=a＜1+a=g（1），故其图象有两个交点，即关于x的方程ax=﹣x2+2x+a（a＞1）的解的个数是2．②当0＜a＜1时，画出f（x）=ax，g（x）=﹣（x﹣1）2+1+a图象，当x=1时，f（1）=a＜1+a=g（1），故其图象有两个交点，即关于x的方程ax=﹣x2+2x+a（1＞a＞0）的解的个数是2．故选B．8.已知非零向量满足，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知是所在平面内一点，为边中点，且，则A．

B．

C．

D．参考答案：B因为为边中点，所以由得，即,所以，选B.10.已知某几何体的三视图如右上图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过曲线上一点P的切线平行于直线，则切点的坐标为____________参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】（1，0）或（-1，-4）由y=x3+x-2，求导数得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．

当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4．∴切点P0的坐标为（1，0）或（-1，-4）．【思路点拨】先求导函数，由导数的几何意义令导函数等于4建立方程，求出方程的解，即可求出切点的横坐标，代入原函数即可求出切点坐标．12.若，，，则的取值范围是

．参考答案：(－∞,0]由题意，，则，由，则，即函数f(x)在上单调递增，则恒有，所以，又，所以，即，从而问题可得解.

13.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第n（n≥3）行第3个数字是．参考答案：【考点】归纳推理．【专题】规律型．【分析】根据“莱布尼兹调和三角形”的特征，每个数是它下一个行左右相邻两数的和，得出将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数

，就得到一个如图所示的分数三角形，最后即可求出第n（n≥3）行第3个数字．【解答】解：将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数

，就得到一个如图所示的分数三角形，即为莱布尼兹三角形．∵杨晖三角形中第n（n≥3）行第3个数字是Cn﹣12，则“莱布尼兹调和三角形”第n（n≥3）行第3个数字是=．故答案为：．【点评】本题考查归纳推理、通过观察分析归纳各数的关系，据关系求出各值，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．14.在△ABC中，sin2C=sinAsinB+sin2B，a=2b，则角C=

.

参考答案：由正弦定理知，所以，所以.15.（3分）设矩阵A=，B=，若BA=，则x=．参考答案：2考点：矩阵与向量乘法的意义．专题：计算题；矩阵和变换．分析：由题意，根据矩阵运算求解．解答：∵A=，B=，BA=，∴4×2﹣2x=4；解得，x=2；故答案为：2．点评：本题考查了矩阵的运算，属于基础题．16.一艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角(从正北方向顺时针转到目标方向的水平角)为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，则A到C的距离是________海里．

参考答案：,中，由正弦定理，17.在等差数列中，，则数列的前项和

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直三棱柱中，，，，.（1）试在线段上找一个异于，的点，使得，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，求多面体的体积.参考答案：（1）【考查意图】本小题以直三棱柱为载体，考查直线与平面垂直的性质及判定等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想.【解法综述】只要根据直三棱柱的性质，结合已知条件确定点的位置，再利用直线与平面垂直的性质及判定定理进行证明，便可解决问题.思路一：先由直三棱柱的性质及得到平面，从而有，所以要使，只需即可，然后以此为条件进行证明即可.思路二：同思路一得到，要使，只需即可.然后以为条件求得，再证明当时即可.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据已知条件正确找到点；证明过程逻辑混乱.【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以多面体为载体，考查多面体的体积、直线与平面垂直的性质等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等.【解法综述】将所求多面体分割成两个三棱锥进行求解.思路：把多面体分割为三棱锥和三棱锥，分别计算体积并求和.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能将所求多面体正确割补成易于计算体积的几何体；体积公式记忆错误或计算错误.【难度属性】中.19.（本小题满分14分）如图，已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且·（I）求动点P的轨迹C的方程;（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.（1）已知的值;(2)求||·||的最小值.参考答案：本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.解析：解法一：（I）设点P（x,y）,则Q（-1，y）,由得：(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得C：y2=4x.(II)（1）设直线AB的方程为：

x=my+1(m≠0).设A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）.联立方程组,消去x得：y2-4my-4=0,△

=(-4m)2+12>0,由得：，整理得：,∴==-2-=0.解法二：（I）由∴·，∴=0,∴所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x.(II)(1)由已知则：…………①过点A、B分别作准l的垂线，垂足分别为A1、B1,则有：…………②由①②得：（II）（2）解：由解法一：·＝（）2|y1-yM||y2-yM|

=(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2|

=(1+m2)|-4+

×4m+|

=

=4(2+m2+)

4(2+2)=16.当且仅当，即m=1时等号成立，所以·最小值为16.20.班上有四位同学申请A，B，C三所大学的自主招生，若每位同学只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学或B大学的概率；（2）求申请C大学的人数X的分布列与数学期望E（X）．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生中k次的概率计算公式能求出恰有2人申请A大学或B大学的概率．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，则P（M）==，∴恰有2人申请A大学或B大学的概率为．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，∴X的分布列为：X01234PE（X）=4×=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．21.（本小题满分13分）已知数列的前项和，

（1）求数列的通项；

（2）求数列的前项和；

参考答案：（1）当经验证，（2）22.《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1：表1：空气质量指标AQI分组表AQI0～5051～100101～150151～200201～300＞300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km）的情况．表2：AQI指数900700300100空气可见度（千米）9.5表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI指数频数统计表．表3：AQI指数[0，200]（201，400]（401，600]（601，800]（801，1000]频数361263（1）设x=，根据表2的数据，求出y关于x的回归方程；（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元．（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望．（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．（用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣x）参考答案：【考点】线性回归方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）利用公式计算线性回归方程系数，即可得到y关于x的线性回归方程；（2）（ⅰ）由表2知AQI指数不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI指数大于400的频率为0.7，确定饭馆每天的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望；（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C五种情况”，即可求出小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．【解答】解：（1），，，，所以，，所以y关于x的回归方程是．（2）由表3知AQI不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为