2022-2023学年辽宁省大连市第一百零一中学高三数学理测试题含解析

2022-2023学年辽宁省大连市第一百零一中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若,则（）A．B．C．2D．－2参考答案：B2.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积为(

) A．30 B．24 C．10 D．6参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱载去一个同底不等高的三棱锥所得，求出棱柱及棱锥的底面面积和高，代入棱柱和锥体体积公式，相减可得答案．解答： 解：由三视图知该几何体是高为5的三棱柱截去同底且高为3的三棱锥所得几何体，棱柱的体积等于=30，所截棱锥的体积为：=6，故组合体的体积V=30﹣6=24，故选：B．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键．3.若，则的夹角是

A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.已知，命题，则

A.是假命题，

B.是假命题，

C.是真命题，

D.是真命题，参考答案：D因为，所以当时，，函数单调递减，而，所以成立，全称命题的否定是特称命题，所以答案选D.5.已知向量的夹角为θ，时取得最小值，当时，夹角的取值范围为A. B. C. D.参考答案：C【知识点】向量的数量积解析：因为，,，所以，则，得，所以，则选C.【思路点拨】把所求向量用已知向量转化，再利用模的性质求出向量的模，利用最小值时对应的的范围求夹角范围即可.6.若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r，∴故选D．7.平面上O,A,B三点不共线，设，则的面积等于（

）A.

B.C.

D.参考答案：C8.下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；④命题“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【专题】规律型；探究型；构造法；导数的概念及应用；简易逻辑．【分析】令f（x）=x﹣sinx，利用导数分析其单调性，可判断①；写出原命题的逆命题，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；写出原命题的否定，可判断④．【解答】解：令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，故f（x）=x﹣sinx在R上为增函数，故x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即x＞sinx恒成立，故①正确；命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x=0，则x﹣sinx=0”，故②错误；“命题p或q为真”时，“命题p且q为真”不一定成立，“命题p且q为真”时，“命题p或q为真”成立，故“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的必要不充分条件，故③错误；④命题“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故正确．其中正确结论的个数是2个，故选：B【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，四种命题，复合命题，函数的单调性，难度中档．9.已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是()．A．是奇函数

B．是偶函数C．是非奇非偶函数

D．既是奇函数又是偶函数参考答案：A10.如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是(

)A．（） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．【解答】解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，即有a=﹣1﹣b，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：0＜﹣＜1，解得﹣2＜a＜0，∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．【点评】本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设变量x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值为．参考答案：23【考点】简单线性规划．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A（4，5）目标函数z=2x+3y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=23．故答案为：2312.已知a、b、c分别是锐角△ABC的角A、B、C所对的边，且，，若，则a=______；参考答案：【分析】利用三角函数恒等变换将条件进行化简得，由正弦定理，得，根据余弦定理解得的值．【详解】，由已知得，又，，由正弦定理，得．由，，根据余弦定理得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用、正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想．13.的展开式中的常数项等于

.（用数字作答）参考答案：由二项展开式的通项公式，∴，展开式中的常数?,∴，∴常数项，∴答案14.已知函数f（x）=，若f（4）＞1，则实数a的取值范围是．参考答案：a＜考点： 分段函数的应用．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据分段函数的表达式，解不等式即可得到结论．解答： 解：由分段函数的表达式可知，f（4）=f（）=f（﹣2）=﹣2（3a﹣1）+4a=2﹣2a，若f（4）＞1，则2﹣2a＞1，即2a＜1，解得，故答案为：点评： 本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式分别进行求解和化简是解决本题的关键15.直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=16相交于两点M、N，若c2=a2+b2，P为圆O上任意一点，则的取值范围是

．参考答案：[-6,10]【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN．由点到直线的距离公式算出OA=1，从而在Rt△AON中，得到cos∠AON=，得cos∠MON=﹣，最后根据向量数量积的公式即可算出?的值，运用向量的加减运算和向量数量积的定义，可得=2﹣8cos∠AOP，考虑，同向和反向，可得最值，即可得到所求范围．【解答】解：取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，∵c2=a2+b2，∴O点到直线MN的距离OA==1，x2+y2=16的半径r=4，∴Rt△AON中，设∠AON=θ，得cosθ==，cos∠MON=cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣1=﹣，由此可得，?=||?||cos∠MON=4×4×（﹣）=﹣14，则=（﹣）?（﹣）=?+2﹣?（+）=﹣14+16﹣2?=2﹣2||?||?cos∠AOP=2﹣8cos∠AOP，当，同向时，取得最小值且为2﹣8=﹣6，当，反向时，取得最大值且为2+8=10．则的取值范围是[-6,10]．16.在△ABC中，“”是“”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C在中，，则；若，则.∴在中，“”是“”的充要条件，故选C.17.若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为________．参考答案：1或-3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）证明：；（2）若，且的面积为，求.参考答案：（1）根据正弦定理，由已知得：，展开得：，整理得：，所以，.（2）由已知得：，∴，由，得：，，∴，由，得：，所以，，由，得：.19.

已知函数

（Ⅰ）当时，求函数的最大值；

（Ⅱ）当时，曲线在点处的切线与有且只有一个公共

点，求的值.参考答案：（Ⅰ）时,,在上,在上,故(Ⅱ)由题设知：切线的方程为,于是方程:即有且只有一个实数根;设,得;①当时，,为增函数,符合题设;②当时，有得在此区间单调递增,;在此区间单调递减,;在此区间单调递增,;此区间存在零点,即得不符合题设.

综上可得.略20.（2017?白山二模）已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）求得不等式f（x）≤2的解集，再根据不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求得实数m的值．（2）由题意可得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值大于或等于t﹣2，求得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值，可得t的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤2得，|x﹣m|≤3，解得m﹣3≤x≤m+3，又已知不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得m=2．（2）当m=2时，f（x）=|x﹣2|﹣1，由于f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，则|x﹣2|+|x+3|﹣2≥t﹣2对一切实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|≥t对一切实数x恒成立，设g（x）=|x﹣2|+|x+3|，于是，所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5，∴t≤5，即t的取值范围为（﹣∞，5]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．21.已知函数是定义在上的奇函数,当时,(其中e是自然界对数的底,)（1）求的解析式;（2）设，求证：当时，且，恒成立；（3）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

参考答案：(1)(2)略(3)存在实数，使得当时，有最小值３解析：解：（1）设，则，所以又因为是定义在上的奇函数，所以故函数的解析式为（2）证明：当且时，，设因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以

又因为，所以当时，，此时单调递减，所以所以当时，即

（3）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，则（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，[来源:学&，不满足最小值是３（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，，也不满足最小值是３（ⅲ）当，由于，则，故函数是上的增函数．所以，解得（舍去）（ⅳ）当时，则当时，，此时函