小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)

小学数学《三角形的等积变形》练习题（含答案）内容概述我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等．②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，和夹在一组平行线之间，且有公共底边那么；反之，如果，则可知直线平行于。例题精讲【例1】如右图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长。求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？【例3】用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．【例4】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF的面积。【例5】如右图，三角形ABC的面积是144平方厘米，BD=18厘米，DC=6厘米，AE=10厘米，EC=5厘米。求：三角形ADE的面积。【例6】如右图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米?【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？【例9】如右图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？【例10】如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．【例11】如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．【例12】如右图，三角形ABG和三角形ECF是两个完全一样的直角三角形，AB=10，BC=7，ED=4。求四边形EDGF的面积。【例13】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？习题二1．如图（1），在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？2．如图（2），在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？3．如图（3），在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？4.如图（3），在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．5．右图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（）平方厘米。6．如右图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF．例题精讲【例1】如右图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长。求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？分析：因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形ABD的面积=12×高÷2=6×高三角形ABC的面积=（12+4）×高÷2=8×高三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底的倍数【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？分析：因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，于是：三角形ABC的面积=BC×12÷2=BC×6三角形EBC的面积=BC×3÷2=BC×1.5所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍。巩固理解结论：两个三角形等底时，面积的倍数=高的倍数【例3】用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．分析：法1：如图（1），将BC边四等分，连接各等分点，则△ABD、△ADE、△AEF、△AFC面积相等。法2：如图（2），D是BC的二等分点，E、F是AC、AB的中点，从而得到四个等积三角形△ADF、△BDF、△DCE、△ADE．

法3：如图（3），D是BC的四等分点，E、F是AD的三等分点，从而得到△ABD、△AEC、△ECF、△FCD面积相等。【例4】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF的面积。分析：三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半24÷2=12，三角形ADE又是三角形ADC面积的一半12÷2=6。三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积=6÷2=3。【例5】如右图，三角形ABC的面积是144平方厘米，BD=18厘米，DC=6厘米，AE=10厘米，EC=5厘米。求：三角形ADE的面积。分析：BD是DC的3倍，所以三角形ADC的面积是：144÷（3+1）=36（平方厘米）；AE是EC的2倍，三角形CDE的面积是：36÷（2+1）=12（平方厘米）；所以三角形ADE的面积是12×2=24（平方厘米）。【例6】如右图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米?分析：连结FB.三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的(3×2)=6倍．因此，平行四边形的面积为8×6=48(平方厘米)．【例7】图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.分析：【例8】（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如右图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是？分析：连结AE、BF、CD(如右下图).由于三角形AEB与三角ABC的高相等，而底边EB=2BC，所以三角形AEB的面积是2.同理，三角形CBF的面积是3，三角形ACD的面积是1.类似地：三角形AED的面积=三角形AEB的面积=2.三角形BEF的面积=2×(三角形CBF的面积)=6.三角形CFD的面积=3×(三角形ACD的面积)=3.于是三角形DEF的面积等于三角形ABC、AEB、CBF、ACD、AED、BEF、CFD的面积之和，即1+2+3+1+2+6+3=18.【例9】如右图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？分析：连结BG，在△ABG中，∴S△ADG+S△BDE+S△CFG【例10】如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．分析：本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．具体做法：①连结BD；②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．【例11】如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．分析：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；∴S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．【例12】如右图，三角形ABG和三角形ECF是两个完全一样的直角三角形，AB=10，BC=7，ED=4。求四边形EDGF的面积。分析：因为三角形ABC与三角形ECF的面积相等，所以三角形ABC－小三角形DCG=三角形ECF-小三角形DCG，所以，四边形EDGF的面积=四边形ABCD的面积=（10+6）×7÷2=56。【例13】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？分析：法1：三角形BEF的面积=BE×EF÷2，梯形EFDC的面积=（EF+CD）×CE÷2=BE×EF÷2=三角形BEF的面积，而四边形CEFH是它们的公共部分，所以三角形DHF的面积=三角形BCH的面积，进而可得阴影面积=三角形BDF的面积=三角形BCD的面积=10×10÷2=50（平方厘米）。法2：连接CF，那么CF平行BD，所以，阴影面积=三角形BDF的面积=三角形BCD的面积=50（平方厘米）。附加题目【附1】如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．分析：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S△DBC=S2，所以S△CGF=S△DFC=2S2．同理S△AEH=2S1，因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）．【附2】如图，在△ABC中，DC=3BD，DE=EA，若△ABC面积是2，则阴影部分的面积是多少？分析：连结FD，由AE=ED可知：S△AFE=S△EFD，S△AEC＝S△DCE由DC=3BD，可知：S△DCF=3S△BDF．因此S△ABC=（1+3＋3）×S△BDF=7S△BDF【附3】（北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛）如右图BE=1/3BC，CD=1/4AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______.分析：图中，三角形AEC与三角形ABC的高相等，而BE=1/3BC，于是EC=2/3BC，又由于三角形AED与三角形AEC的高相等，而CD=1/4AC,于是AD=3/4AC,所以，三角形AED的面积=3/4×三角形AEC的面积=.=【附4】（北京市第四届“迎春杯”刊赛）下图中三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB，BD=2BC，那么三角形BED的面积是________.分析：连接辅C助线E.(三角形BCE的面积)︰(三角形DCE的面积)=BC﹕CD=1﹕1，所以三角形BCE的面积等.于三角形DCE的面积.又因为(三角形BCE的面积)︰l=BE﹕AB=2﹕1，所以三角形BCE的面积等于2.因此三角形BDE的面积等于2+2=4.【附5】（第四届《小数报》数学竞赛初赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大l0平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积．分析：如右图，作AB的平行线DE．三角形BDE的面积与三角形ABD的面积相等，三角形DEC的面积就是三角形BDC与三角形ABD的面积差(10平方分米)．从而，可求出梯形高(三角形DEC的高)是：2×10÷5=4（分米），梯形面积是：1/2×15×4=30(平方分米)．【