2022-2023学年河南省南阳市新兴中学高二数学文月考试题含解析

2022-2023学年河南省南阳市新兴中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知—l—β是大小确定的一个二面角，若a、b是空间两条直线，则能使a、b所成角的为定值的一个条件是A．a//且b//β

B．a//且b⊥β C．a⊥且b//β

D．a⊥且b⊥β参考答案：D2.把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比化学先上，则不同的排法有

（）A．48

B．24

C．60

D．120

参考答案：C6.等于

A

B

C

D

参考答案：B略4.函数f（x）=3x﹣4x3（x∈[0，1]）的最大值是（）A．1 B． C．0 D．﹣1参考答案：A【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求导数，根据函数的单调性研究出函数的极值点，连续函数f（x）在区间（0，1）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，从而求出所求．【解答】解：f'（x）=3﹣12x2=3（1﹣2x）（1+2x）令f'（x）=0，解得：x=或（舍去）当x∈（0，）时，f'（x）＞0，当x∈（，1）时，f'（x）＜0，∴当x=时f（x）（x∈[0，1]）的最大值是f（）=1故选A．5.函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，则A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.已知z是纯虚数，是实数，那么z等于

A．2i

B．i

C．－i

D．－2i参考答案：D7.数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n=A．13

B．10

C．9

D．6参考答案：D略8.如图，在棱长为2的正方体中，O是

底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，

那么异面直线OE和所成角的余弦值等于

(A)

(B)．

(C)

(D)参考答案：B9.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为(

)A．7 B．15 C．25 D．35参考答案：B【考点】分层抽样方法．【分析】先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．【解答】解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样本容量为．故选B【点评】本题考查基本的分层抽样，属基本题．10.设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+1=2an+1，n∈N*，则a3=（）A．3 B．2 C．1 D．0参考答案：A【考点】数列递推式．【分析】Sn+1=2an+1，n∈N*，则n=2时，可得：a2=a1+1．n=2时，a1+a2+a3=2a2+1，可得：a3．【解答】解：Sn+1=2an+1，n∈N*，则n=2时，a1+a2=2a1+1，可得：a2=a1+1．n=2时，a1+a2+a3=2a2+1，可得：a3=2×1+1=3．故选：A．【点评】本题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合,则的值

.参考答案：412.不等式组表示平面区域的面积为____________；参考答案：1613.已知函数则等于

.参考答案：1略14.不等式在R上的解集为，则的取值范围是_________.参考答案：略15.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是

▲

．参考答案：(x－2)2＋(y+)2＝设圆的圆心坐标，半径为，因为圆经过坐标原点和点，且与直线相切，所以，解得，所求圆的方程为，故答案为.

16.抛物线的的方程为，则抛物线的焦点坐标为____________参考答案：17.为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

理科文科合计男1310[学优23女72027合计203050已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k＝≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为__________．参考答案：5%略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．（Ⅰ）求证：AD⊥BF：（Ⅱ）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角D﹣AP﹣C的余弦值为，求PF的长度．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）利用面面垂直的性质，可得AD⊥平面ABEF，即可证明AD⊥BF；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求得=（﹣，0，1），=（﹣1，﹣1，），利用向量的夹角公式，即可求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（Ⅱ）设P点坐标为（0，2﹣2t，t），求得平面APF的法向量为=（1，0，0），平面APC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．【解答】（Ⅰ）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，所以AD⊥平面ABEF，因为BF?平面ABEF，所以AD⊥BF；（Ⅱ）解：因为∠BAF=90°，所以AF⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz．所以B（1，0，0），E（，0，1），P（0，1，），C（1，2，0）．所以=（﹣，0，1），=（﹣1，﹣1，），所以cos＜，＞=，即异面直线BE与CP所成角的余弦值为．（Ⅲ）解：因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为=（1，0，0）．设P点坐标为（0，2﹣2t，t），在平面APC中，=（0，2﹣2t，t），=（1，2，0），所以平面APC的法向量为=（﹣2，1，），所以cos＜，＞==，解得t=，或t=2（舍）．此时|PF|=．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=．（Ⅰ）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（Ⅱ）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与

SB所成角的大小；（Ⅲ）求点D到平面SBC的距离．

参考答案：（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，∴CD⊥平面SAD，AD⊥平面SDC，又在Rt△SDB中，．……1分以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，．

…………2分设平面SBC的法向量为，则，，∵，，∴，∴可取…4分∵CD⊥平面SAD，∴平面SAD的法向量．

……………5分∴，∴面ASD与面BSC所成二面角的大小为45°．……6分（Ⅱ）∵，∴，，又∵，∴DM⊥SB，

∴异面直线DM与SB所成角的大小为90°．

………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）平面SBC的法向量为，∵，∴在上的射影为，∴点D到平面SBC的距离为．………12分略20.某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x（百台），其总成本为万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收入满足，假设该产品产销平衡，根据上述统计数据规律求：（Ⅰ）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（Ⅱ）工厂生产多少台产品时盈利最大？参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）600.试题分析：（Ⅰ）由于销售收入是一个关于产品数量x的一个分段函数，另外计算工厂的盈利需要将销售收入r（x)减去总的成本g（x)万元，所以在两段函数中分别求出盈利大于零的时候产品数量的范围，及可求得结论；（Ⅱ）通过二次函数的最值的求法即可得到盈利最大值时对应的产品数x的值，本小题单位的转化也是易错点.试题解析：解：依题意得，设利润函数为，则，所以2分（Ⅰ）要使工厂有盈利，则有f（x)＞0，因为f（x)＞0?，4分???或，6分即.7分所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内．8分（Ⅱ）当时，故当x＝6时，f（x)有最大值4.5.

10分而当x＞7时，.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大．

12分考点：函数的综合应用.21.如图，已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，右顶点到右准线的距离为2，离心率为．过椭圆的左焦点F1任意作一条直线l与椭圆交于A，B两点．设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当直线l的斜率k=1时，求三角形ABF2的面积；（3）当直线l绕F1旋转变化时，求三角形ABF2的面积的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由=2，e==，求得a和c的值，b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的标准方程；（2）由（1）可知：直线l的方程为y=x+1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得△ABF2的面积；（3）设直线l的方程为x=my﹣1，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及函数的单调性记录求得△ABF2的面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可知：=2，e==，解得：a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）直线l的方程为y=x+1，则，整理得：7y2﹣6y﹣9=0，则y1+y2=，y1?y2=﹣，丨y1﹣y2丨==，∴三角形ABF2的面积S=×2c×丨y1﹣y2丨=；三角形ABF2的面积；（3）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为x=my﹣1，，整理得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由韦达定理可知：y1+y2=，y1?y2=﹣，丨y1﹣y2丨==，设t=t≥1，则m2=t2﹣1，丨y1﹣y2丨===，f（t）=3t+，f′（t）=3﹣＞0，函数f（t）单调递增，则当t=1时，丨y1﹣y2丨有最大值3，故三角形ABF2的面积的最大值为S=×2c×丨y1﹣y2丨max=3，综合可知：△ABF2的面积的最大值．22.在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为.(1).建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.(2).过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N两点，求的最小值的集合.参考答案：解析：(1)以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设|CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距2c=|AB|=6.