2021年湖北省武汉市长江轮船公司第一中学高二数学文模拟试题含解析

2021年湖北省武汉市长江轮船公司第一中学高二数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（多选题）已知函数，则以下结论正确的是(

)A.f(x)在R上单调递增 B.C.方程有实数解 D.存在实数k，使得方程有4个实数解参考答案：BCD【分析】求导得到函数的单调性得到错误；判断得到正确；根据得到正确；构造函数，画出函数图象知正确，得到答案.【详解】，则，故函数在上单调递减，在上单调递增，错误；，根据单调性知，正确；，，故方程有实数解，正确；，易知当时成立，当时，，设，则，故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且.画出函数图象，如图所示：当时有3个交点.综上所述：存在实数，使得方程有个实数解，正确；故选：.

【点睛】本题考查了函数的单调性，比较函数值大小，方程解的个数，意在考查学生对于函数知识的综合应用.2.在中,，,点在上且满足,则等于(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：D3.有一段“三段论”，其推理是这样的“对于可导函数f(x)，若，则是函数f(x)的极值点，因为函数满足，所以x=0是函数的极值点”，以上推理（

）A．大前提错误

B．小前提错误

C.推理形式错误

D．没有错误参考答案：A因为导数为零的点不一定为极值点，所以大前提错误,因此选A.

4.已知f(x)是定义在R上的函数，满足，，当时，，则函数的最大值为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由题意可知，函数是以为周期的周期函数，且为奇函数，求出函数在区间上的最大值即可作为函数在上的最大值.【详解】，，则函数为奇函数，则.由，所以，函数是以为周期的周期函数，且，又，所以，.当时，，那么当时，，所以，函数在区间上的值域为，因此，函数的最大值为，故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性与函数的最值，解题时要充分注意函数的最值与单调性、周期性之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5.已知全集，集合，，则为(

)

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略6.设函数，以下结论一定错误的是()A．

B．若，则x的取值范围是(－2,3).C．函数在(－∞,+∞)上单调递增

D．函数f(x)有零点参考答案：B7.已知f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2 B．e C． D．ln2参考答案：B【考点】导数的运算．【分析】先对函数进行求导，然后根据f′（x0）=2，建立等式关系，解之即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=xlnx，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1，∵f′（x0）=2，∴f′（x0）=lnx0+1=2，解得x0=e，∴x0的值等于e．故选：B．8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(

)A．6 B．9 C．12 D．18参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．9.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（

）A． B．

C．

D．参考答案：C10.正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是线段A1C1上一动点，那么直线CE恒垂直于A.AC

B.BD

C.A1D

D.A1D1参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是函数的导数，有，，若，则实数的取值范围为

．参考答案：12.右图是一个下半部分为正方体、上半部分为正三棱柱的盒子(中间连通)，若其表面积为，则其体积为

．参考答案：13.从点向圆C:引切线，则该切线方程是____________.参考答案：略14.已知数列{an}满足a1=1，an=（n∈N*），则它的通项公式an=．参考答案：【分析】判断数列的项的符号，利用平方关系转化求解它的通项公式an即可．【解答】解：数列{an}满足a1=1，an=（n∈N*），可知an＞0，可得：，所以数列{an2}是等差数列，公差为1，可得an2=n，解得：an=．故答案为：．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．15.对于函数，在使恒成立的所有常数M中，我们把其中的最大值称为函数的“下确界”，则函数的“下确界”为

.参考答案：16.已知定义在上的偶函数满足，且在区间[0，2]上．若关于的方程有三个不同的根，则的范围为

．参考答案：17.函数的零点的个数为

.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设正项数列的前项和为，对任意都有成立．（1）求数列的前n项和；（2）记数列，其前n项和为．①若数列的最小值为，求实数的取值范围；②若数列中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意，都有，且．若存在，求实数的所有取值；若不存在，请说明理由．参考答案：⑴法一：由得：①，②，②-①得由题知得，

………3分又得；

………6分法二：由得：得时得即所以；

………6分⑵①由最小值为即则；………8分②因为是“封闭数列”，设（，且任意两个不相等）得，则为奇数………9分由任意，都有，且得，即的可能值为1,3,5,7,9，

………11分又>0，因为

………12分检验得满足条件的=3,5,7,9，

………15分即存在这样的“封闭数列”，使得对任意，都有，且，所以实数的所有取值集合为．

………16分

19.设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（0，）的距离比点P到x轴的距离大．（1）求点P的轨迹方程；（2）若直线l：y=kx与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|=2，求k的值．（3）设点P的轨迹是曲线C，点Q（1，y0）是曲线C上的一点，求以Q为切点的曲线C的切线方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）过P作x轴的垂线且垂足为N，由题意可丨PM丨﹣丨PN丨=，．由y≥0，|PN|=y，知=y﹣，由此能求出点P的轨迹方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线方程，求得A和B点坐标，利用两点之间的距离公式即可求得k的值；（3）由Q（1，y）是曲线C上一点，则x2=2y，y=，求得切点坐标，由函数，求导得y'=x，由此能求出以Q为切点的曲线C的切线方程．【解答】解：（1）过P作x轴的垂线且垂足为N，由题意可知：丨PM丨﹣丨PN丨=，而y≥0，∴|PN|=y，∴=y﹣，化简得x2=2y（y≥0）为所求的方程．…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，解得：，，A（0，0），B（2k，2k2）则丨AB丨=，∴k4+k2﹣6=0而k2≥0，∴k2=2，∴k=±，∴k的值±．…（3）Q（1，y）是曲线C上一点，∴x2=2y，y=，∴切点为（1，），由y=x2，求导得y'=x，∴当x=1时k=1，则直线方程为y﹣（x﹣1），即2x﹣2y﹣1=0是所求切线方程．…20.的近似值（精确到）是多少？参考答案：

解析：21.已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）把a=﹣4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最大值及相应的x值；（2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a≥0和a＜0讨论函数的单调性，特别是当a＜0时，求出函数f（x）在[1，e]上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x∈[1，e]时，方程f（x）=0根的个数．【解答】解：（1）当a=﹣4时，f（x）=﹣4lnx+x2，函数的定义域为（0，+∞）．∴令f'（x）=0得，或舍去．∵时，f'（x）＜0．∴函数f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4，∴函数f（x）在[1，e]上的最大值为e2﹣4，相应的x值为e；（2）由f（x）=alnx+x2，得若a≥0，则在[1，e]上f′（x）＞0，函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；若a＜0，由f′（x）=0，得x=或x=﹣（舍去）若≤1，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；若≥e，即a≤﹣2e2，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为减函数，由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0，∴方程f（x）=0在[1，e]上有1个实数根；若1＜＜e，即﹣2e2＜x＜﹣2，f（x）在[1，）上为减函数，在[，e]上为增函数，由f（1）=1＞0，f（e）=e2+a．f（x）min=f（）=aln+（）2=．当＜e，即﹣2e＜a＜﹣2时，f（）＞0，方程f（x）=0的根的个数是0；当a=﹣2e时，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1；当﹣e2≤a＜﹣2e时，f（）＜0，f（e）=a+e2≥0，方程f（x）=0的根的个数是2；当﹣2e2＜a＜﹣e2时f（）＜0，f（e）=a+e2＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1．【点评】本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，此题是有一定难度题目．22.在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．参考答案：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD．（2）解析：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直