河南省周口市乡陶母岗中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析

河南省周口市乡陶母岗中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.中，，点M在边AB上，且满足，则（）A．

B．1

C．2

D．参考答案：B2.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（A）（B）（C）（D）参考答案：B由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为，侧面积为，所以表面积为，选B.3.复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由=﹣i，得，然后利用复数代数形式的除法运算化简，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．4.在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次．设命题是“甲落地站稳”,是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（

）（A）

（B） （C）

（D）参考答案：D略5.棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D.解析：正方体对角线为球直径，所以，在过点E、F、O的球的大圆中，由已知得d=，，所以EF=2r=。6.设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图像为参考答案：B略7.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当n＞1时，Sn=（）A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）参考答案：A【考点】数列递推式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵Sn=2an+1，a1=1，∴a1=2a2，解得a2=．当n≥2时，Sn﹣1=2an，∴an=2an+1﹣2an，化为=．∴数列{an}从第二项起为等比数列，公比为．∴Sn=2an+1=2××=．故选：A．【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.已知圆C：的圆心为抛物线的焦点，直线与圆C相切，则该圆的方程为

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A略9.双曲线的左右顶点分别为A1，A2，右支上存在点P满足（其中分别为直线的倾斜角），则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D10.若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（

）A．－2

B．

C．

D．2参考答案：C，且是纯虚数，，故选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正项等比数列的前项积为，已知，则参考答案：考点：等比数列.【思路点晴】本题主要考查等比数列的性质，考查新定义数列的理解，考查指数运算和指数相等的概念.在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项.若数列是等比数列，且公比不为，是其前项的和，，那么，，成等比数列.12.函数的值域是

。参考答案：13.已知一正整数的数阵如下则第7行中的第5个数是______________．参考答案：26略14.已知函数，给出下列四个结论：

①若，则；

②的最小正周期是；

③在区间上是增函数；

④的图象关于直线对称．

其中正确的结论是

.参考答案：③④略15.已知，则的最小值为

▲

．

参考答案：2由得且，即。所以，所以的最小值为2.16.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，当tan（A﹣B）取最大值时，角C的值为．参考答案：考点： 两角和与差的正切函数；正弦定理的应用．

专题： 压轴题；三角函数的求值．分析： 利用正弦定理及诱导公式化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系弦化切后得到tanA=3tanB，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A﹣B），将tanA=3tanB代入，利用基本不等式变形，求出tan（A﹣B）取得最大值时tanA与tanB的值，进而确定出A与B的度数，即可此时得到C的度数．解答： 解：利用正弦定理化简已知的等式得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin（A+B）=（sinAcosB+cosAsinB），整理得：sinAcosB=3cosAsinB，两边除以cosAcosB得：tanA=3tanB，则tan（A﹣B）===，∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号，∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0，∴3tanB+≥2，当且仅当3tanB=，即tanB=时取等号，∴tanA=3tanB=，∴A=，B=，则C=．故答案为：点评： 此题考查了两角和与差的正切函数公式，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．17.设点为原点，点的坐标分别为，其中是正的常数，点在线段上，且，则的最大值为

▲

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。

（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？参考答案：解析：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，

要耗没（升）。

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，

依题意得

令得

当时，是减函数；

当时，是增函数。

当时，取到极小值

因为在上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。19.（12分）在锐角△ABC中，=（1）求角A；（2）若a=，求bc的取值范围．参考答案：【考点】：正弦定理；余弦定理．【专题】：计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】：（1）由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知整理可得sin2A=1，从而可求A的值．（2）由（1）及正弦定理可得bc=，根据已知求得角的范围，即可求得bc的取值范围．解：（1）由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB，，∴sin2A=1且，（2），又，∴b=2sinB，c=2sinC，bc=2sin（135°﹣C）?2sinC=，，∴．【点评】：本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．20.设函数f（x）=，（a＞0，b∈R）（1）当x≠0时，求证：f（x）=f（）；（2）若函数y=f（x），x∈[，2]的值域为[5，6]，求f（x）；（3）在（2）条件下，讨论函数g（x）=f（2x）﹣k（k∈R）的零点个数．参考答案：【考点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）把f（x）中的x换上便可求出，整理之后便可得出f（x）=；（2）将f（x）变成，求导数，判断导数符号：x∈[）时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0，从而得出x=1时f（x）取到最小值5，并且f（）=f（2）=6，从而得到，这样即可解出a=2，b=1，从而得出f（x）=；（3）先求出g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k，根据（2）便可判断g（x）的单调性，从而得出g（x）最小值为5﹣k，这样讨论5﹣k和0的关系即可得出g（x）零点的情况．【解答】解：（1）证明：；∴；（2），；∵，a＞0；∴时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0；∴x=1时f（x）取最小值6，即2a+b=5；∴f（）=6，或f（2）=6；∴；解得a=2，b=1；∴；（3）g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k；y=2x为增函数；∴由（2）知，2x＜1，即x＜0时，g（x）单调递减，x＞0时，g（x）单调递增；∴x=0时，g（x）取到最小值5﹣k，x趋向正无穷和负无穷时，g（x）都趋向正无穷；∴①5﹣k＜0，即k＞5时，g（x）有两个零点；②5﹣k=0，即k=5时，g（x）有一个零点；③5﹣k＞0，即k＜5时，g（x）没有零点．【点评】考查已知f（x）求f[g（x）]的方法，根据导数符号判断函数的单调性及求函数在闭区间上的最值的方法，复合函数单调性的判断，以及函数零点的概念及零点个数的判断．21.（本小题满分16分）设数列{an}是一个公差不为零的等差数列，且a5＝6．（1）当a3＝3时，请在数列{an}中找一项am(m＞5)，使a3，a5，am成等比数列；（2）当a3＞1时，如果存在自然数m1，m2，…，mt，…，满足5＜m1＜m2＜…＜mt＜…，且a3，a5，am，am，…，am，…构成一个等比数列，求a3的一切可能值；（3）在（2）中的a3取最小正整数值时，求证：＜．参考答案：1）因为a52＝a3am，所以am＝＝12．

设数列{an}的公差为d．

则am＝a3＋(m－3)d＝3＋(m－3)×＝12，

所以m＝9．

…5分（2）因为数列{an}是一个公差不为零的等差数列，且a5＝6，

所以am＝a3＋(mt－3)×(mt＞5，mt?N*)

又

am＝a3()t＋1，故

a3()t＋1＝a3＋(mt－3)×，即

＝(mt－3)×，故

＝(mt－3)×．由a3≠a5，所以a3≠6．mt＝5＋2[()t＋()t－1＋…＋()]，t?N*．当t＝1时，m1＝5＋2×＝5＋．由m1?N*，且a3＞1，则＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．

当t＝2时，m2＝5＋2×[()2＋]，所以为奇数时，m2不为整数，不符合．所以，＝2，4，6，8，10．从而a3＝6，3，2，，，又因为数列{an}是一个公差不为零的等差数列，且a3≠6．所以a3＝3，2，，．经检验均满足题意．