广东省茂名市信宜第一高级中学高三数学文联考试卷含解析

广东省茂名市信宜第一高级中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设点为有公共焦点，的椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C.考点：椭圆与双曲线的标准方程及其性质.【思路点睛】1.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于，的齐次式，进而求解；2.要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征的运用.2.已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q=（）A．1或﹣B．1C．﹣D．﹣2参考答案：A考点：等比数列的通项公式；等差数列的性质．专题：计算题．分析：由a1，a3，a2成等差数列直接求解，由已知a1，a3，a2成等差数列可得4a2=4a1+a3，结合等比数列的通项公式可求公比q的值．解答：解：∵a1，a3，a2成等差数列∴2a1q2=a1+a1?q∴q=1或﹣故选A．点评：本题主要考查了等比数列的性质、通项公式及等差数列的性质，以及运算能力．属基础题．3.已知函数在内有零点，则的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（

）A．3

B．2

C．1

D．

参考答案：B略5.已知命题p：函数(a≠0)在(0，1)内恰有一个零点；命题q：函数在(0，+)上是减函数．若p且为真命题，则实数a的取值范围是(

)

A．a>1

B．a≤2

C．1<a≤2

D．a≤l或a>2参考答案：C略6.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为A．4650元

B．4700元

C．4900元

D．5000元参考答案：C7.已知平面向量，若与垂直，则（

）A．

B．1

C．

D．2参考答案：B8.已知集合=

（

）

A．B．C．

D．{—2，0}参考答案：C9.已知点P是锐角△ABC所在平面内的动点，且满足，给出下列四个命题：①点P的轨迹是一条直线；②恒成立；③；④存在点P使得．则其中真命题的序号为（）A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】①由，得⊥，点P的轨迹是CB边的高线所在的直线；②由?=?，得||cos＜，＞=||cos＜，＞，不一定成立；由cos＜，＞≤1，||cos＜，＞=||cos＜，＞，得；④⊥时，以PC、PB为邻边所作的平行四边形是矩形，得|+|=||正确．【解答】解：对于①，由，得?（﹣）=0，∴?=0，∴⊥，∴点P的轨迹是CB边的高线所在的直线，①正确；对于②，由?=?，得||×||cos＜，＞=||×||cos＜，＞，即||cos＜，＞=||cos＜，＞，∴不一定成立，②错误；对于③，由cos＜，＞≤1，||cos＜，＞=||cos＜，＞，得，③正确；对于④，当⊥时，以PC、PB为邻边所作的平行四边形是矩形，因此存在点P使|+|=||，④正确．综上，其中真命题的序号为①③④．故选：D．10.若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（）A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．1参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=3x﹣4y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=y=1时，z达到最大值﹣1．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，3），C（1，1），B（3，3）．设z=F（x，y）=3x﹣4y，将直线l：z=3x﹣4y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点C时，目标函数z达到最大值，∴z最大值=F（1，1）=﹣1，故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从2位男同学和8位女同学中选两人参加志愿者活动，假设每位同学选到的可能性都相同，则选到两位性别相同的同学的概率是

．（结果用最简分数表示）参考答案：

12.已知cos（﹣α）=，则sin2α=．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】先利用差角的余弦公式展开，再两边平方，即可求得sin2α的值．【解答】解：∵cos（﹣α）=∴cosα+sinα=两边平方得：（1+2sinαcosα）=∴sin2α=故答案为：．【点评】本题考查差角的余弦公式，考查二倍角的正弦公式，解题的关键是利用差角的余弦公式展开，再两边平方．13.定义为个正数的“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又，则

．参考答案：

14.对任意不等式恒成立,则实数的取值范围是

．参考答案：考点：换元法及绝对值不等式的求解和运用．15.已知向量,，，且为锐角，则角=__________．参考答案：16.关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R),有下列命题：①y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；②y=f(x)可改写为y=4cos(2x-);③y=f(x)的图象关于（-,0)对称；④y=f(x)的图象关于直线x=-对称.其中正确的序号为

.参考答案：（本小题满分13分）已知sin2α＝，α∈.

(1)求cosα的值．(2)求满足sin(α－x)－sin(α＋x)＋2cosα＝－的锐角x.解：(1)因为π＜α＜π，所以π＜2α＜3π，所以cos2α＝－＝－.又因为cos2α＝2cos2α－1，所以cosα＝－.(2)因为sin(α－x)－sin(α＋x)＋2cosα＝－，所以2cosα·(1－sinx)＝－，所以sinx＝.

因为x为锐角，所以x＝.略17.某小组9个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该小组同学数学成绩的众数是

.参考答案：101.考点：1、茎叶图.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰等腰三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．（1）若G为线段DF的中点，求证：EG∥平面ABCD；（2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）以B为原点，BA，BF，BC分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABCD的一个法向量，通过，推出，即可证明EG∥平面ABCD．（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直线BN与平面FCD所成角的余弦值为，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值为，求出平面FCD的法向量，设线段FD上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于，设，通过向量的数量积，转化求解λ，推出当N点与D点重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值为．【解答】解：（1）证明：因为DA⊥AE，DA⊥AB，AB∩AE=A，故DA⊥平面ABFE，故CB⊥平面ABFE，以B为原点，BA，BF，BC分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则F（0，2，0），D（2，0，1），，E（2，1，0），C（0，0，1），所以，易知平面ABCD的一个法向量，所以，所以，又EG?平面ABCD，所以EG∥平面ABCD．（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直线BN与平面FCD所成角的余弦值为，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值为，因为，设平面FCD的法向量为，由，得，取y1=1得平面FCD的一个法向量假设线段FD上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于，设，则，，所以，所以9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去）因此，线段DF上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值为．19.已知函数，.（Ⅰ）若不等式对恒成立，求正实数m的取值范围；（Ⅱ）设实数t为（Ⅰ）中m的最大值.若正实数a、b、c满足，求的最小值.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）8.【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式可求的最小值为，从而有，结合可得的取值范围.（Ⅱ）利用基本不等式可求的最小值.【详解】（1），当且仅当时等号成立，，解得，正实数的取值范围为.（2）由（1）知，，即.，，，当且仅当时取得最小值为8.【点睛】本题考查绝对值不等式以及基本不等式的应用，注意绝对值不等式中，等号成立的条件是，而用基本不等式求最值时，注意验证等号成立的条件.20.如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为边长为2的等边三角形，，为中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求点B到平面的距离．参考答案：证明：（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，----------2分又为等腰三角形，故，且，从而．所以为直角三角形，．又．所以平面．----------------------5分（Ⅱ）设B到平面SAC的距离为，则由（Ⅰ）知：三棱锥即------7分∵为等腰直角三角形,且腰长为2.∴∴

---------8分∴△SAC的面积为=△ABC面积为,∴,∴B到平面SAC的距离为

----------------12分21.已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若的最大值为，对任意不想等的正实数，证明：.参考答案：(1)不等式，即，此不等式等价于或或解得，或，或.所以不等式的解集为.(2)，因为，当且仅当时，取等号，所以，即，因为为正实数，所以，当且仅当时，取等号.即.22.（本小题满分13分）已知函数.（I）当时，求函数的单调区间；（II）设，且函数在点处的切线为，直线//，且在轴上的截距为1.求证：无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方.参考答案：（I）函数的单调递增区间为；单调递减区间位；（II）祥见解析.试题分析：（I）求出函数的导函数，在的条件下列出的单调性与符号的变化情况，即可写出函数的单调区间；（II）首先利用导数的几何意义求出函数在点处的切线为的斜率，从而就可写出直线的方程为；构造函数则无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方，等价于，再利用导数证明即可.试题解析：（I）解：................2分所以，时，与的变化情况如下：因此，函数的单调递增区间为；

单调递减区间位

......................6分（II）证明：所以所以的斜率为

...................7分因为//，且在轴上的截距为所以直线的方程为

.................8分令则无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方，等价于