湖南省长沙市第十中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析

湖南省长沙市第十中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中，真命题是（）A．B．?x∈（0，π），sinx＞cosxC．D．?x∈（0，+∞），ex＞x+1参考答案：D【考点】2I：特称命题；2H：全称命题．【专题】2A：探究型；35：转化思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据三角函数相关概念，可判断A，B，利用配方法，可判断C；构造函数求导，可判断D．【解答】解：?，故A是假命题；当x∈（0，]时，sinx≤cosx，故B是假命题；，故C是假命题；令f（x）=ex﹣x﹣1，则f′（x）=ex﹣1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数，故f（x）＞f（0）=0，即?x∈（0，+∞），ex＞x+1，故选：D2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．

B．1

C．

D．参考答案：.试题分析：由题意知，该几何体为一个长方体截去了两个三棱锥所得的图形，所以其体积为，，，所以，故应选.考点：1、三视图；2、空间几何体的体积；3.定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x?ex，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B． C．1 D．2参考答案：D【考点】导数的运算．【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】先构造函数，F（x）=，根据题意求出f（x）的解析式，即可得到=，再根据根的判别式即可求出最大值．【解答】解：令F（x）=，则F′（x）===x，则F（x）=x2+c，∴f（x）=ex（x2+c），∵f（0）=，∴c=，∴f（x）=ex（x2+），∴f′（x）=ex（x2+）+x?ex，∴=，设y=，则yx2+y=x2+2x+1，∴（1﹣y）x2+2x+（1﹣y）=0，当y=1时，x=0，当y≠1时，要使方程有解，则△=4﹣4（1﹣y）2≥0，解得0≤y≤2，故y的最大值为2，故的最大值为2，故选：D．【点评】本题考查了导数和函数的关系以及函数的值域问题，关键是构造函数和利用根的判别式求函数的值域，属于中档题．4.设，，，则（

）（A） （B）（C） （D）参考答案：C5.设函数，，则是（

）A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数

D．最小正周期为的偶函数参考答案：C略6.执行如图所示的程序框图，输出的k值为 A．7 B．9 C．11 D．13参考答案：C7.执行如图所示的程序框图，若的值为5，输出的结果是

A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的值为

A．

B．-

C．2

D．-2参考答案：A略9.已知向量，,则下列结论正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.定义域为的偶函数满足对，有，且当

时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B因为函数是偶函数，所以，即，所以函数关于直线对称，又，所以，即函数的周期是4.由得，，令，当时，，过定点.由图象可知当时，不成立.所以.因为，所以要使函数在上至少有三个零点，则有，即，所以，即，所以，即的取值范围是，选B,如图.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值等于_____．参考答案：8【分析】根据约束条件画可行域，然后求出的最小值，即为的最大值.【详解】根据约束条件作图所示，易知可行域为一个三角形，设，则，为斜率是的一组平行线，可知在点时，取得最小值，最大值是8，故答案为：8．【点睛】本题考查通过线性规划求最值，属于简单题.12.设分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，且在第一象限，若为等边三角形，则双曲线的实轴长为

．参考答案：13.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为

.参考答案：

5．11

略14.如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是

．参考答案：54【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．∵S=10+9+8+…+2=54的值，故输出54．故答案为：54．15.（几何证明选讲）如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP＝______.参考答案：略16.阅读下边的程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是

．参考答案：[-2，0]考点：程序框图与函数的定义域.17.【题文】13设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为__________.参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（满分１5分）设函数，，（其中为自然底数）；

（Ⅰ）求（）的最小值；Ks5u

（Ⅱ）探究是否存在一次函数使得且对一切恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；

（Ⅲ）数列中，，，求证：。参考答案：（Ⅰ）时，易知时、时；所以时求取最小值等于0；--------------------4分

（Ⅱ）由题Ⅰ易知，，所以；--------------------------6分

所以可设，代入得

恒成立，所以，所以，；--------------8分此时设，则，易知，即对一切恒成立；综上，存在符合题目要求，它恰好是图象的公切线。-----------------------------------------------------------------Ks5u-------------10分

（Ⅲ）先证递减且；

由题（Ⅱ）知，所以，即为递减数列；

又，，所以，…因为当时总有，所以；-------------Ks5u---------------13分

所以

。-----------------------------------------------15分略19.已知函数.（1）若，求a的值；（2）已知某班共有n人，记这n人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天.（i）求的表达式；（ii）估计的近似值（精确到0.01）.参考数值：，，.参考答案：(1)(2)（i）（ii）【分析】（1）先讨论取不同范围内的值时函数的定义域，并根据函数值判断出是的极小值点。通过极值点处，求得导函数代入即可求得的值。求出的值后，再代回函数，证明即可。（2）每个人生日都不同的概率为，所以根据对立事件的概率即可求得至少有两个人生日相同的概率。将代入i中得到的式子，可得，令，左右同取对数则，进而可得t的范围，结合参考数据可求得的近似值。【详解】（1）由题得，当时，的定义域为；当时，的定义域为，又，且，所以是的极小值点，故.而，于是，解得.下面证明当时，.当时，，，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即符合题意.综上，.（2）（i）由于人生日都不相同的概率为，故人生日至少有两人相同的概率为.（ii）由（1）可得当时，，即，当且仅当时取等号，由（i）得.记，则，即由参考数值得于是故.【点睛】本题考查了导函数的综合应用，不等式中的综合应用，是高考的常考点和难点，属于难题。

20.

在锐角△ABC中，A,B,C所对的边分别为a，b，c．已知向量

(1）求角A的大小；

(2）若a＝7，b=8，求△ABC的面积．参考答案：略21.在平面直角坐标系xOy中，圆C过点（0，﹣1），（3+，0），（3﹣，0）（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在实数a，使得圆C与直线x+y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．参考答案：考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，把点（0，﹣1），（3+，0），（3﹣，0）分别代入，能求出圆C的方程．（Ⅱ）联立，得2x2+（2a﹣14）x+a2﹣8a+7=0，由此利用根的判别式和根与系数的关系，结合已知条件推导出不存在实数a，使得圆C与直线x+y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB．解答： 解：（Ⅰ）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，把点（0，﹣1），（3+，0），（3﹣，0）分别代入，得：，解得D=﹣6，E=8，F=7，∴圆C的方程为x2+y2﹣6x+8y+7=0．（Ⅱ）联立，得2x2+（2a﹣14）x+a2﹣8a+7=0，∵圆C与直线x+y+a=0交于A，B两点，∴△=（2a﹣14）2﹣8（a2﹣8a+7）＞0，解得﹣5＜a＜7，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=7﹣a，x1x2=，y1y2=（﹣x1﹣a）（﹣x2﹣a）=，∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=2=0，∴+（7﹣a）a+a2=0，整理，得a2﹣a+7=0，△′=1﹣28＜0，方程无解，∴不存在实数a，使得圆C与直线x+y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB．点评：本题考查圆的方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意待定系数法的合理运用．22.(本题满