2021-2022学年福建省漳州市竹园中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021-2022学年福建省漳州市竹园中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若(sinB+sinC)2-sin2(B+C)＝3sinBsinC，且a＝2，则△ABC的面积的最大值是A．

B．

C．

D．4参考答案：B2.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的侧面积

(

)。

A．48

B．144

C．80

D．64参考答案：C略3.集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x（x﹣2）＞0}，那么A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0或x＞2}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，运用结合交集的运算即可得到所求．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x（x﹣2）＞0}={x|x＞2或x＜0}，则A∩B={x|﹣1＜x＜0}，故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查二次不等式的解法，属于基础题．4.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A． B．6 C．4 D．参考答案：A5.已知函数，则在

A.上单调递增

B.上单调递增

C.上单调递减

D.上单调递减参考答案：【答案解析】B

解析：在恒成立，在上单调递增，故选B.【思路点拨】导数法确定函数的单调性.6.已知幂函数的图像经过（9，3），则=

A.3

B.

C.

D.1参考答案：C设幂函数为，则，即，所以，即，所以，选C.7.曲线经过伸缩变换后，对应曲线的方程为(

)A. B.C. D.参考答案：B【分析】利用伸缩变换解出，代入曲线方程可得.【详解】由可得代入曲线方程可得.故选B.【点睛】本题主要考查坐标系的变换，利用变换规则和变换之前的方程可得新方程，侧重考查数学运算的核心素养.8.若函数在上有最小值－5，（，为常数），则函数在上（

）．有最大值5

．有最小值5

．有最大值3

．有最大值9参考答案：【知识点】函数的奇偶性与最值；B3，B4【答案解析】D解析：解：设可知函数为奇函数，由题意可知在有最大值7，，所以在有最大值9，所以D正确.【思路点拨】把已知条件可转化成奇函数，然后根据函数的性质进行求解.9.设集合P={x|y=+1}，Q={y|y=x3}，则P∩Q= （

）A.? B.[0，+∞) C.(0，+∞) D.[1，+∞)参考答案：B10.已知抛物线的方程为y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若S△AOF=3S△BOF（O为坐标原点），则|AB|=(

) A． B． C． D．4参考答案：A考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据对称性可设直线的AB的倾斜角为锐角，利用S△AOF=3S△BOF，求得yA=﹣3yB，设出直线AB的方，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出yA+yB和yAyB，进而求得利用+，求得m，最后利用斜率和A，B的坐标求得|AB|．解答： 解：设直线的AB的倾斜角为锐角，∵S△AOF=3S△BOF，∴yA=﹣3yB，∴设AB的方程为x=my+1，与y2=4x联立消去x得，y2﹣4my﹣4=0，∴yA+yB=4m，yAyB=﹣4．∴+==﹣2==﹣3﹣，∴m2=，∴|AB|=?=．故选：A．点评：本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题．要注意解题中出了常规的联立方程，用一元二次方程根与系数的关系表示外，还可考虑运用某些几何性质．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（01全国卷）圆周上有2n个等分点（n>1）,以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为

.参考答案：答案：2n(n－1)12.在的展开式中，的系数为______参考答案：答案：-４13.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为

．参考答案：14.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为、，则、的大小关系是_____________.(填，，之一)．参考答案：略15.如图，在中，,,,则

.参考答案：16.由不等式组所确定的平面区域的面积为______________参考答案：17.已知集合，，则

▲

．参考答案：。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2012?辽宁）选修4﹣5：不等式选讲已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）先解不等式|ax+1|≤3，再根据不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，分类讨论，即可得到结论．（Ⅱ）记，从而h（x）=，求得|h（x）|≤1，即可求得k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．∴当a≤0时，不合题意；当a＞0时，，∴a=2；（Ⅱ）记，∴h（x）=∴|h（x）|≤1∵恒成立，∴k≥1．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，将绝对值符号化去是关键，属于中档题．19.设函数f（x）=x2﹣ax+ln（ax+）（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=处取极值，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．参考答案：【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，由题意可得f′（）=0，解得a=2和﹣1，分别讨论当a=2，﹣1时，求出f（x）的导数，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（2）对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），等价于f（x0）min＞m（1﹣a2），用导数可求f（x0）min，构造函数g（a）=f（x0）min﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2），问题转化为g（a）min＞0（1＜a＜2），分类讨论可求出m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣ax+ln（ax+）的导数为f′（x）=2x﹣a+a?，由题意可得f′（）=0，即为1﹣a+a?=0，解得a=2或﹣1，当a=2时，f′（x）=2x﹣2+=，由f′（x）＞0，解得x＞或﹣＜x＜0，由f′（x）＜0，解得0＜x＜；当a=﹣1时，f′（x）=2x+1+=（x＜1），由f′（x）＞0，解得0＜x＜；由f′（x）＜0，解得＜x＜1或x＜0．综上可得，当a=2时，f（x）的增区间为（，+∞），（﹣，0），减区间为（0，）；当a=﹣1时，f（x）的增区间为（0，），减区间为（，1），（﹣∞，0）；（2）y=f（x）的定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣a+==．当1＜a＜2时，﹣1==＜0，即＜1，所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a+ln（a+）．依题意，对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），即可转化为对任意的a∈（1，2），1﹣a+ln（a+）﹣m（1﹣a2）＞0恒成立．设g（a）=1﹣a+ln（a+）﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2）．则g′（a）=﹣1++2ma==，①当m≤0时，2ma﹣（1﹣2m）＜0，且＞0，所以g′（a）＜0，所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾．②当m＞0时，g′（a）=（a﹣），若≥2，则g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾；若1＜＜2，则g（a）在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0矛盾；若≤1，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，则恒有g（a）＞g（1）=0，所以m＞0且≤1，解得m≥，所以m的取值范围为[，+∞）．【点评】本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想的运用．20.（12分）（2009?重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数ξ的分布列与期望．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．

【专题】计算题．【分析】（1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即可．（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．【解答】解：设Ak表示甲种大树成活k株，k=0，1，2Bl表示乙种大树成活1株，1=0，1，2则Ak，Bl独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有P（Ak）=C2k（）k（）2﹣k，P（Bl）=C21（）l（）2﹣l．据此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=．P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=．（1）所求概率为P（A1?B1）=P（A1）?P（B1）=×=．（2）解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且P（ξ=0）=P（A0?B0）=P（A0）?P（B0）=×=，P（ξ=1）=P（A0?B1）+P（A1?B0）=×+×=，P（ξ=2）=P（A0?B2）+P（A1?B1）+P（A2?B0）=×+×+×=，P（ξ=3）=P（A1?B2）+P（A2?B1）=×+×=．P（ξ=4）=P（A2?B2）=×=．综上知ξ有分布列ξ01234P从而，ξ的期望为Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=（株）．解法二：分布列的求法同上，令ξ1，ξ2分别表示甲乙两种树成活的株数，则ξ1：B（2，），ξ2：B（2，）故有Eξ1=2×=，Eξ2=2×=1从而知Eξ=Eξ1+Eξ2=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、独立重复试验的概率等知识，以及利用概率知识分析问题、解决问题的能力．21.[选修4-2：矩阵与变换]已知变换T将平面上的点(1，)，(0，1)分别变换为点(，﹣2)，(﹣，4)．设变换T对应的矩阵为M．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的特征值．参考答案：【考点】特征向量的意义；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）设M=，由矩阵变换可得方程组，解方程即可得到所求；（2）设矩阵M的特征多项式为f（λ），可得特征多项式，解方程可得特征值．【解答】解：（1）设M=，则=，=，即为，即a=3，b=﹣，c=﹣4，d=4，则M=；（2）设矩阵M的特征多项式为f（λ），可得f（λ）==（λ﹣3）（λ﹣4）﹣6=λ2﹣7λ+6，令f（λ）=0，可得λ=1或λ=6．【点评】本题考查矩阵变换和特征值的求法，注意运用待定系数法，考查方程思想的运用，属于基础题．22.某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量y（袋），到如下统计表：

第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x（万人）13981012原材料y（袋）3223182428

（1）根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程；（2）已知购买原材料的费用C（元）与数量t（袋）关系为，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L=销售收入－原材料费用）..参考公式：，.参考数据：，