广东省湛江市徐闻县外罗中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析

广东省湛江市徐闻县外罗中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设复数z满足，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A令抛物线上横坐标为、的点为、，则，由，故切点为，切线方程为，该直线又和圆相切，则，解得或（舍去），则抛物线为，定点坐标为，选A．3.函数满足，当时，，则在上零点的个数为()A．1005

B．1006

C．2011

D．2012参考答案：Ｂ4.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为A．14

B．16

C．20

D．48参考答案：解析:由间接法得，故选B.5.已知数列的前项和为，，，,则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B6.若，当时，的大小关系为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：D7.在矩形ABCD中，,P为矩形内一点，且,若,則的最大值为

(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：C略8.函数的图象关于()A．y轴对称

B．直线y＝－x对称

C．直线y＝x对称

D．坐标原点对称参考答案：D9.直线y=2x与抛物线y=3－x2所围成的阴影部分的面积（

）A． B． C． D．参考答案：D10.设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），ai=，i=0，1，2，…，99，记Sk=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）|+…+|fk（a99）﹣fk（a98）|，k=1，2，则下列结论正确的是（）A．S1=1＜S2 B．S1=1＞S2 C．S1＞1＞S2 D．S1＜1＜S2参考答案：B考点：数列与函数的综合；数列的函数特性．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：根据Sk=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk（a98）|，分别求出S1，S2与1的关系，继而得到答案．解答：解：由|（）2﹣（）2|=?||，故S1=（+++…+）=×=1，由2|﹣﹣（）2+（）2|=2×||，故S2=2××=＜1，即有S1=1＞S2，故选：B．点评：本题主要考查了函数的性质，同时考查等差数列的求和公式，关键是求出这两个数与1的关系，属于中档题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图象如图所示，则ω=

，φ=

．参考答案：;.【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由图象可得==2﹣0.5，可得ω，把点（2，﹣2）代入解析式可得φ值【解答】解：由图象可得==2﹣0.5，解得ω=，故，把点（2，﹣2）代入可得﹣2=，解得+φ=2kπ﹣，k∈Z，即φ=2kπ﹣，又，故当k=1时，φ=故答案为：；【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属中档题．12.如图，一不规则区域内，有一边长为米的正方形，向区域内随机地撒颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为

平方米.（用分数作答）参考答案：13.几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，为切点,是圆的割线．若，则______．参考答案：略14.已知，点的坐标为，点分别在图中抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，，则的周长的取值范围是＿＿＿＿参考答案：(4,6)15.已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（A）（0，1）(B)(C)(D)参考答案：B16.(9)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi=

.参考答案：1+2i17.已知|a＋b|＜－c(a，b，c∈R)，给出下列不等式：①a＜－b－c；②a＞－b＋c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(填序号)．参考答案：①②④【分析】先根据绝对值不等式的性质可得到c＜a+b＜﹣c，进而可得到﹣b+c＜a＜﹣b﹣c，即可验证①②成立，③不成立，再结合|a+b|＜﹣c，与|a+b|≥|a|﹣|b|，可得到|a|﹣|b|＜﹣c即|a|＜|b|﹣c成立，进而可验证④成立，⑤不成立，从而可确定答案．【详解】∵|a＋b|＜－c，∴c＜a＋b＜－c.∴a＜－b－c，a＞－b＋c，①②成立且③不成立．∵|a|－|b|≤|a＋b|＜－c，∴|a|＜|b|－c，④成立且⑤不成立．【点睛】本题主要考查不等式的基本性质．考查基础知识的综合运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，圆C1：x2+y2=1经过伸缩变换后得到曲线C2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）在C2上求一点M，是点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】综合题；转化思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由后得到曲线C2，可得：，代入圆C1：x2+y2=1，化简可得曲线C2的直角坐标方程，将直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=化为：ρcosθ+ρsinθ=10，进而可得直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线x+y﹣10=0平移与C2相切时，则第一象限内的切点M满足条件，联立方程求出M点的坐标，进而可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵后得到曲线C2，∴，代入圆C1：x2+y2=1得：，故曲线C2的直角坐标方程为；直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=．即ρcosθ+ρsinθ=10，即x+y﹣10=0，（Ⅱ）将直线x+y﹣10=0平移与C2相切时，则第一象限内的切点M满足条件，设过M的直线为x+y+C=0，则由得：13x2+18Cx+9C2﹣36=0，由△=（18C）2﹣4×13×（9C2﹣36）=0得：C=±，故x=，或x=﹣，（舍去），则y=，即M点的坐标为（，），则点M到直线l的距离d=【点评】本题考查的知识点是简单的极坐标方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档．19.已知椭圆C：=1，直线l：（t为参数）．（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；（Ⅱ）设A（1，0），若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．参考答案：考点：椭圆的参数方程；直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）直接利用三角代换写出椭圆C的参数方程，消去此时t可得直线l的普通方程；（Ⅱ）利用两点间距离公式以及点到直线的距离公式，通过椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，列出方程，即可求点P的坐标．解答： 解：（Ⅰ）椭圆C：（θ为为参数），l：x﹣y+9=0．…（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），则|AP|==2﹣cosθ，P到直线l的距离d==．由|AP|=d得3sinθ﹣4cosθ=5，又sin2θ+cos2θ=1，得sinθ=，cosθ=﹣．故P（﹣，）．…点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，参数方程的应用，点到直线的距离以及两点间距离公式的应用，考查计算能力．20.某超市销售某种小商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式y=﹣80x，其中1＜x＜4，a为常数，已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品11件．若该商品的进价为1元/件，当销售价格x为何值时，超市每日销售该商品所获得的利润最大．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】由销售价格为3元/件时，每日可售出该商品11件，建立方程，求出a，可得f（x）的解析式；商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．【解答】解：由题意，销售价格为3元/件时，每日可售出该商品11件，∴11=+10×9﹣80×3，解得a=﹣158，故y=+10x2﹣80x（1＜x＜4）；商场每日销售该商品所获得的利润为g（x）=（x﹣1）f（x）=（160x﹣158）+（x﹣1）（10x2﹣80x）（1＜x＜4），g′（x）=30（x﹣4）（x﹣2）．列表得x，y，y′的变化情况：x（1，2）2（2，4）g′（x）+0﹣g（x）单调递增极大值42单调递减由上表可得，x=2是函数f（x）在区间（1，4）内的极大值点，也是最大值点，此时g（x）=42元．【点评】本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．21.冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.（1）若，试求p关于k的函数关系式；（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，满足且（）都有成立.（i）求证：数列等比数列；（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值参考答案：（1），（，且）.（2）（i）见解析（ii）最大值为4.【分析】（1）由题设可知，的所有可能取值为1，，求，再根据,求；（2）（ⅰ）当时，，∴，令，则，利用数学归纳法证明；（ⅱ）由（ⅰ）可知，由可知，再设函数（），利用函数的单调性求的最大值.【详解】（1）解：由已知，，，得，的所有可能取值为1，，∴，.∴.若，则，，∴，∴.∴p关于k的函数关系式为，（，且）.（2）（i）∵证明：当时，，∴，令，则，∵，∴下面证明对任意的正整数n，.①当，2时，显然