广东省深圳市红岭中学2021年高三数学理模拟试卷含解析

广东省深圳市红岭中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知四棱锥S-ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于，则球O的体积等于（

）A． B．

C．

D．参考答案：D2.已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出的是（

）A．，且

B．∥，且C．，且∥

D．，且∥参考答案：3.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，BC=1，CC1=2，则沿正方体表面从A点到C1点的最短距离是

（

）

A．2

B．

C．

D．

参考答案：答案：D4.若数列满足，，则称数列为“梦想数列”。已知正项数列为“梦想数列”，且，则的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】B依题意可得，则数列为等比数列。又，则。，当且仅当即该数列为常数列时取等号.【思路点拨】先判断数列，再根据所给定义求结果5.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位

B．向右平移个单位C．向左平移个单位

D．向右平移个单位参考答案：A略6.设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.已知是正四面体（所有棱长都相等的四面体），是中点，是上靠近点的三等分点，设与、、所成角分别为、、，则（

）A． B． C． D．参考答案：D8.复数等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】复数的基本概念与运算L4C【思路点拨】化简求出值。9.下列说法中正确的是(A)命题“，”的否定是“，≤1”(B)命题“，”的否定是“，≤1”(C)命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D)命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”参考答案：【知识点】四种命题A2【答案解析】B解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.10.<九章算术>是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按31天算,记该女子一个月中的第天所织布的尺数为,则的值为A. B. C. D.参考答案：B本题考查等差数列,数列求和.由题意得===.选B.【备注】等差数列:,.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为的保值区间．若的保值区间是，则的值为_______________．参考答案：略12.设集合，N＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则集合M∩N＝________．参考答案：(1,2)13.已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】画出图象f（x）=转化为函数f（x）与y=mx﹣2有且仅有一个公共点，分类讨论，①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点；②当y=mx+2与y=相切，结合导数求解即可，求解相切问题；③y=mx+2过（1，2﹣e）（0，2），动态变化得出此时的m的范围．【解答】解：∵f（x）=∴f（x）=∵函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，∴f（x）与y=mx+2有一个公共点∵直线y=mx+2过（0，2）点①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点②当y=mx+2与y=相切即y′=切点（x0，），m=﹣=﹣+2，x0＞1x0=（舍去），x0=3∴m==③y=mx+2过（1，2﹣e），（0，2）m=﹣e当m≤﹣e时，f（x）与y=mx+2有一个公共点故答案为：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}14.设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为

参考答案：4

15.已知函数f（x）=x3+mx+，g（x）=﹣lnx，min{a，b}表示a，b中的最小值，若函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）恰有三个零点，则实数m的取值范围是．参考答案：（﹣，﹣）【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】由已知可得m＜0，进而可得若h（x）有3个零点，则＜1，f（1）＞0，f（）＜0，解得答案．【解答】解：∵f（x）=x3+mx+，∴f′（x）=3x2+m，若m≥0，则f′（x）≥0恒成立，函数f（x）=x3+mx+至多有一个零点，此时h（x）不可能有3个零点，故m＜0，令f′（x）=0，则x=±，∵g（1）=0，∴若h（x）有3个零点，则＜1，f（1）＞0，f（）＜0，即，解得：m∈（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．【点评】本题考查的知识点是函数零点及零点个数的判断，分类讨论思想，函数和方程的思想，转化思想，难度中档．16.若不等式|mx3﹣lnx|≥1对?x∈（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是．参考答案：[e2，+∞）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】根据绝对值不等式的性质，结合不等式恒成立，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数以及函数的最值即可．【解答】解：|mx3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立等价为mx3﹣lnx≥1，或mx3﹣lnx≤﹣1，即m≥，记f（x）=，或m≤，记g（x）=，f'（x）==，由f'（x）==0，解得lnx=﹣，即x=e﹣，由f（x）＞0，解得0＜x＜e﹣，此时函数单调递增，由f（x）＜0，解得x＞e﹣，此时函数单调递减，即当x=e﹣时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（e﹣）===e2，此时m≥e2，若m≤，∵当x=1时，=﹣1，∴当m＞0时，不等式m≤不恒成立，综上m≥e2．故答案为：[e2，+∞）．17.过双曲线的右焦点F作圆的切线FM（切点为M），交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是_______________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数=的图像在点处的切线为求函数的解析式。当时，求证：；若对任意的恒成立，求实数k的取值范围。参考答案：略19.（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程．已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.参考答案：（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为，又,所以曲线的直角坐标方程为…3分

（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得,…………4分

令,得,即点的坐标为(2,0).又曲线为圆，圆的圆心坐标为(0,1)，半径，则,……………………6分

所以.即的最大值为……7分20.（本小题满分12分）

函数，其图象在处的切线方程为．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若函数的图象与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围；（Ⅲ）是否存在点P，使得过点P的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）由题意得，且，∴即解得，，∴．··················································································4分（Ⅱ）由，可得，，则由题意可得有三个不相等的实根，即的图象与轴有三个不同的交点，，则的变化情况如下表．4＋0－0＋↗极大值↘极小值↗则函数的极大值为，极小值为．······················6分的图象与的图象有三个不同交点，则有：解得．······························································8分（Ⅲ）存在点P满足条件．························································································9分∵，∴，由，得，．当时，；当时，；当时，．可知极值点为，，线段AB中点在曲线上，且该曲线关于点成中心对称．证明如下：∵，∴，∴．上式表明，若点为曲线上任一点，其关于的对称点也在曲线上，曲线关于点对称．故存在点，使得过该点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，这两个封闭图形的面积相等．………………12分略21.如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆：上一点，从原点向圆：作两条切线分别与椭圆交于点，，直线，的斜率分别记为，．（1）求证：为定值；（2）求四边形面积的最大值．参考答案：（1）因为直线：，：，与圆相切，由，可得，是方程的两个不相等的实数根，∴，因为点在椭圆上，所以，∴．（2）（i）当直线，不落在坐标轴上时，设，，因为，所以，即，因为，在椭圆上，所以，整理得，所以，所以.（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有，综上：．因为，因为，所以的最大值为1．22.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA＝ED，FB＝FC.E′和F′是平面ABCD内的两点，EE′和FF′都与平面ABCD垂直．(1)证明：直线E′F′垂直且平分线段AD；(2)若∠EAD＝∠EAB＝60°，EF＝2，求多面体ABCDEF的体积．参考答案：(1)∵EA＝ED且EE′⊥平面ABCD，∴E′D＝E′A，∴点E′在线段AD的垂直平分线上．同理，点F′在线段BC的垂直平分线上．又四边形ABCD是正方形，∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线，即点E′、