全等三角形经典培优题型(含答案)

...wd......wd......wd...全等三角形的提高拓展训练全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的根基．全等三角形证明经典题1：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADAADBC2：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2AABCDEF213：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=ACBBACDF21E4：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CACACDB5：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。7：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠CAABCDP是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-ABPPDACB9，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求FAFAEDCB10．〔5分〕如图，AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．11〔6分〕如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B12〔10分〕如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。ACBDEF13：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点FACBDEF14在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①≌②；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，〔1〕中的结论还成立吗假设成立，请给出证明；假设不成立，说明理由.15如以下图，AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：〔1〕EC=BF；〔2〕EC⊥BFAAEBMCF16．如图,AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗请说明理由ABCDEF图917．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点FABCDEF图9全等三角形证明经典〔答案〕1.延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+24<AD<6又AD是整数,则AD=52证明：连接BF和EF。因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。连接BE。在三角形BEF中,BF=EF。所以∠EBF=∠BEF。又因为∠ABC=∠AED。所以∠ABE=∠AEB。所以AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。所以三角形ABF和三角形AEF全等。所以∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。3证明：过E点，作EG//AC，交AD延长线于G

则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2

又∵CD=DE

∴⊿ADC≌⊿GDE〔AAS〕∴EG=AC

∵EF//AB

∴∠DFE=∠1

∵∠1=∠2

∴∠DFE=∠DGE

∴EF=EG

∴EF=AC4证明：在AC上截取AE=AB，连接ED

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠BAD

又∵AE=AB，AD=AD

∴⊿AED≌⊿ABD〔SAS〕∴∠AED=∠B，DE=DB

∵AC=AB+BD

AC=AE+CE

∴CE=DE

∴∠C=∠EDC

∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C

∴∠B=2∠C5证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

因为CE⊥AB

所以∠CEB＝∠CEF＝90°

因为EB＝EF，CE＝CE，所以△CEB≌△CEF

所以∠B＝∠CFE

因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

所以∠D＝∠CFA

因为AC平分∠BAD

所以∠DAC＝∠FAC

又因为AC＝AC

所以△ADC≌△AFC〔SAS〕所以AD＝AF

所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE

6证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.

∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;

AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;

又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;

又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.

所以,BC=BF+FC=AB+CD.7证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，〔当AD<BC时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点〕。则：△AED是等腰三角形。所以：AE=DE

而AB=CD

所以：BE=CE(等量加等量，或等量减等量〕所以：△BEC是等腰三角形所以：角B=角C.8作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，B'在线段AC上〔在AC中间，因为AB较短〕因为PC<PB’+B‘C,PC-PB’<B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-ABPPDACB9作AG∥BD交DE延长线于GAGE全等BDEAG=BD=5

AGF∽CDFAF=AG=5所以DC=CF=210证明：做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF

在三角形DEF与三角形BEC中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC11证明：在AB上找点E，使AE=AC

∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD

∴△ADE≌△ADC。DE=CD，∠AED=∠C

∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE

∠B=∠EDB

∠C=∠B+∠EDB=2∠B12证明：∵BE‖CF

∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM

∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM

∴AM是△ABC的中线.13证明：因为AB=AC，所以∠EBC=∠DCB

因为BD⊥AC，CE⊥AB

所以∠BEC=∠CDB

BC=CB(公共边)

则有三角形EBC全等于三角形DCB

所以BE＝CD14证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，∴Rt△ADC≌Rt△CEB〔AAS〕，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；〔2〕不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，∴△ADC≌△CEB〔AAS〕，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE；15证明;因为AE垂直AB

所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF垂直AC

所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF

因为AE=ABAF=AC

所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF

角ECA=角F延长FB与EC的延长线交于点G

因为角ECA=角F(已证〕所以角G=角CAF

因为角CAF=90度所以EC垂直BF16在AB上取点N,使得AN=AC

∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN所以∠ANE=∠ACE

又AC平行BD所以∠ACE+∠BDE=180

而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE

∠NBE=∠EBN

BE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN

所以AB=AN+BN=AC+BD17证明：作C