湖北省咸宁市港路乡中学高三数学理测试题含解析

湖北省咸宁市港路乡中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若数列{an}的前n项和为Sn=kn2+n，且a10=39，则a100=（）A．200 B．199 C．299 D．399参考答案：D【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】由Sn=kn2+n，可得n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2kn﹣k+1，利用a10=39，解得k=2．即可得出．【解答】解：∵Sn=kn2+n，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=kn2+n﹣[k（n﹣1）2+（n﹣1）]=2kn﹣k+1，∵a10=39，∴20k﹣k+1=39，解得k=2．∴an=4n﹣1则a100=400﹣1=399．故选：D【点评】本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且，则双曲线M的离心率是A．

B.

C.

D.参考答案：答案：D解析：过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x－1,若与双曲线的两条渐近线分别相交于点,

联立方程组代入消元得，∴，x1+x2=2x1x2，又,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得，∴b2=9，双曲线的离心率e=，选D.3.已知是的一个零点，，则

A.

B.

C.

D.参考答案：C在同一坐标系下做出函数的图象，由图象可知当时，，时，，所以当，有，选C.4.已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】渐近线方程y=x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，由此能求出此直线的斜率的取值范围．【解答】解：渐近线方程y=x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点（因为双曲线正在与渐近线无限接近中），那么在斜率是[]两条直线之间的所有直线中，都与双曲线右支只有一个交点．此直线的斜率的取值范围[]．故选：A．5.已知的值（）A． B．﹣ C．﹣ D．参考答案：D【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式化简已知条件，结合同角三角函数基本关系式，求解即可．【解答】解：由cos（α﹣9π）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，∵α∈（π，2π），∴sinα=﹣=cos（）=﹣sinα=．故选：D．6.已知

，满足，，，则在区间上的最大值与最小值之和为

A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.设为△内一点，若，有，则△的形状一定是（

）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．不能确定参考答案：B8.（04全国卷I）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=

（

）

A．

B．

C．

D．4参考答案：答案：C9.（多选题）已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（

）A.展开式中奇数项的二项式系数和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含项的系数为45参考答案：BCD【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,由展开式的各项系数之和为1024可得,则二项式为,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断A,B；根据通项判断C,D即可.【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以,所以二项式为,则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,故选:BCD【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.10.记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max{，，}·min{，，}，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的()A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的值为

．参考答案：

略12.已知实数满足不等式组,且的最小值为,则实数的值是

．参考答案：m=6略13.在区间上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=

．参考答案：3考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为，直接求出m的值即可．解答： 解：如图区间长度是6，区间上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3．故答案为：3．点评：本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键．14.若直线与直线垂直，则常数

．参考答案：15.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＋＝6cosC，则的值是__________.参考答案：4略16.已知为等比数列，，则

．参考答案：17.若复数是纯虚数，则实数=

.参考答案：1将复数表示为的形式，然后由即可求；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点，且是其中一个零点．（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）设，且的解集为，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）∵f（x）=－x3+ax2+bx+c，∴．------------------1分 ∵f（x）在在上是减函数，在上是增函数， ∴当时，取到极小值，即．∴．----------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ∵是函数的一个零点，即，∴．----------------------5分 ∵的两个根分别为，． 又∵在上是增函数，且函数在上有三个零点， ∴，即．

----------------------7分 ∴． 故的取值范围为．

----------------------9分（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知，且． ∵是函数的一个零点，∴， ∵，∴， ∴点是函数和函数的图像的一个交点．---------------------10分 结合函数和函数的图像及其增减特征可知，当且仅当函数和函数的图像只有一个交点时，的解集为． 即方程组①只有一组解：

-----------------11分 由，得． 即． 即． ∴或．

----------------------12分 由方程② 得．∵， 当，即，解得．----------------------13分 此时方程②无实数解，方程组①只有一个解 所以时，的解集为．---------------------14分（Ⅲ）解法2：由（Ⅱ）知，且． ∵1是函数的一个零点 又的解集为，

∴的解集为．-------------------10分 ．

．

-----------------12分 ． ．--------------------14【解析】略19.(本题满分10分)选修4

-5：不等式选讲设函数，.(I)求证；(II)若成立，求x的取值范围.参考答案：（Ⅰ）．

…5分（Ⅱ）∵，∴要使成立，需且只需，即，或，或，解得，或故的取值范围是.

…10分略20.已知，，函数.（Ⅰ）求函数零点；（Ⅱ）若的三内角、、的对边分别是、、，且,求的取值范围.参考答案：（I）利用向量夹角公式，代入已知，化简后可得.令，由此解得.（II）由（1）可得，由此求得.利用正弦定理，将转化为，根据可求得取值范围为.解答：（Ⅰ）由条件可知:∴所以函数零点满足,得,．（Ⅱ）由正弦定理得由（Ⅰ），而，得∴，又，得∵代入上式化简得：又在中，有，，则有即：.说明：本题考查向量的运算，以及利用正弦定理解三角形.21.《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1：表1：空气质量指标AQI分组表AQI0～5051～100101～150151～200201～300＞300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km）的情况．表2：AQI指数900700300100空气可见度（千米）0.53.56.59.5表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI指数频数统计表．表3：AQI指数[0，200]（201，400]（401，600]（601，800]（801，1000]频数361263（1）设x=，根据表2的数据，求出y关于x的回归方程；（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元．（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望．（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．（用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣x）参考答案：【考点】线性回归方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）利用公式计算线性回归方程系数，即可得到y关于x的线性回归方程；（2）（ⅰ）由表2知AQI指数不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI指数大于400的频率为0.7，确定饭馆每天的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望；（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C五种情况”，即可求出小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．【解答】解：（1），，，，所以，，所以y关于x的回归方程是．（2）由表3知AQI不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI指数大于400的频率为0.7．设“洗车店每天亏损约200元”为事件A，“洗车店每天收入约400元”为事件B，“洗车店每天收入约700元”为事件C，则P（A）=0.1，P（B）=0.2，P（C）=0.7，（ⅰ）设洗车店每天收入为X元，则X的分布列为X﹣200400700P0.10.20.7则X的数学期望为EX=﹣200×0.1+400×0.2+700×0.7=550（元）．（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C五种情况”，则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率：．22.（本小题满分14分）．已知函数

（Ⅰ）若函数的图象在点P（1，）处的切线的倾斜角为，求a；

（Ⅱ）设的导函数是在（I）的条件下，若，求的最小值；

（Ⅲ）若存