(人教版)长沙市选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或 B．或 C．或 D．或2．下列命题中，正确的是（）A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是D．当直线的倾斜角时，直线的斜率在这个区间上单调递增.3．是直线和直线垂直的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知两点、，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（）A． B．C． D．5．设有一组圆，给出下列四个命题：①存在，使圆与轴相切②存在一条直线与所有的圆均相交③存在一条直线与所有的圆均不相交④所有的圆均不经过原点其中正确的命题序号是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④6．若实数、满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．过点P(1，2)引直线使两点A(2，3)､B(4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（）A．4x+y-6=0 B．x+4y-6=0C．2x+3y-7=0或x+4y-6=0 D．4x+y-6=0或3x+2y-7=08．已知圆，则在轴和轴上的截距相等且与圆相切的直线有几条（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条9．直线y=x+b与曲线有且只有一个交点，则b的取值范围是（）A． B．-1<b≤1或C．-1≤b<1 D．非以上答案10．已知是直线上一点，是外一点，则方程表示的直线（）A．与重合 B．与交于点 C．过与平行 D．过与相交11．曲线()与直线有两个公共点时，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题13．已知圆C：，直线l：，圆C上恰有两个点到直线l的距离为1.则m的取值范围是_____________.14．已知点，对于直线的任意一点P，都有，则实数m的取值范围是__________.15．已知直线l经过点，且和直线的夹角等于，则直线l的方程是_________．16．若直线与直线平行，则这两条平行线间的距离为_________.17．已知圆为坐标原点，点的坐标为，点为线段垂直平分线上的一点，若为钝角，则点横坐标的取值范围是______.18．过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为_____________.19．若直线：与曲线：有两个不同的公共点，则实数的取值范围是________20．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是____________．三、解答题21．已知圆的圆心在直线：上，且过点和.（1）求圆的方程.（2）求证：直线：，与圆恒相交.（3）求与圆相交所得弦的弦长的最小值及此时对应的直线方程.22．已知圆C的圆心在直线2x-y-3=0上，且圆C过点(1，6)，(5，2).（1）求圆C的标准方程；（2）过点P(3，2)的直线l与圆C交于A、B两点，当|AB|=6时，求直线l的方程.23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过点A（1，2），B（7，－6），且圆心在直线x＋y－2＝0上.（1）求圆M的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于C，D两点，且CD=2OA，求直线l的方程.24．已知圆：与圆：相交于、两点．（1）求圆心在直线上且经过，两点的圆的方程及弦所在的直线方程；（2）直线经过点且被圆所截得的弦长为，求直线的方程．25．已知圆和直线.（1）若直线l与圆C相交，求k的取值范围；（2）若，点P是直线l上一个动点，过点P作圆C的两条切线PM、PN，切点分别是M、N，证明：直线MN恒过一个定点.26．已知点与两个定点，的距离的比为.（1）记点的轨迹为曲线，求曲线的轨迹方程.（2）过点作两条与曲线相切的直线，切点分别为，，求直线的方程.（3）若与直线垂直的直线与曲线交于不同的两点，，若为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线方程为，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率.【详解】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线方程为，即，又由反射光线与圆相切，可得，整理得，解得或.故选：D.【点睛】过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.2．C解析：C【分析】根据直线斜率与倾斜角存在的关系对每个选项逐一分析，需要注意直线有倾斜角但不一定有斜率.【详解】倾斜角的范围为时，直线斜率，倾斜角的范围为时，直线斜率，故A错误；直线的倾斜角时，直线斜率不存在，故B错误；直线倾斜角，则斜率的范围为，故C正确；斜率在和上单调递增，故D错误.故选：C.【点睛】关于直线的倾斜角与直线斜率之间的关系需要注意：（1）当直线倾斜角为时，直线的斜率不存在；（2）倾斜角的范围为时，直线斜率，直线斜率随着倾斜角增大而增大；倾斜角的范围为时，直线斜率，直线斜率随着倾斜角增大而增大；（3）利用倾斜角的范围研究斜率的范围，或者利用斜率的范围研究倾斜角的范围，需要利用函数分析定义域与值域的关系.3．A解析：A【分析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为直线和直线垂直，所以或.当时，直线和直线垂直；当直线和直线垂直时，不一定成立.所以是直线和直线垂直的充分不必要条件，故选：A．【点睛】方法点睛：充分必要条件的常用的判断方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件选择合适的方法求解.4．C解析：C【分析】作出图形，求出直线、的斜率，数形结合可得出直线的斜率的取值范围，进而可求得直线的倾斜角的取值范围.【详解】如下图所示：直线的斜率为，直线的斜率为，由图形可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率.因此，直线的倾斜角的取值范围是.故选：C.【点睛】关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键就是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用直线、的斜率可得所要求的斜率的取值范围.5．C解析：C【分析】取特殊值，圆与轴相切，①正确；利用圆心恒在直线上，该线与圆一定相交，可判定②③的正误；利用反证法说明④错误.【详解】选项①中，当时，圆心，半径，满足与轴相切，正确；选项②③中，圆心恒在直线上，该线与圆一定相交，故②正确，③错误；选项④中，若在圆上，则，而，若k是奇数，则左式是偶数，右式是奇数，方程无解，若k是偶数，则左式是奇数，右式是偶数，方程无解，故所有的圆均不经过原点，正确.故选：C.【点睛】本题解题关键是发现圆心恒在直线上，确定该线与圆一定相交，再结合特殊值法和反证法逐个击破即可.6．C解析：C【分析】令，可得出，问题转化为直线与圆有公共点，可得出关于实数的不等式，进而可解得实数的取值范围.【详解】令，可得出，将圆的方程化为标准方程得，圆心坐标为，半径为，则直线与圆有公共点，可得，整理可得，解得.因此，的取值范围为.故选：C.【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义：（1）：表示点与点连线的斜率；（2）：表示点到点的距离；（3）：表示点到直线的距离的倍.7．D解析：D【分析】当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=1，不成立；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程.【详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=1，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，∵直线l与两点A(2，3)，B(4，-5）的距离相等，解得或.:.直线l的方程为或整理，得：或故选：D【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.8．C解析：C【分析】先看直线不过原点的情况，设出直线的方程，斜率为，则可知这样的直线有2条，再看直线过原点的情况，把原点代入即可知原点在圆外，则这样的直线也应该有2条，最后验证以上4条中有一条是重复，最后综合得到结论.【详解】若直线不过原点，其斜率为，设其方程为，则，解得或，当时，直线过原点；若过原点，把代入，即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条，故选：C．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生数形结合的思想和对基本知识的理解，属于中档题.9．B解析：B【分析】作出曲线，它是单位圆的右半个圆，作出直线，求出直线过半圆直径两端点时的值，及直线与半圆相切时的值可得结论．【详解】作出曲线，它是单位圆的右半个圆，作出直线，如图，易知，当直线过点时，，当直线过点时，，当直线与半圆相切时，，，由图可知∴的取值范围是或．故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题时要注意曲线是半圆，因此直线过点时与半圆有两个交点，直线与半圆相切时，也只有一个公共点，这是易错点．10．C解析：C【分析】由题意有可得，，，，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论．【详解】解：由题意有可得，，，，则方程，，，即，，，它与直线的一次项系数相等，但常数项不相等，故，，表示过点且与平行的直线，故选：C．【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程与互相平行.11．D解析：D【分析】易知曲线表示以为圆心，以2为半径的半圆，直线过定点，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解.【详解】曲线变形为表示以为圆心，以2为半径的半圆，直线过定点，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，即，又，由图知：当曲线()与直线有两个公共点时：，即.故选：D【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12．A解析：A【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得的取值范围．【详解】解：作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行，且到直线的距离等于1的两条直线，圆的圆心为原点，原点到直线的距离为，两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为，又圆上有4个点到直线的距离为1，两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交．由此可得圆的半径，即，实数的取值范围是．故选：．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题13．【分析】根据圆的几何性质结合点到直线距离公式进行求解即可【详解】圆C：的半径为2圆心坐标为：设圆心到直线l：的距离为要想圆C上恰有两个点到直线l的距离为1只需即而所以故答案为：【点睛】关键点睛：利用解析：【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】圆C：的半径为2，圆心坐标为：设圆心到直线l：的距离为，要想圆C上恰有两个点到直线l的距离为1，只需，即，而，所以.故答案为：【点睛】关键点睛：利用圆的性质转化为点到直线的距离是解题的关键.14．【分析】设根据条件可得即点P在圆外故圆与直线相离根据直线与圆的位置关系可得答案【详解】设由可得即所以点P在圆外又点P在直线上所以圆与直线相离所以解得：或故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与解析：【分析】设，根据条件可得，即点P在圆外，故圆与直线相离，根据直线与圆的位置关系可得答案.【详解】设，由可得，即所以点P在圆外，又点P在直线上所以圆与直线相离所以，解得：或故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与圆的位置关系求参数范围，解答本题的关键是根据条件得到点P在圆外，即圆与直线相离，属于中档题.15．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由已知可得直线的斜率所以倾斜角为因为直线与的夹角为所以直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为解析：或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为或，分类讨论并利用点斜式方程求解即可.【详解】由已知可得直线的斜率，所以倾斜角为，因为直线与的夹角为，所以直线的倾斜角为或，当倾斜角为时,直线为，即为；当倾斜角为时,直线为，故答案为：或.【点睛】本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线的倾斜角得到l的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想.16．【分析】根据两直线平行求得得到两直线的方程再结合两直线间的距离公式即可求解【详解】由直线与直线平行可得解得即两条分别为和所以两直线间的距离为故答案为：【点睛】两平行线间的距离的求法：利用转化法将两条解析：【分析】根据两直线平行，求得，得到两直线的方程，再结合两直线间的距离公式，即可求解.【详解】由直线与直线平行，可得，解得，即两条分别为和，所以两直线间的距离为.故答案为：【点睛】两平行线间的距离的求法：利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；利用两平行线间的距离公式进行求解.17．【分析】利用垂直斜率关系和中点坐标可求得垂直平分线所在直线方程设由为钝角可知由此构造不等式求得的范围；当三点共线时不合题意需舍去从而得到最终结果【详解】设垂直平分线斜率为则即又中点为垂直平分线方程为解析：【分析】利用垂直斜率关系和中点坐标可求得垂直平分线所在直线方程，设，由为钝角可知，由此构造不等式求得的范围；当三点共线时不合题意，需舍去，从而得到最终结果.【详解】设垂直平分线斜率为，则，即又中点为垂直平分线方程为：，即为钝角设，，解得：又当时，三点共线，此时，不合题意故答案为：【点睛】本题考查直线方程的综合应用、平面向量夹角的运算求解问题；关键是能够通过垂直且平分的关系求得直线方程，同时利用角为钝角确定向量数量积所处的范围；易错点是忽略向量数量积小于零时，夹角有可能为平角的情况，造成增根出现.18．或【分析】分类讨论：直线过坐标原点直线不过坐标原点再根据截距的关系求解出直线的方程【详解】当直线过坐标原点时显然直线的斜率存在设代入所以所以所以直线方程为；当直线不过坐标原点时设所以横截距为纵截距为解析：或【分析】分类讨论：直线过坐标原点、直线不过坐标原点，再根据截距的关系求解出直线的方程.【详解】当直线过坐标原点时，显然直线的斜率存在，设，代入，所以，所以，所以直线方程为；当直线不过坐标原点时，设，所以横截距为，纵截距为，所以，解得或（舍），所以直线方程为，故答案为：或.【点睛】本题考查根据截距关系求解直线方程，难度一般.根据截距的倍数求解直线方程时，要注意直线过坐标原点的情况.19．【分析】曲线表示以为圆心半径等于1的半圆当直线过点时可得满足条件当直线和半圆相切时由解得数形结合可得实数的取值范围【详解】解：曲线方程变形为表示圆心为半径为1的上半圆根据题意画出图形如图所示：当直线解析：【分析】曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，当直线过点时，可得，满足条件．当直线和半圆相切时，由，解得，数形结合可得实数的取值范围．【详解】解：曲线方程变形为，表示圆心为，半径为1的上半圆，根据题意画出图形，如图所示：当直线过点时，可得，满足直线与曲线有两个不同的公共点．当直线和半圆相切时，由，解得或（舍去），故直线与曲线有两个不同的公共点时，实数的取值范围为，故答案为：．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．20．(－4－1)【分析】设对称点的坐标为根据点P关于直线对称列出方程组即可求解【详解】设对称点的坐标为则解得所以所求对称点的坐标为【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点的求解问题其中解答中根据点关于直解析：(－4，－1)【分析】设对称点的坐标为，根据点P关于直线对称，列出方程组，即可求解.【详解】设对称点的坐标为，则，解得，所以所求对称点的坐标为．【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点的求解问题，其中解答中根据点关于直线对称，列出相应的不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.三、解答题21．（1）；（2）证明见解析；（3）最小值：，对应的直线方程：.【分析】（1）设圆的方程为：，利用待定系数法求解；（2）可利用圆心到直线的距离运算求证，也可求出直线过定点，由点在圆内求证；（3）当弦的弦长的最小时，圆心到直线的距离最大，即为垂足时，即可求解.【详解】（1）设圆的方程为：，由题意得：，解得：，故圆的方程为：.（2）方法一：由（1）知圆心为，，所以圆心到直线的距离，，当即时，，直线与圆恒相交，当，即时，，令，，，当且仅当，即时取等，所以，直线与圆恒相交，当，即时，，当且仅当，即或时取等，所以，直线与圆恒相交，综上所述，，直线与圆恒相交.方法二：因为直线：，，，，所以直线过定点，因为，所以在圆内，所以直线与圆恒相交.（3）设与圆相交于，两点，由垂径定理得：，求的最小值即求取得最大值时，由（2）知，所以，此时，所以直线方程为：.【点睛】关键点点睛：证明过定点的动直线与圆恒相交时，可考虑定点在圆内求解，求直线与圆相交的弦长及最值时，可利用弦心距、半径、半弦长之间的关系求解.22．（1）；（2）或.【分析】（1）先利用已知点求中垂线，联立直线方程得到圆心坐标，再利用点到圆心的距离计算半径，即得圆的标准方程；（2）先讨论斜率是否存在写出方程，根据弦长、半径与圆心到直线的距离构建关系求出参数，即得结果.【详解】解：（1）过点(1，6)，(5，2)的直线的斜率是，两点的中点是，故其中垂线的斜率是1，中垂线是，即，圆心在直线2x-y-3=0和上，联立方程得圆心，，故圆C的标准方程为；（2）若直线l斜率不存在，则直线l：，此时圆心到直线的距离为1，故，|AB|=6，满足题意；若直线l斜率存在，设为k，则直线l：，即，要使弦长|AB|=6，，半径为，则圆心到直线的距离为，即，解得，故直线方程是，即.综上，直线l的方程为或.【点睛】求直线被圆截得的弦长的常用方法：（1）几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且；（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元得到关于x的一元二次方程，由根和系数的关系，利用弦长公式计算弦长.23．（1）；（2）.【分析】（1）联立线段AB的垂直平分线所在的方程与圆心所在直线方程，可得圆心坐标，进而求出圆的半径以及圆M的标准方程；（2）设出直线l的方程，由CD=2OA可得弦长，利用点到直线的距离公式结合勾股定理列出方程，可得直线l的方程．【详解】（1）由题意可解得线段AB的垂直平分线所在的方程为：y+2=(x－4)，即，因为圆心在直线x＋y－2＝0上，且圆M过点A（1，2），B（7，－6），则圆心为直线与直线x＋y－2＝0的交点，联立，解得，即圆心M为（4，－2），半径为MA=，所以圆M的标准方程为.（2）由直线l平行于OA，可设直线l的方程为：，则圆心M到直线l的距离为，因为CD=2OA=，所以，所以，则解得m=－20或m=0（舍去），则直线l的方程为.【点睛】关键点点睛：本题考查圆的标准方程，考查圆的性质，解决本题的关键点是由已知求出弦长，利用圆的弦长的一半，圆心到直线的距离和圆的半径构造直角三角形，结合勾股定理计算出参数的值，进而可得直线的方程，考查了学生计算能力，属于中档题．24．（1）；；（2）或．【分析】（1）由已知两圆方程，可得相交弦AB所在直线的方程，再与其中一圆的方程联立求交点A、B坐标，由题意圆是以AB为直径，其中点为圆心的圆，写出圆的方程即可.（2）由直线过点且被圆所截得的弦长为，即可确定到直线的距离，再讨论直线斜率，判断定点到直线的距离是否符合要求，进而求直线的方程.【详解】（1）由，，即弦所在的直线方程．∴，代入圆的方程式，解得或.∴，两点的坐标分别为，，中点坐标为，则圆的半径，∴圆的方程为．（2）圆：方程化为：∴，半径，直线被圆所截得的弦长，∴弦心距．若直线的斜率不存在，圆心到直线：的距离为3，不合题意．∴直线的斜率存在，