点估计-教学设计

#概率论与数理统计教学设计课程名称概率论与数理统计课时100分钟任课教师刘涛专业与班级财管B1601B1606课型新授课课题6.1点估计教材分析“点估计”属于教材第七章第节，位于教材的第184页至第196页。对于应用型经管类本科生来说，此课程的重点在统计部分，统计部分的重点在统计推断，统计推断是根据样本所提供的的信息对总体特性做出种种推断。参数估计是统计推断中的基本问题之一，主要是指在实际问题中遇到的许多总体，根据以往的经验和理论分析知其分布类型，但分布中的一个或几个参数未知，可根据样本信息构造合适的统计量来估计总体中的未知参数。点估计是参数估计中的常用类型，是指根据样本信息计算出一个数值来估计总体中的未知参数。学习目标知识与技能了解点估计的背景来源及点估计的概念；了解点估计的基本思想；掌握点估计的基本步骤及其在离散型和连续型变量中的运用。过程与方法通过“零件疵点数”的案例引入，引导学生解决问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发展整合所学知识解决实际问题的能力。情感态度与价值观通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索精神。教学分析教学内容1•参数点估计定义2•矩估计法及其使用3•极大似然估计法及其使用教学重点矩估计法及极大似然估计法适用范围、基本步骤。教学难点矩估计法及极大似然估计法的理解与应用。

点怙计瑟二矩洁计基本就弓囲陸緘歟三、闵題教学方法板书设计d己1旦】里耳帀与策略丄•引导课题n严川"工二43刀钟2•子十口今J二门VT□占\VnnZ^^rh教学时间设计3.参数点、估计定乂22分干屮4.疋|口n仁20丿Jpt5・W\口门仁45丿JPT匚】田曲舁、厶士匚/<^r+iJ・耶壬/J、<口J丿JTT教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。教学进程教学意图教学内容教学理念某工厂生产某种零件，零件上的疵点数X为一随激发学生的兴趣，让学生体会数学来源于生活。机变里，假疋X服从参数为€的泊松分布，且引出课题（3分钟）€（€>0）未知，设有以下的样本观察值，试估计未知参数€。疵点数k0123456频数n生活动（5分钟）问题细化，学生讨论，激发兴趣。从日常生活的经验和常识入手，调动学生的积极性。参数点估计定义（22分钟）参数估计：实际工作中碰到的总体X,它的分布类型往往是知道的（如果对总体的分布类型也未确定，参见第6章）只是不知道其中的某些参数。例如：产品的质里指标X~N（U，02）,但口，02未知，借助于总体X的一个样本米估计。

矩估计法及其使用（20分钟）由于|1=E（X）,可测得X],x2，…，x10,用x来估计分为参数的点估计和参数的区间估计。参数点估计：总体X的分布函数F（x;€,€…,€）的12k形式是已知的，其中€,€…,€是待估计的参数。点估12k计问题就是根据样本（X,X，…,X）对€,€…,€进12n12k行估计。估计量：X,X,€,X是来自总体X的样本，€-h12n（X,x,€,X）叫做e的估计量12n（此时是随机变量）估计值：将样本值x.，x2，…，x，代入（X,X，…,X），12n12n得到°=h（x,x,x）叫做e的估计值（此12n时是个具体数值）对于不冋样本值，估计值一般是不冋的。常用的方法：矩估计法，极大似然估计法矩估计是基于一种简单的“替换”思想建立的一种估计方法，是由英国统计学家K.Pearson最早提出的。由大数定理可知，样本矩依概率收敛于总体矩，即当n越来越大时，样本矩接近总体矩的概率会越来越大。由案例可知，样本矩依据具体的样本信息是可知的，而总体矩则是含未知参数€的函数形式，因此，不防用已知的样本矩来近似代替含参形式的总体矩，从而，确定未知参数€的估计值。简而概之，就是用样本矩估计总体矩，用样本均值估计总体期望。例1.设总体X的分布律为教师给予引导，回归到刚提出的问题上。X-102P2€€1，3€其中€未知且0<€<-，用样本值-1,0,-1,2,0求3参数€的矩估计值。分析1.因为样本矩较易得到，而总体矩为含参函数形式，且本题中含有一个未知参数，需一个等式关系，因此，不防先把总体一阶矩（数学期望）求解出来，离散型数学期望的求解为

E(X)=艺x.p.1Ii=1片二E(X)=(-1)x2„+0x„+2x(1-3„)=2-8„2.用样本一阶矩(样本均值X)近似代替气后，卩可看做是已知的，在上述等式中可直接求解未知参数„，即„=83•可用样本矩代替总体矩，即X代替片，得„的矩估计量为八2―X8由于X=1(-1+0-1+2+0)=0故„的矩估计值为0=2…X=184注：1)矩估计量与矩估计值的表示0及其联系与区别；2)“X=片=2-8„”是错误的，X只可近似代替卩，并非相等。例2•设X,X，…,X是来自112n总体X的一个样本，总体X的均值卩及方差6(6>0)均存在，但卩Q2未知，试求卩Q2的矩估计量。解(因为本题中有两个未知参数，一个等式不能够确定，故需考虑用样本二阶矩估计总体二阶矩来构造第二个等式)出=E(X)=»[巴=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=c2+卩2(反解上述两等式，得未知参数的表示形式)通过具体的例题展现极大似然估价法步骤，便于学生更易掌握。

j€=€][g，€2_咛用样本矩%A2代替上式中的€1,€2，得€，A，X162，A-A2，—X2-X2，B21ni2i，1注：无论总体X服从怎样的分布，总有E(X)，X,D(X)，极大似然估计法及其使用(45分钟)二、极大似然估计法基本思想：若事件a的概率依赖于未知参数e,如果观察到A已经发生，那么就取e的估计值使A的概率为最大。(极大似然法的直观想法：如果随机试验的结果得到样本观察值x,x,x，则我们应当这样选取0，12n使这组样本观察值出现的可能性最大，作为0的估计值0.)1.设总体x为离散型，其分布律为p{x=x}=p(x；e)，ee0为待估参数，设X,X，…,X是来自总体X的样12n本，则样本取到的样本值x,x,€,x的概率为12nP{X，x,X，x,€,X，x}=1122nnP{X，x}P{X，x}•••P{X，x}1122nn=<P{X，x}，<p(x;0)iiii，1i，1令l(e)=l(x,x,€,x；e)=<p(x；0)极大12nii，1似然函数LnL(e)=ln<p(x;0)=工lnp(x;0)iii，1i，1dL(0)“dlnL(0)0do，0或d0，0从而得到

G€f（x,x，…,x）12nd2L（0）门且J，0，极大似然估计值dO2例4.设总体X~n（入），入>0为待估参数，设X,X，…,X12n是来自X的一个样本，试求入的极大似然估计值和估计量。-„解：由题可知P{X=x}=p（x；入）=一—（x€0,1,2,…）/*x!难点：整理部分*/]LxL（入）=…"=£”i€1xi!Hx!ii=1LnL（入）=-n„+工x•ln„一工x!iii=1i=1„Xx"b,）=-n+4^令=0，得„=丄工x=x估计d„„nii=1值其估计量„=—》x=Xnii=12.设总体X为连续型，其概率密度为f（x；0）,0e0，设X,X,€,X是来自总体X的一个样本，则12nX,X,€,X的联合概率密度为12nf（x；0）f（x;0）€f（x;0）=…f（x;0）12nii=1LnL（0）=I…f（x；O）――极大似然函数ii=1”n1（0+1）x0,0,x,1例5.f（x；0）—<o其他（0>-1,待估参数）通过具体的例题展现极大似然估价法步骤，便于学生更易掌握。

解：L（0）=€f（X；,）=（,„1）n工X9iii=1i=1LnL（0）=nln（,„1）„,为lnxii=1dlnL（,）n.，片沖n“,J乙*x令=0,得°=T—匸d，，„1iWi=1厶lnxii=1为极大似然估计值右含两个待估参数：L（0],02）=€f（x；，,，）或€p（x；，,，）令孝色12i12i12Q,i=1i=11QlnL=0,苛=02例6.设X~N（卩，02）；|i,O2>0未知，x,x，…,x为12n一个样本值，求卩，02的极大似然估计。1（工_口）2解：f（x;RQ2）,e_202（_g<x<+s）J2<G€1_£-4/c、-n一丄另（x（._R）2L（小02）=丄丄一e202=（2<o2）2e2021J2<oi=1n1vlnL（u，02）=_小[ln2k+ln02]_小乙（x_卩）222o2ii=1QlnL1、_（厶x_n卩）=0，Qr02ii=1QlnLn1y/.=_+（x_R）2=0Q022022（02）2ii=1I&八x_珞砒曰1Rx解得jn02=_Ly（x一x）2ni'i=13•评定估计量好坏的标准对于总体分布中一个未知参数，可提出不冋的估计量

&1€2X如例i和例5中e的估计量，矩估计：e=X—1八n极大似然估计：e=t-—2LlnXii=1这就出现了比较好坏的问题，给出评定好坏标准下面介绍三个常用的评定估计量好坏的标准：无偏性设GG—(X,X，…,X)为参数e的一个估计量，若12ne(°)=e，则称°为e的一个无偏估计量。称|e(°-涉)1为系统误差。例7.试证：无论总体的分布如何，样本k阶原点矩A=—^^Xk是总体k阶原点矩„=E(Xk)的无偏估kniki—1计(当k=1时，X是卩的无偏估计)证明：E(A)—E(丄工Xk)=1E(工Xk)=1Ye(Xk)=1£e(Xk)i—1e(Xk)—„'=1ninki有效性i=1设，，，同为e的无偏估计，若D(，)<D(，)，则1212认为0更为有效。1例10.总体X~n(入)，X,X，…,X为来自总体的样12n本则…—X，E(…)—E(X)—…1111入11-11…—-X+-X，E(…)—E(-X+-X)—…22122v22122，入12-12…一-X+-X，E(…)—E(-X+-X)—…都是3313233-32入的无偏估计D(…)—D(X)—…11八1111…D(…)—D(-X+-X)—-D(X)+-D(X)——22-224-422

入12145D(九)=D(-X,-X)=-D(X),-D(X)=-九33-3-9-9-9显然€更有效23)一致性若„£>0，limP{l09l<8}=1，0—，则称ns°为e的一致估计量。如弱大数定理limP{lX_卩l<s}=1，X―p，同理nSA—卩二E(X)kkkX是总体均值u的无偏，有效，一致估计量S2是总体方差02的无偏，有效，一致估计量课堂小结(5分钟)统计推断］通过对课堂内容的小结，让学生对本节课的内容连贯化、系统化。参数估计■假设检验1I1区间估计点估计1矩估计法最大似然估计法作业布置作业布置通过概率论与数理统计教学平台微信发布仔细阅读课本第184页至第196页；浏览概率论与数理统计教学平台中相关内容。明确告知学生作业要求。教学评价“点估计”属于教材第七章第节，位于教材的第184页至第196页。对于应用型经管类本科生来说，此课程的重点在统计部分，统计部分的重点在