2021年广东省东莞市竹溪中学高一数学文月考试题含解析

2021年广东省东莞市竹溪中学高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的大致图像如图所示，则它的解析式是（

）A． B．C. D．参考答案：D由图易知：函数图象关于y轴对称，函数为偶函数，排除A，B；f(x)=x2的图象为开口向上的抛物线，显然不适合，故选：D

2.已知集合M={x|﹣2x+1＞0}，N={x|x＜a}，若M?N，则a的范围是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】化简集合M，利用数轴求解．【解答】解：M={x|﹣2x+1＞0}={x|x＜}，∵M?N，由数轴得∴a≥．故选：D．3.已知圆和两点，.若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（）A.8 B.7 C.6 D.5参考答案：B【分析】由求出点P的轨迹是一个圆，根据两圆有公共点可得出的最大值.【详解】解：设因为，所以点P在以线段为直径的圆上，记该圆为圆，即此时点P的方程为，又因为点在圆上，故圆与圆有公共点，故得到，解得：，故，故选B.【点睛】本题考查了轨迹思想，考查了两圆的位置关系，解题的关键是将条件转化为轨迹方程，从而解决问题.4.已知,则的值为

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B5.（

）

参考答案：A6.函数且的图像一定过定点(

)A.(2,1)

B.(2,2)

C.

(0,2)

D.(2,-3)参考答案：B7.如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于(

)A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6参考答案：B【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】连接DE，连接并延长EP交BC于点F，利用DE是△ABC中位线，求出FC=BC，再用PQ是△EFC中位线，PQ=CF，即可求得答案．【解答】解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，∵DE是△ABC中位线，∴DE=BC，AE=BE，AD=CD，∴∠EDB=∠DBF，∵P、Q是BD、CE的中点，∴DP=BP，∵在△DEP与△BFP中，∠EDB=∠DBF，DP=BP，∠EPD=∠BPF，∴△DEP≌△BFP（ASA），∴BF=DE=BC，P是EF中点，∴FC=BC，PQ是△EFC中位线，PQ=FC，∴PQ：BC=1：4．故选：B．【点评】本题考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形中位线定理的合理运用．8.已知函数，则A．是奇函数，且在R上是增函数

B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数

D．是偶函数，且在R上是减函数参考答案：A9.若函数为偶函数，则下列结论正确的是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】函数为偶函数,则有f(-1)=f(1),可解得a=1,函数在区间单调递减,在区间单调递增,故自变量距离0越远函数值越大,即可求解.【详解】因为函数为偶函数所以f(-1)=f(1),解得a=1又因为函数在单调递减,在单调递增所以故选C【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性和单调性的应用,属于中等难度题目,解题中关键是利用偶函数的性质求解a的值,其次是利用偶函数的单调性比较大小(先减后增,离原点越远函数值越大,先增后减,离原点越远越小).10.函数的单调递减区间（

）

A

B．C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如图）．s1，s2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则s1s2．（填“＞”、“＜”或“=”）参考答案：＜【考点】BA：茎叶图．【分析】本题主要考查数据的离散程度与茎叶图形状的关系．茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小．【解答】解：由茎叶图可知，甲的数据大部分集中在“中线”附近而的数据大部分离散在“中线”周围由数据的离散程度与茎叶图形状的关系易得：s1＜s2故答案为＜．【点评】数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离散，表示数据离散度越大，其标准差越大．12.圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣11=0上的点到直线x+y﹣13=0的最大距离与最小距离之差是

．参考答案：8【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进一步求得圆上的点到直线的最大距离与最小距离，则答案可求．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣11=0的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=16，圆心坐标为（2，1），半径为4．圆心到直线x+y﹣13=0的距离为d==5，∴圆上的点到直线的最大距离为5+4，圆上的点到直线的最小距离为5﹣4，∴最大距离与最小距离之差是8．故答案为：8．13.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，△AB1D1面积为

，三棱锥A﹣A1B1D1的体积为

．参考答案：，．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，△AB1D1是边长为=2的等边三角形，由此能求出△AB1D1面积和三棱锥A﹣A1B1D1的体积．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，∴△AB1D1是边长为=2的等边三角形，∴△AB1D1面积S==．===．故答案为：，．【点评】本题考查三角形的面积的求法，考查三棱锥的体积的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．14.函数的单调递增区间是________。

参考答案：[]略15.在上总有意义，求的取值范围_______参考答案：略16.已知函数f（x）=ln（2x+a2﹣4）的定义域、值域都为R，则a取值的集合为．参考答案：{﹣2，2}【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】由题意，函数f（x）=ln（2x+a2﹣4）的定义域、值域都为R，即2x+a2﹣4＞0在x∈R上恒成立．即可求解．【解答】解：由题意，函数f（x）=ln（2x+a2﹣4）的定义域、值域都为R，即2x+a2﹣4＞0在x∈R上恒成立．∵x∈R，2x＞0，要使2x+a2﹣4值域为R，∴只需4﹣a2=0得：a=±2．∴得a取值的集合为{﹣2，2}．故答案为{﹣2，2}．17.若方程有四个不同的解，则实数的取值范围为

**

；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）设是等差数列的前项和，且，。（1）、求数列的通项公式；（2）、若数列满足，且，设数列的前项和为，求证：。参考答案：（1）

（2），得证19.已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=ax一定是Ω函数．参考答案：【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（I）①利用Ω对于即可判断出函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）函数f（x）是Ω函数，可得存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，可得Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），通过换元进而得出：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（ii）同（i）可以证明．（III）当a＞1时，假设函数f（x）=ax是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），可得Tax+T=ax，化为：TaT=1，即aT=，此方程有非0的实数根，即可证明．【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=ax是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），∴Tax+T=ax，化为：TaTax=ax，∵ax＞0，∴TaT=1，即aT=，此方程有非0的实数根，因此T≠0且存在，∴当a＞1时，函数f（x）=ax一定是Ω函数．20.某城市出租车收费标准如下：①起步价3km（含3km）为10元；②超过3km以外的路程按2元/km收费；③不足1km按1km计费．（1）试写出收费y元与x（km）（0＜x≤5）之间的函数关系式；（2）若某人乘出租车花了24元钱，求此人乘车里程xkm的取值范围．参考答案：【考点】分段函数的应用．【分析】（1）根据条件建立函数关系即可试写出收费y元与x（km）（0＜x≤5）之间的函数关系式；（2）根据分段函数，求出当y=24时的解即可．【解答】解：（1）根据条件可得收费y元与x（km）（0＜x≤5）之间的函数关系式为．（2）∵24＞10，∴此人乘车里程x＞3，则由题意得24﹣10=14，则14÷2=7，即此人最多车程为3+7=10km，最小为10﹣1=9，即9＜x≤10．21.（本题10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是，已知

.（1）判断△ABC的形状；（2）若，求角B的大小参考答案：由

则由

则又∵∴

∴由得，由正弦定理由

∴∴B=600

略22.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到下表数据：单价x（元）销量y（件）

且，，（1）已知y与x具有线性相关关系，求出y关于x回归直线方程；（2）解释回归