辽宁省抚顺市四方中学2021年高二数学理测试题含解析

辽宁省抚顺市四方中学2021年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】二面角的平面角及求法．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BD1﹣B1的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，1），=（0，0，1），设平面ABD1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得，设平面BB1D1的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，﹣1，0），设二面角A﹣BD1﹣B1的大小为θ，则cosθ===﹣，∴θ=．∴二面角A﹣BD1﹣B1的大小为．故选：C．【点评】本题考查二面角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．3.已知定义在R上的偶函数f(x)满足，当时，.函数，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为（

）A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：A【分析】根据题意，分析可得与的图象都关于直线对称，作出两个函数的图象，分析其交点的情况即可得答案．【详解】根据题意，函数满足，则的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，函数的图象与函数的图象的位置关系如图所示，可知两个图象有3个交点，一个在直线上，另外2个关于直线对称，则两个函数图象所有交点的横坐标之和为3；故选：A．【点睛】一般地，如果函数满足，那么的图像关于对称，如果函数满足，那么的图像关于点对称.刻画函数图像时，注意利用上述性质.4.在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则角B的值为(

)A．

B．

C．或

D．或参考答案：D5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．10π+96 B．9π+96 C．8π+96 D．9π+80参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体为一个正方体和一个圆柱的组合体，根据三视图的数据求出正方体表面积和圆柱的侧面积相加可得答案．【解答】解：由三视图知几何体为一个正方体与一个圆柱的组合体，其中圆柱的直径为2，高为4，S侧面积=2π×1×4=8π，S圆柱上表面积=S圆柱下表面积=π，正方体的边长为4，S正方体=6×42=96，∴几何体的表面积S=9π+96﹣π=8π+96．故选：C．6.（本小题满分5分）若函数f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()A．[－1，＋∞)

B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1)

D．(－∞，－1]参考答案：D7.已知，t是大于0的常数，且函数的最小值为9，则t的值为（

）A.4

B.6

C.8 D.10参考答案：A8.在长为4的线段上任取一点，则该点到两端点的距离均不小于1的概率为

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A略9.已知圆：，圆：，若圆

的切线交圆于两点，则面积的取值范围是A.

B.C.

D.参考答案：A略10.如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”．对于给定的常数，给出下列命题：①若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个；②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个；③若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}的前n项和Sn=n3﹣n2，则a10=．参考答案：252考点：数列的函数特性专题：函数的性质及应用．分析：直接利用已知条件求出a10=S10﹣S9的结果即可．解答：解：数列{an}的前n项和Sn=n3﹣n2，则a10=S10﹣S9=103﹣102﹣（93﹣92）=252．故答案为：252．点评：本题考查数列的函数的特征，基本知识的考查12.已知向量,.若,则实数__________

参考答案：13.已知圆的极坐标方程，则该圆的圆心到直线的距离是______________________。参考答案：14.已知A，B，C，P为半径为R的球面上的四点，其中AB，AC，BC间的球面距离分别为，，，若，其中O为球心，则的最大值是__________．参考答案：【分析】根据球面距离可求得三边长，利用正弦定理可求得所在小圆的半径；，根据平面向量基本定理可知四点共面，从而将所求问题变为的最大值；根据最小值为球心到所在平面的距离，可求得最小值，代入可求得所求的最大值.【详解】间的球面距离为

同理可得：

所在小圆的半径：设

四点共面若取最大值，则需取最小值最小值为球心到所在平面的距离本题正确结果：【点睛】本题考查球面距离、球的性质的应用、平面向量基本定理的应用、正余弦定理解三角形等知识；关键是能够构造出符合平面向量基本定理的形式，从而证得四点共面，将问题转化为半径与球心到小圆面距离的比值的最大值的求解的问题.

15.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.参考答案：.【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点，则.又，当时，，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一实数根，此时，故点的坐标为.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．16.已知f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝_______.参考答案：-417.参考答案：D略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：使用年数246810售价16139.574.5（1）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：=，=y﹣）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？（利润=售价﹣收购价）参考答案：【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）由表中数据计算b，a，即可写出回归直线方程；（2）写出利润函数L（x）=y﹣w，利用导数求出x=6时L（x）取得最大值．【解答】解：（1）由已知：，，…，，，…所求线性回归直线方程为…（2）L（x）=y﹣w=﹣1.45x+18.7﹣（0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2）=﹣0.01x3+0.09x2+1.5（0＜x≤10）…L′（x）=﹣0.03x2+0.18x=﹣0.03x（x﹣6）…x∈（0，6）时，L′（x）＞0，L（x）单调递增，x∈（6，10]时，L′（x）＜0，L（x）单调递减…所以预测x=6时，销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大．…19.（本小题满分12分）在Δ中，，，，求：（Ⅰ）Δ的面积；（Ⅱ）边的长。参考答案：；（Ⅰ）Δ的面积；（Ⅱ）边的长为。20.如图，AB是底面半径为1的圆柱的一条母线，O为下底面中心，BC是下底面的一条切线。（1）求证：OB⊥AC；（2）若AC与圆柱下底面所成的角为30°，OA=2。求三棱锥A-BOC的体积。参考答案：（1）连结OB，由圆的切线性质有OB⊥BC，而BC是AC在底面⊙O上的射影，∴OB⊥平面ABC，∴OB⊥AC。（2）在RtΔOAB中，AB＝．又∵∠ACB就是AC与底面⊙O所成角，,21.（本小题满分16分）设函数(是自然对数的底数)．(1)判断函数零点的个数，并说明理由；(2)设数列满足：且；①求证：；②比较与的大小．参考答案：解：(1)，令=0，.当时，<0，在单调递减；当时，>0，在单调递增.故.令，函数，因为<0，所以函数在单调递减，故，又，故，从而有两个零点．…5分(2)①因为，即，所以．下面用数学归纳法证明．当时，成立．假设当时，，则，故，从而，则，故当时不等式成立．从而对．

…….……11分②因为，考虑函数．因为，所以在（0，1）上是增函数，故，从而，即．……