23个经典的不等式专题

证明：1+工+—+...+—<2；TOC\o"1-5"\h\z2232n2若：a3+b3=2，求证：〃+b<2;1111若：neN+，求证：一<++…+—<1；2n+1n+22n若：a,b,c是AABC的三边，求证：—+—>—1+a1+b1+c当n>2时，求证：1—<—+—+...+—<1-12n+12232n2n7、若xeR，求y=\；x2+x+1-x22-x+1的值域；求函数y="‘in,的最大值和最小值；2-cos62229若a,b,c>0，求证：++>；a+bb+cc+aa+b+c10、若a,b,ceR，且a2+b2+c2=25，试求：a-2b+2c的取值范围11、若a,b,ceR，且2a-b-2c=6，求a2+b2+c2的最小值12、若a,b,ceR，且喑+—+/二1，求a+"c的最大值和最小值；13、若a,b,c>0，x,y,z>0，且满足a2+b2+c2=25，x2+y2+z2=36，a+b+c121A/stax+by+cz=30，求：的值；x+y+z14、求证：£—<-；k23k=115、当n>2时，求证：2<(1+1)n<3；n16、求证：116、求证：1•31•3•51•3•5•…・(2n-1)++...+2•42•4•62•4•6・…・(2n)<2nn+111117、求证：2Q17、求证：2Qn+1-1)<1+<2旧jnx18、已知：x>0,求证：<ln(1+x)<x；1+x19、已知：neN+，求证：—+—+...+<ln(1+x)<1+—+...+—；23n+12n20、已知：n>2，求证：2n>n(n-1)；111n21、已知：ngN+，求证：1+—+—+…+>—21、已知：232n-1222、设：Sn2322、设：Sn23、已知：=<172+%,13+...+、:n(n+1)，求证：n(n+1)<2S<(n+1)2；nn111ngN+，求证：1<++…+<2.n+1n+23n+1【解答】1.证明：1+-1+1+...+1<2；2231.证明：1+1、证明：£1=1+£I<1+£,=1+£k=1k2k=2k2k=2k(k-1)k=2从第二项开始放缩后，实行裂项求和.另：本题也能够采用积分法证明.构建函数：f(x)=±，则f(x)在xGR+区间为单调递减函数.X2于是：£—k于是：£—k2k=1=1+£—<1+JnLx=1-1k21x2k=2n111=1—(——-)=2--<2n1n1从第二项开始用积分，当函数是减函数时，积分项大于求和项时，积分限为［1,n］；积分项小于求和项时，积分限为［2,n+1］.2.若：a3+b3=2，求证：a+b<2；2、证明：a3+b3=(a+b)(a2+b2一ab)>ab(a+b)，即：ab(a+b)<2则：3ab(a+b)<6，a3+b3+3ab(a+b)<8，即：(a+b)3<8，即：a+b<2.立方和公式以及均值不等式配合.另：本题也能够采用琴生不等式证明.构建函数：f(x)=x3，则在在xGR+区间为单调递增函数，且是下凸函数.对于此类函数，琴生不等式表述为：函数值得平均值不小于平均值的函数值.f(x1)+f(x2)+…+f(xn)即：即：a3+b3>2—即：33.3<a_±即：a3+b3>2—即：33.3<a_±b_2a+b<1，即：a+b<22琴生不等式可秒此题.3.若：neN+,求证：1<—+2n+1n+2+...+—<1；

2n3、由：n+n>n+k>n(k=1,2,...,n)得：—<—-—<—,2nn+kn则：故：［上<£JL2nn+kk=1k=1111一<+2n+1n+2y1<乙一,nk=1n111HP：—<++...+—+...+—<1.

2n对于本题：fa)+于3)>f(a+b)^2^2从一开始就放缩，然后求和.另：本题也能够采用不等式性质证明.，当有n项累加时，，本题有些松.所证不等式中的任何一项如第k项，均满足—<—，当有n项累加时，，本题有些松.2nn+kn不等式两个边界项乘以n倍，则不等式依然成立.即：大于最小值得n倍，小于最大值的n倍.1+…+而的最大值是ln2“0.693147....若：a,b>0，且ab=a+b+3，求：a+b的取值范围；4、解：(a+b)2=a2+b2+2ab>4ab=4(a+b+3)=4(a+b)+12,令：t=a+b，则上式为：12-4t-12>0.解之得：t>6.均值不等式和二次不等式..若：a,b,c是AABC的三边，求证：—+—>—；1+a1+b1+c5、证明：构造函数f(x)=—，则在x>0时，f(x)为增函数.1+x所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：a+b>c,那么,fa+b)>fc),即：->上

ab+1+ab+1+a1+b>+=>1+a+b1+a+b1+a+b1+c构造函数法，利用单调性，再放缩，得到结果.另：不等式的入门证法就是“作差法”和“作商法”.“作差法”即两项相减得差与0比较；作商法”即同号两项相除得商与1比较.本题亦能够采用“作差法”..当n>2时，求证：——1—<—+—+...+—<1——2n+12232n2n.证明：当n>2时，n—1<n<n+1,都扩大n倍得：n(n—1)<n2<n(n+1),TOC\o"1-5"\h\z取倒数得：>1>,n(n—1)n2n(n+1)11111裂项：——>—>—―,n—1nn2nn+1求和：E，―1)>ZLZ(1—L,k—1kk2kk+1k=2k=2k=2111111艮口：1——>++…+>——n2232n22n+1先放缩，裂项求和，再放缩.另：本题也能够采用积分证明.构建函数：/(%)=-2-，则f(x)在xeR+区间为单调递减函数.x2由面积关系得到：jk—1；dx>f(k)>Jk+1；dxxxk„1k即：—1xk—1即：L_1>J_>1—，k—1kk2kk+1本式实际上是放缩法得到的基本不等式，同前面裂项式.

后面的证法同前.7、若xeR，求y=、：'x2+x+1—或x2—x+1的值域；7、解：y二弋x2+x+1—<x2—x+17、解：设：则：23一则：+-，m—n=(1,0)

4代入向量不等式:|m代入向量不等式:|m|-|n||<|m一n\得：|y|=I|m|—|n||<|m—n\=1，故：—1<y<1.这回用绝对值不等式.本题另解.求函数y=<x2+x+1-Y,x2—x+1的极值，从而得到不等式.TOC\o"1-5"\h\z2x+12x—1八求导得：y'=.一一一=02弋x2+x+12%：x2—x+1贝lj：x=±8，故函数y=\/x2+x+1—、；x2—x+1的极值出现在x=±8.函数为奇函数，故我们仅讨论正半轴就能够了，即在xe[0,+8).”72272x2y=\'x+x+1—工x—x+1=,一=，-\：x2+x+1+\：x2—x+1：1+1++：1-1+-1xxx2\|xx2y=lim(2__)=1mx>8：i+i：T+li—I+Z\xx2\xx2因为是奇函数，故在xe(-8,0),—xx2+x+—xx2+x+1—\:x2—x+1=、；x2+x+1+、■,'x2-x+11+1+_1+；1-1+1\xx2、：xx2

)=-1y=)=-1mxT-g故：ye(-1,1).8、8、9、8、8、9、9、2-cos6解：将函数稍作变形为：y=%与0-(-s噂)―工,-cos6x-xMN设点M(x,y)，点N(x,y)，则M(2,0)，N(cos6,-sin6)，MMNN而点N在单位圆上，y就是一条直线的斜率，是过点M和圆上点N直线斜率的倍，关键是直线过圆上的N点.直线与单位圆的交点的纵坐标范围就是：-1<y<1.故y的最大值是，最小值是.原本要计算一番，这用分析法，免计算了.另：如果要计算.先变形：y="3sin,变形为：2y-ycos6=J3sin6=v3sin6+ycos6；2-cos6即：2y={3+y2("sin6+,ycos6)=个3+y2sin(6+①)；,3+y2v13+y2即：-JL==sin(6+w)，即：一1<--=L==sin(6+p)<1；TOC\o"1-5"\h\zJ3+y2v3+y2即：-1ZL<1，即：4y2<3+y2，即：y2<1，即：-1<y<1+y2如果要计算，需要用到辅助角公式.222、9若a,b,c>0，求证：++>a+bb+cc+aa+b+c证明：由柯西不等式：r111\++卜|-(a+b)+(b+c)+(c+a)a+b'b+c+J+a+ba+b'b+c+J+a+bbb+c即:f-1-+—+—]•[2(〃+b+c)]N(3)2=9Va+bb+cc+a)L」即：柯西不等式.本题也能够采用排序不等式证明.首先将不等式变形：a+b+c+a+b+c+a+b+c>9；a+bb+cc+a2即：3+，+3+工>9，即：二+3+-L>3a+bb+cc+a2a+bb+cc+a2因为对称性，不妨设：a>b>c，则：a+b>a+c>b+c；即：，>，>，.b+ca+ca+b有排序不等式得：正序和旦+_b_+->3+_b_+二乱序和；b+ca+ca+ba+ca+bb+c正序和-+_b_+—>2+_b_+二乱序和；b+ca+ca+ba+bb+ca+c上两式相加得：2f-+上+上]>a+b+b+c+”c=3Vb+ca+ca+bJa+bb+ca+c即：—++_b_>3证毕.a+bb+cc+a2排序不等式.10、若a,b,ceR，且a2+b2+c2=25，试求：a—2b+2c的取值范围10、解：柯西不等式:[12+(—2>+22]Q2+b2+c2)>(a—2b+2c)2；即：9x25>(a—2b+2c>，故：|a—2b+2c|<15；所以:—15<a—2b+2c<15.柯西不等式.另：本题亦可采用求极值的方法证明.构建拉格朗日函数：L(a,b,c)=a—2b+2c+1(a2+b2+c2—25)入由在极值点的导数为0得:也=1+即=0，贝IJ：九=—2a，即：a=-上；TOC\o"1-5"\h\zaa九2生=-2+丝=0，贝I」：九二b，即：b=X；aa九生=2+竺=0，贝I」：X=—c，即：c=-X.aa九代入a2+b2+c2=25得：X=±竺—3极值点为：a=--=+-,b=X=±—,c=-k=干10233+3贝lj：ymaa-2b+2c=不15，即：一15<a-2b+2c<1511、若a,b,ceR,且2a-b-2c=6,求a2+b2+c2的最小值；11、解：设：m=(2,-1,-2),n=(x,y,z),贝lj：|m|2=22+(-1)2+(-2)2=9；|n|2=a2+b2+c2；m•n=2a-b-2c；代入|m|n|>m•n得：9(a2+b2+c2)2(2a-b-2c>=36；即：a2+b2+c2>4，故：最小值为4.向量不等式.向量不等式是柯西不等式的特殊形式，本题当然可用柯西不等式.[22+(-1)2+(-2)2](a2+b2+c2)>(2a-b-2c)2,(2a-b-2c)262即：(a2+b2+c2)>二一二4[22+(-1)2+(-2)2]9用拉格朗日乘数法也行.构建拉氏函数：L(a,b,c)=a2+b2+c2+X(2a-b-2c-6)在极值点的导数为0,即：al——=2a+2九=0，即：X=-a；aa2b-=2b-X=0，即：X=2b；abal—=2c—2X=0，即：X=c.ac4代入2a—b—2c=6得：X=—-3

则：”4,b=-2,c=-4333故：(2\2(4\2故：+—3+—3l37I37求极值时，要判断是极大值还是极小值，只需用赋值法代一下.12、12、且12、12、且(0-1)2+X+(£—3)2二116，求a+b+c的最大值和最小值；解：柯西不等式：>[(a-1)+(b+2)+(c-3>[(a-1)+(b+2)+(c-3)」2」|_l47l<57l27即：25x1>(a+b+c-2)；故：-5<(a+b+c-2)<5；于是:-3<(a+b+c)<7.柯西不等式.另：本题也能够采用换元法求解.有人说：仁。！+史士生+(£士=1是一个椭球面，没错.它是一个不等轴的椭球.它1654的三个半轴长分别为：A=4，B=<5，C=2设：x=a-1，y=b+2，z=c-3，则这个椭球的方程为：现在来求a+b+c的最大值和最小值.采用三角换元法：令：x=Asin0cos①，y=Bsin0sin①，z=Ccos0代入方程①检验，可知它满足方程.采用辅助角公式化简：f=x+y+z=Asin0cos①+Bsin0sin①+Ccos0=4sin0cosq+J5sin0sinq+2cos0

=<42+5sin9(cos①+sin①)+2cos942+542+542+5sin(a+①)sin9+2cos9=\；21sin2(a+干)+22[v21sin(a+干)\=\；21sin2(a+干)+22[v21sin(a+干)\;21sin2(a+干)+2「2c=sin9+=cos9]2\：21sin2(a+干)+22=j21sin2(a+9)+22sin(9+。)故：f=x+y+z的峰值是：当sin2(a+9)=1时，f=y21sin2(a+9)+22=<21+22=5m1艮口：—5«x+y+z«5而x+y+z=a—1+b+2+c—3=a+b+c—2,1故:—5Va+b+c—2V5，即：-3Va+b+cV7.13、若a,b,c>0,x,y,z>0,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,求：a+b+c的值；

x+y+z13、解：本题满足：(a2+b2+c2)《2+y2+z2)=(ax+by+cz\即柯西不等式中等号成立的条件.故有：—=—=—=X>0，即：a=九x，b='yxyz贝I」：a2+b2+c2=九2(x2+y2+z2)；即：九2=a+"2+c>x2+y2+z225525，即：X=5366故：abca+b+c5xyzx+y+z6柯西不等式中等号成立.14、求证：X—<5k23k=114、证明：X二1+X二1+XA<1+X上二1+花［，一，］k2k24k24k2-112k-12k+1)k=1k=2k=2k=2k=2…门1—c15=1+2*——<1+2x—=—132n+1)33注意变形为不等式的方法，虽然仍是放缩法.另：本题也能够采用积分法证明.构建函数：/(%)=；，则f(x)在xeR+区间为单调递减函数.%TOC\o"1-5"\h\zV111X15乙——=1+—+乙——=—+k24k24k243%2k=1k=3k=351n5(11115+4119205=———=—————=―—<==—4x4In3)12n12123315、当n>2时，求证：2<(1+1)n<3；n15、证明：①由二项式定理得：=Vck.—=1+C1-1+C2.—+...+Cn.1>1+C1」=2nnknnnn2nnnnnk=0②由二项式定理得：1V.11Vn!11V1n!=1+乙Ck——=1+乙-—=1+乙nnkk!(n—k)!nkk!(n—k)!nkk=1k=1k=1(n—k+1)

・n<1+(n—k+1)

・n<1+V1=1+1+V1k!k!k=1k=2=1+-・k!nnnk=1=2+VL2+V，=2+Vf，-1J=2+1-1<3k!k(k—1)|k—1k)nk=2k=2k=2本题①由二项式中，保留前两项实行放缩得到：(1+1)n>2；n本题②由二项式中，分子由从n开始的k个递减数连乘，分母由k个n连乘，得到的分数必定小于1.于是得到：(1+1)n<3.n另：本题也能够利用函数的基本性质证明.

(11x构建函数：f(x)=1+1，则在x>1时，函数为单调递增函数.Ix)故：在x>2时，f(x)>f(1)=(1+1)1=2利用基本不等式：ln(1+x)<x，即：1+x<ex1(1\x1—贝I」：f(x)=1+-=(1+y)y<(ey)y=e<3.Ix)本方法需要使用ln(1+x)<x，该不等式成立的条件是：x>0.16、求证：11-3—++22-41-3-51-3-5•…-(2n-1)+...+：2-4-62-4-6-...-(2n)16、证明：(2n>>(2n》-1=(2n-1)(2n+1)，故：2n二1<-^―2n2n+1(2n)(2n+1)令_135(2n)(2n+1)令：J—---...,T—--n246(2n)n357贝I」：S<Tnn即：S2<S-T=1-3-5-...-2-2-4-6-...-必=，nnn246(2n)357(2n+1)2n+1故：Sn<京*,..12由2J2n+1><2n+1+<2n-1得：«__2nn+12nn+1+<2n-11.即：.<Q2n+1-、.：2n-1),2nn+1故：代入①式得：s<<2n+1.,2n-rn则：原式=S+S+...+S=Zs<Z(v2l+1-x;2F-T)=<2n+1-1<<2n+112nkk=1k=1本题的关键在于把根式或其他式子换成两个相邻的根式差，然后利用求和来消去中间部分，只剩两头.17、求证：2(%.n+1-1)<1+111+++一17、证明：由2%n<、,nTT+5得：即：Z上>2XQE-乐)=2(\尻71—1)①衣k=1k=1得：(8n2—1)>由：(8n2—1)>(8n2—1)—1=8得：(8n2—1)>n2—2)=2、；：4n2(4n2—1)=2Jn(2n+1)、J2n(2n-1)即:8n2—2\；2n(2n+1)%：2n(2n—1)>1,即：2n(2n+1)+2n(2n—1)—2(2n(2n+1)(2n(2n—1)>1即：(,'2n(2n+1)—、.,2n(2n—1))>1,即：①(/2n+1—<,2n-1)>1故：工<理(亏7T—J后T),n多项求和：Z1=<<2Z(2k+1—2kk—1)=<2(/2n+1—1)v'kk=1k=1由①②，本题得证.本题还是采用级数求和的放缩法.X18、18、已知：X>0,求证：<ln(1+X)18、18、1+X证明：(1)构造函数：f(x)=x—ln(1+x)，则：f(0)=0.当X>0时，函数的导数为：f'(x)=1——>0，1+X即当X>0时，函数f(X)为增函数.即：f(X)>f(0)=0；故：f(x)=x—ln(1+x)>0，即：ln(1+x)<x.X(2)构造函数：g(x)=ln(1+x)—一，则：g(0)=0.1+X当X>0时，其导数为：g'(X)=——I——1j|=1J>0.1+xI1+x(1+x)I(1+x)2即当x>0时，函数g(x)为增函数.即：g(x)>g(0)=0；故：g(x)=ln(1+x)—>0，即：<ln(1+x).+X1+X由(1)和(2)，本题证毕.

本题采用构造函数法，利用函数单调性来证题.19、19、已知:neN+，求证：一+—+…+<ln(1+x)<19、19、3n+12n证明：先构造函数：f(x)=-，在函数图象上分别取三点A,B,C,x即：A(k,-),B(k—1,」)，C(k+1,」),kk-1k+1我们来看一下这几个图形的面积关系：S<S=S<S；AEFCAEFHAEDGAEDB即：Jk+1Ldx<即：Jk+1Ldx<f(k)-1<kx即：lnxk+1kJk—•dx

k-1x<f(k)<lnxlkk-1即：ln(k+1)-Ink<-<Ink-ln(k-1)；

k(1)ln(k+1)-lnk<1k求和：z(ln(k+1)-lnk)<zL1+1+...+1；k2nk=1k=1即：ln(n+1)<1+1+...+1；2n(2)1<lnk-ln(k-1)求和：；k即：z1=2+3+…+n+1<ln(n+1);k=2由(1)和(2)证毕.本题采用构造函数法，利用函数的面积积分来证题.20、20、已知：当n>2时，求证：2n>n(20、20、证明：当2<r<n-1时，Cr>C1=n.nn由二项式定理得：2n=(1+1)n=znCk>nzn-1Ck>nzn-1n=n(n-1)k=0k=1k=1证毕.本题利用二项式定理进行放缩得证.21、已知：neN+，求证：1+1+1+...+，>n21、证明：设：S=1+1+1+21、已知：neN+，求证：1+1+1+...+，>n21、证明：设：S=1+1+1+...+

n23，则：s=1+d)+d+b+d+1+1+1)+...+(n2345678+2n-1+12n-1+2+.，+1)-12n-12n2n1—1।1-1।1।1।1。/।1,1।1、1>1+(—)+(—+—)+(—+—+—+—)+...+(—+—+...—+—)——22222232323232n2n2n2n2n1、，J、，J、，，J、1i,n1n1、n=1+(—)+(—)+(—)+...+(一)——=1+——=—+(1——)>22222n22n22n2证毕.将1以后的项数，按2的次方个数划分成n组，每组都大于1，这样放缩得证.222、设：S=<1^2+%：T3+...+方(n+1)，n22、求证:n(n+1)<2S<(n+1)2；

n证明：由k<v,k(k+1)<k++D=k+2得：k<k((k+1)<k+2，求和得：Ek<E、：k(k+1)<£k=1k=1k=123、23、n(n+1)0即：—<