43.勾股定理全章复习与巩固(基础)知识讲解

榻老师联系电话（微信）无榻老师联系电话（微信）无勾股定理全章复习与巩固（基础）撰稿：康红梅责编：吴婷婷【学习目标】.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂勾股定理全章复习知识要点】要点一、勾股定理.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a2+b2=c2）.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为6的线段.要点二、勾股定理的逆定理.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题..勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若a2+b2=c2,则4ABC是以NC为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形..勾股数满足不定方程12+>2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、工为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果（〃、b、c）是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：.较小的直角边为连续奇数；.较长的直角边与对应斜边相差1..假设三个数分别为a、b、c，且a<b<c，那么存在a2=b+c成立.（例如④中存在72=24+25、92=40+41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8,求第三边的长.【答案与解析】解：设第三边为了.当x为斜边时，由勾股定理得x2=62+82.所以x=\/62+82=Y36+64=vi00=10.当X为直角边时，由勾股定理，得X2+62=82.所以X=<82-62=J64-36=<28=2".所以这个三角形的第三边为10或2<7.【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边．举一反三：【变式】在4ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12.求4ABC的周长.【答案】解：在Rt△ABD和RSACD中，由勾股定理，得BD2=AB2-AD2=152-122=81..・.BD=两=9.同理CD2=AC2-AD2=132-122=25.

CD=衣=CD=衣=5①当NACB>90。时AABC的周长为:②当NACBV90。时AABC的周长为:AB+BC+CA=15+4+13=32.BC=BD+CD=9+5=14.AB+BC+CA=15+14+13=42.综上所述：4ABC的周长为32或42.2、如图所示，^ABC中，NACB=90°,AC=CB,M为AB上一点.求证：AM2+BM2=2CM2.【思路点拨】欲证的等式中出现了AM2、BM2、CM2,自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CDLAB.【答案与解析】证明：过点C作CDLAB于D.AC=BC,CD±AB,IAD=BD.ZACB=90°,CD=AD=DB.y+^AD+DMAM2+BM2=(AD-DMy+^AD+DM=AD2—2AD•DM+DM2+AD2+2AD•DM+DM2二2(AD2+DM2)二2(CD2+DM2)在Rt^CDM中，CD2+DM2=CM2,・•.AM2+BM2=2CM2.【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证.举一反三：【变式】已知，^ABC中，AB=AC,D为BC上任一点，求证：AB2—AD2=BD-CD.

【答案】解：如图，作AMLBC于M,VAB=AC,.*.BM=CM,【答案】解：如图，作AMLBC于M,VAB=AC,.*.BM=CM,则在Rt^ABM中：在Rt^ADM中:AD2=AM2+DM2……②A由①一②得:AB2—AD2=BM2-DM2=(BM+DM)(BM-DM)A=（MC+DMABD=CD•BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在4ABC中，AB=AC=20,BC=32,D是BC上的一点，且ADLAC,求BD的长.A【思路点拨】由于BD所在的4ABD不是直角三角形，不易直接求出BD的长，且4ACD尽管是直角三角形，但AD的长是未知的，因而不能确定CD的长.过点A作AELBC于E，这时可以从Rt^ABE与Rt^ADE、Rt^ADC中，运用勾股定理可求得AE、DE的长，从而求出BD的长．【答案与解析】解：过点A作AELBC于E.AB=AC,BE=EC=-*-BC=1x32=16.22在Rt^ABE中，AB=20,BE=16,AE2=AE2=AB2-BE2=202-162=144,在Rt^ADE中，设DE=%，则AD2=AE2+DE2=144+x2,

AD±AC,AD2+AC2=CD2，而144+x2+202=(16+x)2.解得：x=9.・•・BD=BE—DE=16—9=7.【总结升华】勾股定理的作用是：已知直角三角形的两边可以求第三边，所以求直角三角形的边长时应该联想到勾股定理.举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中，NB=22.5°,AB的垂直平分线交BC于D,BD=6<2【变式】如图所示，已知△ABC中，NB=22.5°,AB的垂直平分线交BC于D,BD=6<2,【答案】解：连接AD.•・•DF是线段AB的垂直平分线,AD=BD=672,・•ZBAD=ZB=22.5°又•••/ADE=NB+NBAD=45°，AE±BC,ZDAE=45°,AE=DE由勾股定理得：AE2+DE2=AD2,2AE2=(6<2)2，,AE=62=6.其面积分别用如图①所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆其面积分别用s、1s、2s表示，则不难证明s=S+S.123⑴如图②，分别以直角三角形s、1s、2s表示，则不难证明s=S+S.123⑴如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用s、1s、s表示，那么s、s、s之间有什么关系？（不必证明）23123⑵如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用s、1s、s表示，请你确定s、s、s之间的关系并加以证明.23123感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！榻老师联系电话(微信)无榻老师联系电话(微信)无①【答案与解析】解：设Rt△ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、。，则a2+b2=c2.⑴S=S+S；123(2)S=S+S.证明如下：123显然，S=3Cc2,S=3aa2,S=3bb2,142434所以S+S=亘(a2+b2)=亘c2=S.23441【总结升华】本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、正五边形等.5、如果AABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断AABC的形状.【答案与解析】解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2一6a+9+b2一8b+16+c2-10c+25=0・•.(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0•・•(a-3)2>0,(b-4)2>0,(c-5)2>0a=3,b=4,c=5.:32+42=52,a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理得：AABC是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！榻老师联系电话（微信）无榻老师联系电话（微信）无类型三、勾股定理的实际应用【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【答案与解析】解：如图②③所示.6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【答案与解析】解：如图②③所示.6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少？因为两点之间线段最短所以最短的爬行路程就是线段AB的长度.，在图②中，由勾股定理得在图②中，由勾股定理得AB2=32+112=130.在图③中，由勾股定理，得AB2=62+82=100.因为130>100,所以图③中的AB的长度最短，为10cm,即蚂蚁需要爬行的最