2022年辽宁省阜新市第十六高级中学高二数学文月考试题含解析

2022年辽宁省阜新市第十六高级中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.经过空间任意三点作平面

（

）A．只有一个

B．可作二个

C．可作无数多个

D．只有一个或有无数多个参考答案：D略2.若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（

）A.(－∞,4] B.[4,+∞) C.(－∞,－4) D.(－4,+∞)参考答案：A【分析】由已知条件推导出，令利用导数性质求出时，取得最小值4，由此能求出实数的取值范围.【详解】因为对恒成立，所以，，令，则，所以当时，，函数单调减，当时，，函数单调增，所以当时，，所以实数的取值范围是，故选A.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有恒成立问题向最值靠拢，利用导数研究函数的最值，属于简单题目.3.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（

）. . . 参考答案：D略4.雾霾天气对我们身体影响巨大，据统计我市2015年12月份某8天的空气质量指数（AQI）茎叶统计图如图，则该组数据的中位数为（）A．360 B．361 C．362 D．363参考答案：B【考点】众数、中位数、平均数．【专题】数形结合；综合法；概率与统计．【分析】先写出这组数据，从而求出数据的中位数即可．【解答】解：由茎叶图得，该组数据为：259，300，306，360，362，364，375，430，故（360+362）÷2=361，故选：B．【点评】本题考查了茎叶图的读法，考查数据的中位数问题，是一道基础题．5.设，则是的（

）A.既不充分也不必要条件

B.必要但不充分条件 C.充要条件

D.充分但不必要条件参考答案：D6.如果的三个内角的余弦值分别等于三个内角的正弦值，则

A．和都是锐角三角形

B．和都是钝角三角形C.是锐角三角形，是钝角三角形D．是钝角三角形，是锐角三角形

参考答案：C 略7.若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a的值为(

)A．﹣1，1 B．﹣2，2 C．1 D．﹣1参考答案：D【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线（1+a）x+y+1=0的距离等于半径，求得a的值．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆，再根据圆心到直线（1+a）x+y+1=0的距离d==1，求得a=﹣1，故选：D．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．8.将曲线y2=4x按变换后得到曲线的焦点坐标为()A. B.

C. D.(1,0)参考答案：A9.正三角形中，的中点，则以为焦点且过的双曲线的离心率是（

）A． B． C．2 D．参考答案：A10.过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点P是抛物线上的动点，点P在轴上射影是,点,则的最小值是___________________.参考答案：12.若不等式在上的解集是空集，则的取值范围是

．参考答案：略13.已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sinθ＝，则m＝________.参考答案：3【分析】解方程，再检验即得解.【详解】由题得.当m=-3时，点P在第四象限，不满足题意.所以m=3.故答案为：3【点睛】本题主要考查三角函数的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知集合，，若，则实数a的取值范围是

.参考答案：15.已知以坐标轴为对称轴且离心率等于2的双曲线的一个焦点与抛物线x=y2的焦点重合，则该双曲线的方程为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；双曲线的标准方程．【专题】计算题；规律型；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（2，0），从而得出双曲线的右焦点为F（2，0）．再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值即可得到该双曲线的方程．【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，得抛物线的焦点为（2，0）．∵双曲线的一个焦点与抛物y2=8x的焦点重合，∴双曲线的右焦点为F（2，0）设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），可得a2+b2=4…①∵双曲线的离心率为2，∴，即…②由①②联解，得a2=1，b2=3，所以该双曲线的方程为，故答案为：．【点评】本题给出抛物线的焦点为双曲线右焦点，求双曲线的方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．16.关于函数，有下列命题：①的表达式可改写为；②是以2π为最小正周期的周期函数；③的图像关于点对称；④的图象关于直线对称，其中正确的命题序号是___．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）.参考答案：①③【分析】利用函数的解析式结合诱导公式可考查①中的结论是否成立，由最小正周期公式可得函数的最小正周期，考查函数在处的函数值即可确定函数的对称性.【详解】逐一考查所给的命题：，说法①正确；函数最小正周期：，说法②错误；当时，，则，据此可知说法③正确，说法④错误.综上可得：正确命题的序号是①③.

17.在中，，，，则

.参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知直三棱柱中,,，是和的交点,若.（1）求的长；

（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

参考答案：解法一:(1)连AC交AC于E,易证ACCA为正方形,AC=3……………

5分(2)在面BBCC内作CDBC,则CD就是点C平面ABC的距离CD=…8分(3)易得AC面ACB,过E作EHAB于H,连HC,则HCABCHE为二面角C－AB－C的平面角.…………

9分sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为………12分解法二:(1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系,设|CA|=h,则C(0,0,0),B(4,0,0),B(4,－3,0),C(0,－3,0),A(0,0,h),A(0,－3,h),G(2,－,－)=(2,－,－),=(0,－3,－h)

………4分·=0,

h=3(2)设平面ABC得法向量=(a,b,c),则可求得=(3,4,0)(令a=3)点A到平面ABC的距离为H=||=………8分(3)设平面ABC的法向量为=(x,y,z),则可求得=(0,1,1)(令z=1)二面角C－AB－C的大小满足cos==………

11分二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为

………………12分19.（本小题满分12分）

已知四棱锥底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E．F分别是线段AB．BC的中点，（1）证明：PF⊥FD；（2）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；．（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．参考答案：解：（1）证明：连接AF，则AF＝，DF＝，又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，……………4分

（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH＝AD．再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．从而满足AG＝AP的点G为所求．………………8分

⑶建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA⊥平面ABCD，所以是与平面所成的角．又有已知得，所以，所以．设平面的法向量为，由得，令，解得：．所以．又因为，所以是平面的法向量，易得，所以．由图知，所求二面角的余弦值为．……12分20.已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x﹣2y=0，射线OM的极坐标方程为θ=．（1）求射线OM的直角坐标方程；（2）已知射线OM与圆C的交于两点，求相交线段的长．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）极坐标与直角坐标的关系是x=ρcosθ，y=ρsinθ，从而tanθ=，由此能求出射线OM的直角坐标方程．（2）圆C的直角坐标方程与射线OM的直角坐标方程联立方程组，求出射线与圆C的两个交点，由此能求出相交线段的长．【解答】解：（1）∵射线OM的极坐标方程为θ=，极坐标与直角坐标的关系是x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴tanθ=，即=﹣1，．∴θ=表示的是射线y=﹣x（x≤0），故射线OM的直角坐标方程为y=﹣x（x≤0）．（2）圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x﹣2y=0，圆心C（﹣1，1），半径r===，联立，得或，∴射线OM与圆C的交于两点（0，0），（﹣2，2），∴相交线段的长为：=2．【点评】本题考查射线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推量论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，a2=8，Sn+1+4Sn﹣1=5Sn（n≥2），Tn是数列{log2an}的前n项和．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求Tn；（3）求满足（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＞的最大正整数n的值．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）由已知条件得Sn+1﹣Sn=4（Sn﹣Sn﹣1），从而an+1=4an，由此推导出数列{an}是以a1=2为首项，公比为4的等比数列．从而=22n﹣1．（2）由log2an==2n﹣1，能求出数列{log2an}的前n项和．（3）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=，令＞，能求出满足条件的最大正整数n的值为1．【解答】解：（1）∵当n≥2时，Sn+1+4Sn﹣1=5Sn（n≥2），∴Sn+1﹣Sn=4（Sn﹣Sn﹣1），∴an+1=4an，∵a1=2，a2=8，∴a2=4a1，∴数列{an}是以a1=2为首项，公比为4的等比数列．∴=22n﹣1．（2）由（1）得：log2an==2n﹣1，∴Tn=log2a1+log2a2+…+log2an=1+3+…+（2n﹣1）==n2．（3）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（1﹣）（1﹣）…（1﹣）===，令＞，解得：n＜故满足条件的最大正整数n的值为1．22