辽宁省沈阳市第四十七中学2021年高三数学文期末试题含解析

辽宁省沈阳市第四十七中学2021年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则等于A、

B、

C、

D、参考答案：D2.已知定义在R上的函数满足：函数的图像关于直线对称，且当时，.若，则a,b,c的大小关系是（

）A.a>b>c

B.

b>a>c

C.

c>a>b

D.a>c>b参考答案：B3.若是锐角三角形，向量p=(sinA，cosA)，q=(sinB，-cosB)，则p与q的夹角为

A．锐角

B．直角

C．钝角

D．以上均不对参考答案：答案：A4.设集合则“”是“”的（

）A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C试题分析：，，∵,选C.考点：1、分式不等式和绝对值不等式的解法；2、充分条件和必要条件.

5.已知，则a、b、c的大小关系为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由，而，即可得到.在比较和，即可大小关系，进而求得的大小关系.【详解】，又，，即综上所述，故选：B.【点睛】本题主要考查了比较数的大小，解题关键是不等式的基本性质和对数函数单调性，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.6.已知四面体ABCD的顶点都在球O表面上，且AB=BC=AC=2，DA=DB=DC=2，过AD作相互垂直的平面α、β，若平面α、β截球O所得截面分别为圆M、N，则（）A．MN的长度是定值 B．MN长度的最小值是2C．圆M面积的最小值是2π D．圆M、N的面积和是定值8π参考答案：A【考点】球内接多面体．【分析】确定DA、DB、DC两两互相垂直，M，N分别是AB，AC的中点，即可得出结论．【解答】解：∵AB=BC=AC=2，DA=DB=DC=2，∴DA、DB、DC两两互相垂直，过AD作相互垂直的平面α、β，若平面α、β截球O所得截面分别为圆M、N，则M，N分别是AB，AC的中点，MN=BC=，故选A．7.与函数的图象相同的函数是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D8.已知实数、满足，则目标函数的最大值是（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

参考答案：C略9.已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.或参考答案：C【分析】由二次函数和对数函数的单调性，结合单调性的定义，解不等式即可得到所求范围．【详解】当时，的对称轴为，由递增可得，，解得；当时，递增，可得；由，递增，即有，解得．综上可得，的范围是，故选C．【点睛】本题考查分段函数的单调性的运用，注意运用定义，同时考查二次函数和对数函数的单调性的运用，属于中档题.10.在整数集z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，则[k]=[5n+k]，k=0，1，2，3，4，则下列结论错误的是（） A． 2013∈[3] B． Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] C． “整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]” D． 命题“整数a，b满足a∈[1]，b∈[3]，则a+b∈[4]”的原命题与逆命题都为真命题参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个算法的流程图如图所示，则输出的值为

.参考答案：12012.已知集合，，则集合的真子集的个数为

．参考答案：15

考点：集合的包含关系．13.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，焦距为8，左顶点为A，在y轴上有一点B（0，b），满足?=2a，则该双曲线的离心率的值为

．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用向量的数量积公式，可得﹣4a+b2=2a，即16﹣a2=6a，可得a的值，由此可求双曲线的离心率．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），F（4，0），B（0，b），∴=（﹣a，﹣b），=（4，﹣b）∵?=2a，∴（﹣a，﹣b）?（4，﹣b）=2a，∴﹣4a+b2=2a，∴b2=6a，∴16﹣a2=6a，∴a=2，∴e===2，故答案为：214.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是，若，且，则△ABC的面积等于

▲

．参考答案：由得，所以，所以，所以。15.设面积为S的平面四边形的第i条边的边长为ai（i=1，2，3，4），P是该四边形内一点，点P到第i条边的距离记为，类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的一点，点Q到第i个面的距离记为di，若等于．参考答案：【考点】类比推理．【分析】由可得ai=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．【解答】解：根据三棱锥的体积公式得：，即S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V，∴，即．故答案为：．16.已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P为椭圆C上的任意一点，若以三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是

。参考答案：知识点：椭圆的定义与离心率.解析：解：因为点P的横坐标满足，且当点P在短轴顶点时，一定是锐角或直角，所以，所以椭圆C的离心率的取值范围是，故答案为.思路点拨：先确定出点P的横坐标的范围，在根据是锐角或直角解不等式组即可.17.在中，角所对的边分别是，若，，则的面积等于

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，动圆经过点，，.其中.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；（4分）（Ⅱ）过点作直线交轨迹于不同的两点，直线与直线分别交直线于两点，记与的面积分别为.求的最小值.参考答案：（1）设动圆的圆心为E则即：∴即：动圆圆心的轨迹E的方程为………….4分（2）当直线AB的斜率不存在时，AB⊥x轴，此时，∴∴∴………….5分当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，则，直线AB的方程是，.设，联立方程，消去y，得：，即：∴，，由知，直线AC的方程为，直线AC的方程为，∴∴∴，…………..9分令，则，由于函数在上是增函数……………11分∴∴

综上所述，∴的最小值为…………12分19.（13分）已知函数f（x）=sinx﹣acosx（x∈R）的图象经过点（，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间．参考答案：考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．专题： 三角函数的图像与性质．分析： （Ⅰ）代点可求a值，可得解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=，易得周期为T=2π，解可得单调递减区间．解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）的图象经过点，∴，即﹣a=1，解得a=1．∴==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=．∴函数f（x）的最小正周期为T=2π．由，k∈Z．可得，k∈Z．∴函数f（x）的单调递减区间为：[]，k∈Z点评： 本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数公式和三角函数的单调性和周期性，属基础题．20.已知函数为奇函数.（1）若，求函数的解析式；（2）当时，不等式在上恒成立，求实数的最小值；（3）当时，求证：函数在上至多一个零点.参考答案：（1）；（2）；（3）证明略试题分析：（1）已知函数的奇偶性求参数的值一般思路：利用函数的奇偶性的定义转化为，从而建立方程，使问题获解，但是在解决选择题，填空题时，利用定义去做相对麻烦，因此为使问题解决更快，可采用特值法；（2）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1），（2）；（3）对于给出的具体函数的解析式的函数，证明或判断在某区间上的单调性有两种方法：一是利用函数单调性的定义：作差、变形，由的符号，在确定符号是变形是关键，掌握配方，提公因式的方法，确定结论；二是利用函数的导数求解；（4）单调函数最多只有一个零点.试题解析：解：函数为奇函数，，即又，函数解析式当时，函数在都是单调递增，在单调递增，所以当时，不等式在上恒成立，实数的最小值为证明：，设任取任意实数，，即，又，，即在单调递减又，结合函数图象知函数在上至多有一个零点考点：1、利用函数的奇偶性求参数；2、恒成立的问题；3、利用定义证明函数的单调性21.已知公差不为零的等差数列{an}，满足a1+a3+a5=12．，且a1，a5，a17成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=++…+，证明：bn＜1．参考答案：考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用数列的单调性与“放缩法”即可证明．解答： 解：（Ⅰ）∵a1+a3+a5=12，∴3a3=12，∴a3=4．∵a1，a5，a17成等比数列，∴，∴（4+2d）2=（4﹣2d）（4+14d），∵d≠0，解得d=1，∴an=a3+（n﹣3）d=4+（n﹣3）=n+1；∴数列{an}的通项公式为：．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：bn=++…+，bn+1=++…+，∵bn+1﹣bn=+﹣=﹣＞0，∴数列{bn}单调递增．bn≥b1=．又bn=++…+≤++…+=＜1，因此≤bn＜1．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.已知向量向量与向量的夹角为，且。（1）求向量；

（2）若向量与共线，向量，其中、为的内角，且、