湖南省岳阳市华容梅田湖镇中学高三数学理期末试卷含解析

湖南省岳阳市华容梅田湖镇中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9.5%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数图象大致为 （

）

参考答案：D略2.复数z=的虚部是(

)A．

B．

C．1

D．参考答案：Cz=，所以复数z=的虚部是1，因此选C。2．若命题，则是（

）A．

B．C．

D．【答案】D【解析】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题，则是。【答案】【解析】略3.若复数满足，则复数A．

B．

C．

D．参考答案：C4.如图是一个算法流程图，则输出的结果是（）A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：A【分析】执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，；第2次循环：满足判断条件，；第3次循环：满足判断条件，；不满足判断条件，输出计算结果，故选A．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5.若，则的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：A略6.如图，在正方体ABCD–A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是(

)

① ② ③ ④A.①② B.②④ C.②③ D.①④参考答案：D从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；故答案为：D

7.已知数列{an}的通项公式为an=（﹣1）n（2n﹣1）cos+1（n∈N*），其前n项和为Sn，则S60=（）A．﹣30 B．﹣60 C．90 D．120参考答案：D【考点】8E：数列的求和．【分析】由数列的通项公式求出数列前几项，得到数列的奇数项均为1，每两个偶数项的和为6，由此可以求得S60的值．【解答】解：由an=（﹣1）n（2n﹣1）cos+1，得，a2=3cosπ+1=﹣2，，a4=7cos2π+1=8，，a6=11cos3π+1=﹣10，，a8=15cos4π+1=16，…由上可知，数列{an}的奇数项为1，每两个偶数项的和为6，∴S60=（a1+a3+…+a59）+（a2+a4+…+a58+a60）=30+15×6=120．故选：D．【点评】本题考查了数列递推式，考查了三角函数的求值，关键是对数列规律的发现，是中档题．8.已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D由于函数是奇函数，且在R上是增函数；所以不等式注意到时，当时，无论为何值，不等式均成立；当时，，从而不等式等价于，所以，而．所以实数的取值范围是．9.设0<p<1，随机变量ξ的分布列是ξ012P

则当p在(0，1)内增大时(

)A.D(ξ)减小 B.D(ξ)增大 C.D(ξ)先减小后增大 D.D(ξ)先增大后减小参考答案：D，

，所以当在内增大时，先增大后减小，故选D.10.若函数同时具有以下两个性质:①是偶函数;②对任意实数x,都有。则的解析式可以是（

）A．=cosx B．=C．= D．=cos6x参考答案：C【知识点】函数的奇偶性B4由题意可得，函数f（x）是偶函数，且它的图象关于直线x=对称．

∵f（x）=cosx是偶函数，当x=时，函数f（x）=，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除A．∵函数f（x）=cos（2x+）=-sin2x，是奇函数，不满足条件，故排除B．

∵函数f（x）=sin（4x+）=cos4x是偶函数，当x=时，函数f（x）=-4，是最大值，故满足图象关于直线x=对称，故C满足条件．∵函数f（x）=cos6x是偶函数，当x=时，函数f（x）=0，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除D，【思路点拨】先判断三角函数的奇偶性，再考查三角函数的图象的对称性，从而得出结论．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若平面内不共线的向量，，两两所成的角相等，且||＝1，||＝1，||＝2，则|++|＝

．参考答案：1

12.已知O为的外心，，设，若，则

。参考答案：13.已知点，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数f（x）=log2的图象上，设O为原点，已知三角形OAB的面积为S，则平行四边形ABCD的面积为．参考答案：4S【考点】函数与方程的综合运用．【分析】先判断函数f（x）为奇函数，则得到C，D点的坐标为（﹣3，﹣1），D（﹣，﹣2），即可得到OA=OC，OB=OD，则得到S△OCD=S△OAB=S△OBC=S△OCD=S，问题得以解决．【解答】解：f（x）=log2，则＞0，解得x＜﹣1或x＞1，∵f（﹣x）=log2=log2=﹣log2=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∵点，平行四边形ABCD的四个顶点都在函数f（x）=log2的图象上，∴C，D点的坐标为（﹣3，﹣1），D（﹣，﹣2），∴OA=OC，OB=OD，∴S△OCD=S△OAB=S△OBC=S△OCD=S，∴平行四边形ABCD的面积为4S，故答案为：4S14.集合，，则等于

.参考答案：15.函数参考答案： 16.已知实数x，y满足，则的最小值为______．参考答案：2【分析】先画出满足条件的平面区域，将转化为：，由图象得：过时，最大，代入求出即可．【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示：，将转化为：，由图象得：过时，最大，．的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．17.设奇函数的定义域为R，且周期为5，若＜—1，则实数的取值范围是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题共14分）已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围;（3）若，使成立，求实数的取值范围.参考答案：

………………

4分设………7分

………

9分（3）依条件，时时时∴在上为减函数，在上为增函数∴

12分而的最小值为

∴ ∴∴的取值范围为

14分

略19.近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年双十一期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.7，对服务的好评率为0.8，其中对商品和服务都做出好评的交易为120次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；②求X的数学期望和方差．附临界值表：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828K2的观测值：（其中n=a+b+c+d）关于商品和服务评价的2×2列联表：

对服务好评对服务不满意合计对商品好评a=120b=40160对商品不满意c=20d=2040合计14060n=200参考答案：【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.6，且X的取值可以是0，1，2，3，X～B（3，0.6）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差．【解答】解：（Ι）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：

对服务好评对服务不满意合计对商品好评12040160对商品不满意202040合计14060200……故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关．…．…（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为0.6，…X的取值可以是0，1，2，3．其中P（X=0）=0.43=；P（X=1）=C31?0.6?0.42=；…..P（X=2）=C32?0.62?0.4=；P（X=3）=C33?0.63=．…..X的分布列为：X0123P…②由于X～B（3，0.6），则E（X）=3×0.6=1.8，D（X）=3×0.4×0.6=0.72…．20.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）判断函数的奇偶性并证明；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）函数的定义域为{且}

…1分∴为偶函数

…3分（Ⅱ）当时，…4分若，则，递减；若，

则，递增．…6分再由是偶函数，得的递增区间是和；递减区间是和．……………8分（Ⅲ）要使方程有实数解，即要使函数的图像与直线有交点．

函数的图象如图．…

9分先求当直线与的图象相切时的值．当时，设切点为，则切线方程为，将代入，得即

（*）……………

10分显然，满足（*）而当时，，当时，∴（*）有唯一解

………

12分此时再由对称性，时，也与的图象相切，…13分∴若方程有实数解，则实数的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．

…

14分21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱锥中，底面，，．（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小．

参考答案：（1）因为底面，所以三棱锥的高，…………（3分）所以，．…………（6分）（2）取中点，中点，中点，连结，，，则∥，